3年高考2年模拟2025版新教材高考数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第2课时等式性质与不等式性质讲义新人教A版必修第一册

PAGEPAGE4第2课时等式性质与不等式性质课标解读课标要求核心素养1.驾驭等式和不等式的基本性质.(重点)2.运用不等式的性质解决有关问题.(难点)1.通过学习不等式的性质,培育学生数学抽象素养.2.借助不等式的性质解决相关问题,提升数学运算素养.楼房的采光率有一种简洁的计算方法:设楼房的建筑面积为a,窗口的面积和为b,则楼房的采光率为ba问题:自不待言,假如增加窗口的面积,楼房的采光将变好,那么如何用不等式来表示这个事实呢?(不妨设增加的窗口面积为m,其中m>0)答案b+ma>1.等式的基本性质(1)假如a=b,那么①b=a.(2)假如a=b,b=c,那么②a=c.(3)假如a=b,那么a±c=b±c.(4)假如a=b,那么ac=bc.(5)假如a=b,c≠0,那么ac=b

2.不等式的性质性质别名性质内容留意1对称性a>b⇔b③<a可逆2传递性a>b,b>c⇒a>c不行逆3可加性a>b⇔a+c④>b+c可逆4可乘性a>bc>0⇒c的符号a>bc<0⇒5同向可加性a>bc>d⇒同向6同向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒同向7可乘方性a>b>0⇒an⑨>bn(n∈N,n≥2)同正思索1:假如a>b,c>d,那么a-c>b-d成立吗?提示不肯定,但a-d>b-c成立.思索2:假如a>b,c>d,那么ac>bd成立吗?提示不肯定,但当a>b>0,c>d>0时,肯定成立.探究一利用不等式的性质推断命题的真假例1(1)下列命题为真命题的是()A.若a2>b2,则a>b B.若1a>1C.若ac>bc,则a>b D.若a<b,则a<b(2)(多选)若1a<1b<0,则下列不等式中A.|a|>|b| B.a<bC.a+b<ab D.a3>b3答案(1)D(2)CD解析(1)A为假命题,例如(-3)2>22,但-3<2;B为假命题,例如12>-13(2)由1a<1b<0可得b<a<0,|a|<|b|,即A、B中的不等式均不成立;a+b<0,ab>0,则a+b<ab成立;a3>b1.假如a,b,c满意c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中不肯定成立的是()A.ab>ac B.c(b-a)>0C.cb2<ab2 D.ac(a-c)<0答案C由于ac<0,且c<b<a,因此a>0,c<0,b的符号不确定,当b为0时,不等式cb2<ab2不成立.故选C.探究二利用不等式的性质证明不等式例2若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:e(a-证明∵c<d<0,∴-c>-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d,∴(a-c)2>(b-d)2,不等式两边同乘1(得1(a-又∵e<0,∴e(a-思维突破利用不等式的性质证明不等式时应留意的事项(1)解决此类问题时肯定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷、精确地应用.(2)应用不等式的性质进行推导时,应留意紧扣不等式的性质成立的条件,且不行省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.2.已知a>b>0,c<d<0,求证:3ad<证明因为c<d<0,所以-c>-d>0,所以0<-1c<-1又因为a>b>0,所以-ad>-b所以3-ad>3-b两边同乘-1,得3ad<探究三利用不等式的性质求范围例3已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围.解析∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24,∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又∵1<a<4,∴-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的取值范围是-7<a-b<2.易错点拨利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,假如在解题过程中多次运用这种转化,那么就有可能扩大其取值范围.3.(1)(变条件)若本例条件变为-3<a<2,-4<b<-3,试求2a+3b与a-b的取值范围;(2)(变设问)若本例条件不变,求ab(3)(变条件、变结论)若本例条件变为1<a+b<4,2<a-b<8,试求3a+b的取值范围.解析(1)∵-3<a<2,-4<b<-3,∴-6<2a<4,-12<3b<-9,∴-18<2a+3b<-5.3<-b<4,∴0<a-b<6.故2a+3b的取值范围是-18<2a+3b<-5,a-b的取值范围是0<a-b<6.(2)∵2<b<8,∴18<1b<∴1×18<a·1b<4×12,即1故ab的取值范围是18<(3)设存在m、n,满意3a+b=m(a+b)+n(a-b),则m解得m∴3a+b=2(a+b)+1(a-b),∵1<a+b<4,∴2<2(a+b)<8,又∵2<a-b<8,∴4<3a+b<16.故3a+b的取值范围是4<3a+b<16.1.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是()A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1答案A由-1<β<1,得-1<-β<1,∴-2<α-β<2,但α<β,故-2<α-β<0.2.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是()A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b答案C由a+b>0知,a>-b,∴-a<b<0.又b<0,∴-b>0,∴a>-b>b>-a.3.设a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式中正确的是()A.a-b>0 B.a3+b3>0C.a2-b2<0 D.a+b<0答案D不妨取a=-2,b=1,则a-b<0,a3+b3<0,a2-b2>0,解除A,B,C,故选D.4.若8<x<10,2<y<4,则xy的取值范围是答案2<xy<5解析∵2<y<4,∴14<1y<12.又∵8<x<10,∴2<5.若bc-ad≥0,bd>0,求证:a+bb证明因为bc-ad≥0,所以ad≤bc,因为bd>0,所以ab≤cd,所以ab+1≤cd+1,所以数学运算——等价转化法比较大小设P=a+6+a+7,Q=a+5+a素养探究:比较两个实数的大小时,假如干脆用作差法或作商法比较大小比较困难,或无从下手,那么可以考虑利用不等式的性质转化为利于比较大小的数后再进行比较,过程中体现数学运算核心素养.解析P2=2a+13+2(a+6)(a+7)因为(a+6)(a+7)-(a+5)(a+8)=a2+13a+42-(a2+13a+40)=2>0,所以(a+6)(a+7)>设a>b>c>0,x=a2+(b+c)2,y=b2答案z>y>x解析∵a>b>c>0,y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=2ac-2bc=2c(a-b)>0,∴y2>x2,即y>x.同理可得z>y,故z>y>x.1.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则()A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b答案C∵a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a≥b.2.若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式肯定成立的是()A.a+c≥b-c B.ac>bcC.c2a-b答案D∵a>b,∴a-b>0,∴(a-b)c2≥0,故选D.3.已知a>b>c,则1b-cA.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数答案A1b-c+1c-a∵a>b>c,∴b-c>0,c-a<0,b-a<0,∴1b-c4.(多选)下列命题中的真命题为()A.若a>b>0,则1a2B.若a>b,则c-2a<c-2bC.若a<0,b>0,则-a<D.若a>b,则2a>2b答案ABD对于A选项,a>b>0⇒0<1a<1b⇒1a2<1b2;对于B选项,a>b⇒-2a<-2b⇒5.若1<a<3,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是()A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4C∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3.6.不等式a>b和1a>1b同时成立的条件是答案a>0>b7.已知1<α<3,-4<β<2,若z=12α-β,则z的取值范围是答案z-解析∵1<α<3,∴12<12α<32,又-4<β<2,∴-2<-β<4,∴-32<12α-β<1128.若a>b>0,则a+1bb+1答案>解析解法一:∵a>b>0,∴0<1a<1b,∴a+1b>b+解法二:a+1b-b+1则a+1b>b+19.若-1<a+b<3,2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.解析设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则x+y=2易知-52<52(a+b)<152所以-92<52(a+b)-12(a-b)<132,所以-10.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中肯定成立的是()A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|答案C因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0,所以由x>11.有外表相同,质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列依次是()A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b答案A∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,∴b<d.又a+c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c.12.(多选)已知a、b、c、d均为实数,则下列命题中正确的是()A.若ab<0,bc-ad>0,则ca-dB.若ab>0,ca-dC.若bc-ad>0,ca-dD.若1a<1b<0,则1答案BCD对于A选项,∵ab<0,∴1ab<0,又∵bc-ad>0,∴ca-db=1ab·(bc-ad)<0,即c对于B选项,∵ab>0,ca-db>0,∴ab·对于C选项,∵ca-db>0,∴对于D选项,由1a<1∴1a+b13.已知a>b>0,c<d<0,求证:ad3<证明∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴0<-1c<-1∵a>b>0,∴-ad>-bc>0,∴-ad3>-∴ad3<14.已知二次函数y=ax2+bx+c满意以下条件:①该函数图象过原点;②当x=-1时,1≤y≤2;③当x=1时,3≤y≤4.当x=-2时,求y的取值范围.解析∵二次函数