3年高考2年模拟2025版新教材高考数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.2指数函数的性质与图像第2课时指数函数的性质与图像的应用讲义

PAGEPAGE10第2课时指数函数的性质与图像的应用探究一指数式的大小比较例1比较下列各题中两个值的大小:(1)1.7-2.5,1.7-3;(2)1.70.3,1.50.3;(3)1.70.3,0.83.1.解析(1)∵1.7>1,∴y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数.∵-2.5>-3,∴1.7-2.5>1.7-3.(2)解法一:∵1.7>1.5,∴在(0,+∞)上,y=1.7x的图像位于y=1.5x的图像的上方.又∵0.3>0,∴1.70.3>1.50.3.解法二:1.70.31.50.3(3)∵1.70.3>1.70=1,0.83.1<0.80=1,∴1.70.3>0.83.1.思维突破比较两个幂的大小的方法(1)比较同底数不同指数的两个幂的大小时,利用指数函数的单调性来推断.(2)比较底数不同指数相同的两个幂的大小时,利用指数函数的图像的改变规律来推断.(3)比较底数不同指数也不同的两个幂的大小时,则通过中间值来推断.1.若a=0.512,b=0.51A.a>b>c B.a<b<cC.a<c<b D.b<c<a答案B∵y=0.5x在R上是减函数,且12>13>1探究二解含指数式的不等式例2(易错题)解关于x的不等式:a2x+1≤ax-5(a>0,且a≠1).易错辨析:忽视对底数a的探讨致误.解析当0<a<1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.当a>1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.综上所述,当0<a<1时,不等式的解集为{x|x≥-6};当a>1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.易错点拨解含指数式的不等式的基本方法是先将其化为同底指数式,再利用指数函数的单调性求解,留意底数对不等号方向的影响.2.已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是.

答案12解析∵a2+a+2=a+122∴(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x⇔x>1-x⇔x>12,∴x∈1探究三指数型函数的单调性例3函数y=12A.[-1,+∞) B.(-∞,-1]C.[1,+∞) D.(-∞,1]答案C解析函数由y=12t,t=-x2+2x(x∈R)复合而成,因为y=12t是减函数,所以只需求t=-x2思维突破确定指数型函数的单调性的方法与指数函数有关的单调性问题,可先求出内层函数的单调区间,再与外层函数的单调性结合,利用复合函数的单调性确定其单调性.3.(1)(变条件)f(x)=12x2(2)(变条件、变问法)函数y=12-x2+x+2答案(1)(-∞,-5](2)123解析(1)令y=12u,u=x2+10x-5(x∈R),易知y=12u为减函数,u=x2+10x-5的图像的对称轴是x=-5,∴u=x2(2)易知函数的定义域为[-1,2],令t=-x2+x+2则0≤t≤32,∴y=12ty=12t是减函数,当∴函数y=12-x1.若2x+1<1,则x的取值范围是()A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)答案D不等式2x+1<1=20,∵y=2x是增函数,∴x+1<0,即x<-1.2.已知三个数a=60.7,b=0.70.8,c=0.80.7,则这三个数的大小关系是()A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b答案D因为a=60.7>60=1,c=0.80.7>0.70.7>0.70.8=b,c=0.80.7<0.80=1,所以a>c>b.3.(2024北京北师大试验中学高三月考)函数y=2-|x|的单调递增区间是()A.(-∞,+∞) B.(-∞,0]C.[0,+∞) D.[1,+∞)答案B∵y=2-|x|=2-∴函数的单调递增区间是(-∞,0],故选B.4.设0<a<1,则关于x的不等式a2x2-3x+2答案(1,+∞)解析∵0<a<1,∴y=ax在R上是减函数,又∵a2x2∴2x2-3x+2<2x2+2x-3,解得x>1.5.函数y=52x2答案34解析设u=2x2-3x+1(x∈R),其图像的对称轴为直线x=34则u=2x2-3x+1在-∞,3在34因为y=5u是增函数,所以y=52x2在34逻辑推理——利用函数性质求解不等式(2024上海建平中学高一月考)已知函数f(x)=12+1(1)推断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)解不等式f(x)≥56素养探究:利用所给条件推理出函数的奇偶性、单调性,再利用奇偶性、单调性的性质求值或解不等式,考查学生的逻辑推理核心素养.解析(1)f(x)为奇函数.理由:函数f(x)=12+12x定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)=2-x+1所以f(x)为奇函数.(2)f(x)≥56,即为12+12即有12x-1≥解得0<x≤2,即原不等式的解集为(0,2].已知定义域为R的函数f(x)=-2(1)求实数m,n的值;(2)已知t∈[-1,1]时,不等式f(t2-a)+f(at-2)≥0恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)∵f(x)是奇函数,且定义域为R,∴f(0)=0,即n-1m又由f(1)=-f(-1)知1-2m解得m=2,经检验符合题意,故m=2,n=1.(2)由(1)知f(x)=1-2x2+2∵f(x)是奇函数,∴f(t2-a)≥f(2-at).∵f(x)为减函数,∴t2-a≤2-at,即t∈[-1,1]时,有t2-a+at-2≤0,∴1+a-a故实数a的取值范围是a≥-12——————————————课时达标训练—————————————1.若122aA.(1,+∞) B.1C.(-∞,1) D.-∞,答案B∵函数y=12x∴2a+1>3-2a,∴a>122.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是()A.6 B.1 C.3 D.3答案C函数y=ax在[0,1]上是单调函数,故其最大值与最小值都在端点处取得,故有a0+a1=3,解得a=2,因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上是单调递增函数,当x=1时,ymax=3.3.已知a=5-12,函数f(x)=axA.m+n<0 B.m+n>0C.m>n D.m<n答案D∵0<5-12<1,∴f(x)=ax=又∵f(m)>f(n),∴m<n,故选D.4.(2024上海行知中学高一月考)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满意f(1)=19A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]答案B5.设y1=40.9,y2=80.48,y3=12A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2答案D40.9=21.8,80.48=21.44,12-1.因为y=2x在R上是增函数,所以21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2,故选D.6.(2024山东济宁一中高一月考)函数f(x)=8-12x的定义域是答案[-3,+∞);[0,22)解析∵8-12x≥0,∴12x∴x≥-3,∴f(x)的定义域是[-3,+∞).∴0<12x≤8,∴0≤8-∴0≤8-12∴f(x)的值域是[0,22).7.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,求不等式f(x)<-12解析∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0.当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1,由2x-1<-12,得2x<2-1当x>0时,由1-2-x<-12,得12x当x=0时,f(0)=0<-12综上可知,x∈(-∞,-1).8.(多选)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52A.2 B.12 C.3 D.答案AB当a>1时,可得ymin=1a,ymax=a,那么1a+a=5当0<a<1时,可得ymax=1a,ymin那么1a+a=52,解得a=故a的值可能是12故选AB.9.设f(x)=|3x-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中肯定成立的是()A.3c<3b B.3c>3bC.3c+3a>2 D.3c+3a<2答案Df(x)=|3x-1|的图像如图所示.由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),可知c,b,a不在同一个单调区间上,故有c<0,a>0,∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,∴1-3c>3a-1,即3c+3a<2.10.已知函数f(x)=ax,x≥1,4-a2x+2,x<1,若对随意答案[4,8)解析因为对随意的x1,x2且x1≠x2都有f(x1解得4≤a<8.11.若对随意x∈(-∞,-1),都有(3m-1)2x<1成立,则m的取值范围是.

答案(-∞,1]解析由题意得3m<12x+1,又y=12x+1在x∈(-∞,-1)上单调递减,所以112.已知定义域为R的函数f(x)=b-(1)求a,b的值;(2)用定义法证明f(x)在R上为减函数;(3)若对于随意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.解析(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,∴b=1.又f(-1)=-f(1),∴a=1.(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,由(1)知f(x)=1-则f(x1)-f(x2)=1-2=(=2(∵x1<x2,∴2x2-又(2x1+1)(∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在R上为减函数.(3)∵对于随意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,∴f(t2-2t)<-f(2t2-k),∵f(x)是奇函数,∴f(t2-2t)<f(k-2t2),又f(x)为减函数,∴t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,∵3t2-2t=3t-132-∴k<-1313.设A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合:①x∈[0,+∞)时,都有f(x)∈(1,4];②f(x)在[0,+∞)上是减函数.(1)推断函数f1(x)=2-x和f2(x)=1+3·12(2)把(1)中你认为是集合A中的一个函数记为g(x),若不等式g(x)+g(x+2)≤k对随意的x≥0恒成立,求实数k的取值范围.解析