2025年人民版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人民版高一数学上册阶段测试试卷139考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知则的等差中项为（）A.B.C.D.2、【题文】是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3、设是第二象限的角，为其终边上的一点，且则（）A.B.C.D.4、已知点A（1，1），B（4，2）和向量=（2，λ），若∥则实数λ的值为（）A.-B.C.D.-5、将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是

A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、函数的最小值为____．7、化简=____．8、已知圆与圆过动点分别作圆圆的切线分别为切点），若则的最小值是．9、已知△ABC的面积为且b＝2，c＝则∠A＝________．10、【题文】函数在上单调递减，则的取值组成的集合是_______。11、【题文】函数y=log2()单调递减区间是______________12、【题文】若直线与圆（为参数）至少有一个公共点，则实数m的取值范围是____13、已知函数f（x）=e|x|+|x|，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是____．14、已知全集U=R，集合M={y|y=x2-1，x∈R}，则∁UM=______．评卷人得分三、解答题(共5题，共10分)15、据调查：某市自来水厂向全市供水，蓄水池内现有水9千吨，水厂每小时向蓄水池内注入水2千吨，通过管道向全市供水，x小时内向全市供水总量为8千吨；设x小时后，蓄水池内的水量为y千吨．

（Ⅰ）求y与x的函数关系式及y的最小值；

（Ⅱ）当蓄水池内的水量少于3千吨时；供水就会出现紧张现象，为保障全市生产及生活用水，自来水厂扩大生产，决定每小时向蓄水池内注入3千吨水，这样能否消除供水紧张情况，为什么？

16、已知函数f（x）=|x|（x-a）；a为实数．

（1）当a=1时；判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）当a≤0时；指出函数f（x）的单调区间（不要过程）；

（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间上的最大值为2．若存在；求出a的值；若不存在，请说明理由．

17、设函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0，f（x）=x2+2x+5．

（1）求f（-2）；

（2）求x＜0时；f（x）的解析式．

18、【题文】（本小题满分１２分）

在三棱柱中，侧棱点是的中点，．

（1）求证：∥平面

（2）为棱的中点，试证明：．19、已知等比数列{an}

中，a1=13

公比q=13

．

(

Ⅰ)Sn

为{an}

的前n

项和，证明：Sn=1鈭�an2

(

Ⅱ)

设bn=log3a1+log3a2++log3an

求数列{bn}

的通项公式．评卷人得分四、证明题(共3题，共27分)20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．22、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分五、计算题(共1题，共6分)23、方程x2-（m+2）x+m2=0的两实根之和与积相等，则实数m的值是____．评卷人得分六、综合题(共2题，共6分)24、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．25、数学课上；老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=-yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1；0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】试题分析：∵∴的等差中项为故选A考点：本题考查了等差中项的概念【解析】【答案】A2、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B3、A【分析】【解答】因为所以=（），解得故4、B【分析】解：=（4；2）-（1，1）=（3，1）；

∵∥∴3λ-2=0．

解得．

故选：B．

利用向量共线定理即可得出．

本题考查了向量共线定理，属于基础题．【解析】【答案】B5、A【分析】解：将函数y=sin(4x鈭�娄脨6)

图象上各点的横坐标伸长到原来的2

倍，得到的函数解析式为：g(x)=sin(2x鈭�娄脨6)

再将g(x)=sin(2x鈭�娄脨6)

的图象向左平移娄脨4

个单位(

纵坐标不变)

得到y=g(x+娄脨4)=sin[2(x+娄脨4)鈭�娄脨6]=sin(2x+娄脨2鈭�娄脨6)=sin(2x+娄脨3)

由2x+娄脨3=k娄脨+娄脨2(k隆脢Z)

得：x=k娄脨2+娄脨12k隆脢Z

．

隆脿

当k=0

时，x=娄脨12

即x=娄脨12

是变化后的函数图象的一条对称轴的方程；

故选：A

．

利用函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin(8x鈭�娄脨6)

利用正弦函数的对称性即可求得答案．

本题考查函数y=Asin(娄脴x+娄脮)

的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题．【解析】A

二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】

=x-1+1≥2+1=3

当且仅当x-1=即当x=2时取“=”

所以的最小值为3

故答案为3

【解析】【答案】求两个数和的最小值；凑出两个数的积为定值，满足基本不等式成立的条件．

7、略

【分析】

=（）2×3-+1+-0=

故答案为：．

【解析】【答案】运用对数的运算性质；可以直接得出结果．

8、略

【分析】试题分析：由于与中,所以与全等,所以有则在线段的垂直平分线上,根据可求得其垂直平分线为因为表示两点间的距离,所以最小值就是到的距离,利用点到直线的距离公式可求出最小值考点：两点间距离公式,点到直线的距离公式.最值转化.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

由三角形的面积公式可得S△ABC=1/2bcsinA∵3/2=1/2×2×sinA∴sinA=/2∴A=60°或A=120°故答案为：60°或120°【解析】【答案】60°或120°10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

考点：直线与圆的位置关系．

分析：把圆的参数方程化为普通方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线与圆至少有一个公共点，可知圆心到直线的距离d小于等于圆的半径r；利用点到直线的距离公式表示出d，即可列出关于m的绝对值不等式，分m+3大于等于0和小于0两种情况，分别根据绝对值的代数意义化简，即可求出m的取值范围．

解答：解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x-1）+y=1；

所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；

∵已知直线与圆至少有一个公共点；

∴圆心到直线的距离d=≤r=1；

化简得：|m+3|≤5；

当m+3≥0；即m≥-3时，不等式化为：m+3≤5，解得m≤2；

不等式的解集为：[-3；2]；

当m+3＜0；即m＜-3时，不等式化为：-m-3≤5，解得m≥-8；

不等式的解集为：[-8；-3）；

综上；实数m的取值范围是：[-8，2]．

故答案为：[-8，2]【解析】【答案】13、（1，+∞）【分析】【解答】解：∵函数f（x）=e|x|+|x|；作图如下：

∵

关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根；

∴y=k；与f（x）的图象的有两个不同的交点；

∴k＞1；

故答案为：（1；+∞）

【分析】根据函数f（x）=e|x|+|x|的图象可判断y=k，与f（x）的图象的有两个不同的交点，满足的条件．14、略

【分析】解：全集U=R，集合M={y|y=x2-1；x∈R}={y|y≥-1}；

∁UM={y|y＜-1}．

故答案为：{y|y＜-1}．

先化简集合M，再根据补集的定义求出∁UM．

本题考查了补集的定义与运算问题，是基础题目．【解析】{y|y＜-1}三、解答题(共5题，共10分)15、略

【分析】

（Ⅰ）依题意y=9+2x-8

∴当=2；即x=4时，蓄水池水量最少；

ymin=1（千吨）．

故y与x的函数关系式为y=9=2x-8y的最小值是1千吨．（7分）

（Ⅱ）若每小时向水池供水3千吨；

则y=9+3x-8

∴（9+3x-8）-3=3（-）2+＞0；

因此；水厂每小时注入3千吨水，不会发生供水紧张情况．（6分）

【解析】【答案】（Ⅰ）依题意y=9+2x-8由此能求出y与x的函数关系式及y的最小值．

（Ⅱ）若每小时向水池供水3千吨；则y=9+3x-8，由此能求出水厂每小时注入3千吨水，不会发生供水紧张情况．

16、略

【分析】

（1）a=1时；f（x）=|x|（x-1）；

∵f（1）=0；f（-1）=-2；

∴f（1）≠-f（-1）；f（1）≠f（-1）；

∴f（x）既不是奇函数；又不是偶函数．

（2）a=0时；f（x）=|x|x，单调增区间为（-∞，+∞）

a＜0时，f（x）=

单调增区间为（-∞，），（0，+∞），单调减区间为（0）

（3）∵a＜0；∴f（-1）=-1-a≤2

∴a≥-3

∴f（）=（-a）≤＜2

由（2）知；f（x）在（0，+∞）上递增。

∴f（x）必在区间[-1；0]上取最大值2

当＜-1；即a＜-2时；

则f（-1）=2；a=-3，成立。

当≥-1；即0＞a≥-2时；

则f（）=2，则a=±2（舍）

综上；a=-3

【解析】【答案】（1）利用特殊值代入法即可证明此函数既不是奇函数，又不是偶函数；（2）将函数转化为分段函数，利用二次函数的图象和性质即可得此函数的单调区间；（3）先证明函数f（x）在闭区间上取最大值为2时；x必在区间[-1，0]上，再利用（2）中的结论，通过讨论求函数在[-1，0]上的最大值，列方程即可解得a的值。

17、略

【分析】

（1）∵当x＞0，f（x）=x2+2x+5．

∴f（2）=22+2×2+5=13．

又∵函数f（x）是R上的奇函数；

∴f（-2）=-f（2）=-13

（2）当x＜0时；-x＞0；

∵当x＞0时，f（x）=x2+2x+5；

∴f（-x）=（-x）2-2x+5=x2-2x+5；

又∵y=f（x）是定义在R上的奇函数；

∴f（x）=-f（-x）=-x2+2x-5

【解析】【答案】（1）由当x＞0，f（x）=x2+2x+5；可求出f（2）的值，进而根据f（-2）=-f（2）得到答案．

（2）当x＜0时，-x＞0，根据当x＞0时，f（x）=x2+2x+5．可得f（-x）的表达式；进而根据y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x），得到结果．

18、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中线面平行和线线垂直的证明。

（1）连接交于点连接

∵分别是的中点，∴∥．

∵平面平面∴∥平面．

（2）正三棱柱中，∴四边形是正方形．

∵为的中点，是的中点，∴可得到同时还有．；利用线面垂直的性质定理得到结论。

（1）证明：连接交于点连接

∵分别是的中点，∴∥．

∵平面平面∴∥平面．

（2）∵在正三棱柱中，∴四边形是正方形．

∵为的中点，是的中点，∴

∴．

又∵∴．

∵是正三角形，是的中点，∴．

∵平面平面平面平面平面

∴平面．

∵平面∴．

∵∴平面．

∵平面∴．【解析】【答案】见解析。19、略

【分析】

(I)

根据数列{an}

是等比数列，a1=13

公比q=13

求出通项公式an

和前n

项和Sn

然后经过运算即可证明．

(II)

根据数列{an}

的通项公式和对数函数运算性质求出数列{bn}

的通项公式．

本题主要考查等比数列的通项公式、前n

项和以及对数函数的运算性质．【解析】证明：(I)隆脽

数列{an}

为等比数列，a1=13q=13

隆脿an=13隆脕(13)n鈭�1=13n

Sn=13(1鈭�13n)1鈭�13=1鈭�13n2

又隆脽1鈭�an2=1鈭�13n2=Sn

隆脿Sn=1鈭�an2

(II)隆脽an=13n

隆脿bn=log3a1+log3a2++log3an=鈭�log33+(鈭�2log33)++(鈭�nlog33)

=鈭�(1+2++n)

=鈭�n(n+1)2

隆脿

数列{bn}

的通项公式为：bn=鈭�n(n+1)2

四、证明题(共3题，共27分)20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．21、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．22、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．五、计算题(共1题，共6分)23、略

【分析】【分析】设α、β是方程x2-（m+2）x+m2=0的两实根，再由根与系数的关系，可得出m的值．【解析】【解答】解：设α、β是方程x2-（m+2）x+m2=0的两实根；

∴α+β=m+2，αβ=m2；

∵方程x2-（m+2）x+m2=0的两实根之和与积相等；

∴m+2=m2；

解得m=2或-1；

∵方程x2-（m+2）x+m2=0有两实根；

当m=2时；

∴△=（m+2）2-4m2=-3m2+4m+4=0；

当m=-1时；

∴△=（m+2）2-4m2=-3m2+4m+4＜0；（不合题意舍去）；

∴m=2．

故答案为2．六、综合题(共2题，共6分)24、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（负值舍去）

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=125、略

【分析】【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标；然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式