八年级数学下册第一部分基础知识篇第4课一元二次方程根与系数关系及其应用一元二次方程例题课件浙教版

重点中学与你有约例1.已知方程的两根为，不解方程，求：解题技巧一读关键词：一元二次方程根与系数的关系，韦达定理二联重要结论：将所求代数式变形为用两根之和和两根之积来表示.重要方法：代数变换三解解：四悟灵活掌握韦达定理的应用是解决此类问题的关键.由根与系数的关系得∴例1.已知方程的两根为，不解方程，求：举一反三思路分析:先根据根与系数的关系得到α+β=﹣3，αβ=﹣1，利用代数式变形得到包含α+β和αβ的式子，然后利用整体代入的方法计算．已知方程x2+3x﹣1=0的两根实数根为α，β，不解方程，求下列各式的值（1）α2+β2；（2）α3β+αβ3；（3）

；（4）（α﹣1）（β﹣1）失误防范1.一元二次方程根与系数的关系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么2.一些有用的结论：在求值时一些常见的变形：例2.若关于x的一元二次方程的两实根的平方和为2，求m的值.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程根与系数的关系，韦达定理二联重要结论：由韦达定理得到关于m的方程，求出m后再利用根的判别式确定m值.重要方法：代数变换三解解：四悟在运用韦达定理时，不要忽略存在实数根的前提条件.设方程的两实根为x1,x2，则例2.若关于x的一元二次方程的两实根的平方和为2，求m的值.当m=3时，b2-4ac=16-28<0，方程无实根，舍去当m=-3时，b2-4ac=4-4=0，故m的值是-3.举一反三思路分析:（1）根据题意可知一元二次方程，必须满足下列条件：①二次项系数不为零；②在有实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0，代入数值解不等式即可；（2）由题意设方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0两根为x1，x2，得x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2﹣2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0有实根（1）求k的取值范围；（2）若方程的两实根的平方和等于11，求k的值．失误防范1.一元二次方程根与系数的关系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么2.两根平方和的应用：利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．例3.设x1,x2是一元二次方程的两个实根，且则a=______.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程根与系数的关系，求未知数a二联重要结论：由于x2满足方程根据根与系数的关系将含a的方程重新整体即可求a.重要方法：代数变换三解解：四悟在解决此类问题时，一般要结合根的定义和根与系数的关系求解.因为x2是一元二次方程的根因为x1,x2是一元二次方程的两个实根所以-6+a=4,得a=10，故答案为10.例3.设x1,x2是一元二次方程的两个实根，且则a=______.举一反三思路分析:由根与系数的关系得到x1x2=﹣2014，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2014=0的根，得出x22﹣3x2=2014，整体代入a﹣x1（x22﹣4x2﹣2014）=1，进一步求得答案即可．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2014=0的两个不相等的实根，且a﹣x1（x22﹣4x2﹣2014）=1，则a=____失误防范1.一元二次方程根与系数的关系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么2.关于两根非对称式的值：关于方程两根非对称式的代数式的值一般要同时结合方程根的定义和根与系数的关系来求解．例4.已知x1,x2是一元二次方程的两个实根，(1)是否存在实数a,使成立？若存在求出a的值，若不存在，请说明理由；(2)求使

为负整数的实数a的整数值.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程根与系数的关系，求未知数a二联重要结论：根据根与系数的关系把所求表示a的关系式即可求a.重要方法：代数变换三解解：四悟在解决此类问题时，一般要先确定判别式然后再利用根与系数的关系求解.(1)根据题意得由根与系数的关系得经检验a=24是上面方程的解.所以存在实数a,使式子成立，a=24.例4.已知x1,x2是一元二次方程的两个实根，(1)是否存在实数a,使成立？若存在求出a的值，若不存在，请说明理由；(2)求使

为负整数的实数a的整数值.由(2)为负数，则6-a为-1或-2或-3或-6,解得a=7或8或9或12举一反三思路分析:（1）假设存在实数k，使得x1=3x2，根据根的判别式可得出△=﹣16k，进而可得出k≤0以及x1、x2的值，再根据x1=3x2即可得出关于k的分式方程，解方程并检验后即可得出结论；（2）由根与系数的关系，代入数据即可找出k的值，再由分母不能为0即可得出结论．已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实根．（1）是否存在实数k，使得x1=3x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．（2）求使

的值为整数的实数k的整数值．失误防范1.一元二次方程根与系数的关系：如果x1,x2是一元一次方程ax2+bx+c=0的两根，那么2.求含未知数的一元二次方程中未知数的值：首先要确定判别式的情况；然后再根据根与系数的关系以及求根公式找出关于未知数的方程是解题的关键．例5.关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0.（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程，两个不等实根，已知两根关系求参数值.二联重要结论：根的判别式，根与系数的关系.重要方法：分析计算三解解：（1）证明：∵△=[-（m-3）]2﹣4m2=5m2﹣6m+9=5（m﹣

）2+，∵无论m取何值5（m﹣

）2≥0，∴5（m﹣

）2+＞0，∴原方程总有两个不相等的实数根.5.关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m2=0.（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根.解题技巧三解解：（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1x2=﹣m2，∵|x1|=|x2|﹣2，∴|x2|﹣|x1|=2，两边平方得，x12+x22-2|x1x2|=4，即（x1+x2）2-2x1x1-2|x1x2|=4，∴（m﹣3）2-2（﹣m2）-2|﹣m2|=4，即（m﹣3）2=4，解得m=5或m=1.当m=5时，方程为x2﹣2x﹣25=0，解得x1=1+，x2=1-；当m=1时，方程为x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1+，x2=﹣1﹣.四悟弄清题意，灵活应用根与系数的关系是解答本题的关键.已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣1=0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个实数根为x1、x2，满足x12+x22=41，求m的值．举一反三思路分析:

（1）由于无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根，所以证明判别式是正数即可；（2）利用根与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．答案：（1）∵△=（m﹣2）2+4（m+1）=m2﹣4m+4+4m+4=m2+8＞0，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵这个方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=﹣（m﹣2），x1•x2=﹣m﹣1，而x12+x22=41，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=41，∴（m﹣2）2+2m+2=41，∴m2﹣4m+4+2m﹣39=0，m2﹣2m﹣35=0，∴m=﹣5或7．失误防范1.根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系：

如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=x1x2=失误防范3.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程，即a≠0；（2）方程为一般形式。即形如：ax2+bx+c=0；（3）判别式大于等于零，即b2-4ac≥0.例6.重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程，给值，求值.二联重要结论：一元二次方程求解，根与系数的关系.重要方法：分析计算三解解：（1）由已知条件可知，a,b,是方程

的两个相异实根.解题技巧三解解：四悟弄清题意，灵活应用根与系数的关系是解答本题的关键.举一反三

阅读下面的材料：如果关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则

综合得：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=请利用这一结论解决问题：（1）方程x2+bx+c=0的两根为﹣1和3，求b与c的值；（2）设方程2x2﹣3x+1=0的两根为x1，x2，求

以及2x12+2x22的值．举一反三思路分析:（1）根据两根之和等于﹣b，两根之积等于c求解；（2）应把所求的代数式整理为和根与系数的关系有关的式子求解．答案：（1）∵﹣1+3=﹣b，（﹣1）×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3；2x12+2x22=2（x12+x22）=2[（x1+x2）2﹣2x1x2]失误防范1.一元二次方程的根与系数的关系：

如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=x1x2=说明：（1）定理成立的条件△≥0；（2）注意公式中x1+x2=的负号与b的符号的区别失误防范2.根与系数关系应用：直接运用根与系数的关系（验根）；已知方程的一个根求另一个根及未知数；已知两根求作一元二次方程；求关于两根的对称式或代数式的值；解简单的应用问题.3.解决此类型题目的技巧:本题解题时关键是读懂题意，理解已知中叙述的方程的解与方程的根之间的关系．把所求的代数式整理成用两根的和与两根的积表示的形式．例7.已知关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a>0）.（1）证明：这个方程的一个根比2大，另一个根比2小；（2）若对于a=1,2，…，2004，相应的一元二次方程的两个根分别为α1，β1，α2，β2，…，α2004，β2004，求

的值．重点中学与你有约解题技巧一读关键词：一元二次方程，两个不等实根，求值.二联重要结论：根的判别式，根与系数的关系.重要方法：发现规律计算三解解：（1）设方程的两根为x1，x2，由根与系数的关系得x1+x2=2，x1x2=﹣a2﹣a，a>0.∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=﹣a2﹣a﹣4+4=﹣a2﹣a＜0.∴x1﹣2与x2﹣2异号，即x1与x2中一个比2大，一个比2小．（2）当a=1,2，…，2004时对应的方程分别为x2-2x-2=0,x2