2025年沪教版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设则的大小关系是（）A.B.C.D.2、在△ABC中，若tanA=tanB=﹣2，则角C等于（）A.B.C.D.3、下列各组函数是同一函数的是（）A.与B.与g（x）=2x﹣1C.f（x）=x0与g（x）=1D.f（x）=x2﹣2x﹣1与g（t）=t2﹣2t﹣14、三个数之间的大小关系为（）A.a＜c＜bB.a＜b＜cC.b＜a＜cD.b＜c＜a5、已知角α是第二象限角，且则cosα=（）A.-B.-C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____．7、计算=____．8、不等式2＜|2x+3|＜5的解集是____．9、函数y=的定义域是____．10、已知点在两直线和之间的带状区域内（含边界）运动，则的最小值为____．11、【题文】如图；在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则实数a的取值范围是________．

12、曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为____．13、若函数f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，②对任意x∈R都有f（x）=f（+x）．则函数f（x）的解析式可以是：______（只需写出满足条件的一个解析式即可）评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．15、作出下列函数图象：y=16、请画出如图几何体的三视图．

17、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．18、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．19、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、证明题(共4题，共32分)20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．23、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分五、计算题(共3题，共15分)24、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，连接EB并延长交⊙O1于C，直线CA交⊙O2于点D．

（1）当A；D不重合时；求证：AE=DE

（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．25、解答下列各题：（1）计算：

（2）解分式方程：．26、（2006•淮安校级自主招生）如图，△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】【解析】试题分析：∵∴故选D考点：本题考查了指数、对数、幂函数的运用【解析】【答案】D2、B【分析】【解答】解：∵tanA=tanB=﹣2；

∴tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）==1；

又∵C∈（0；π）；

∴C=．

故选：B．

【分析】由已知及两角和的正切函数公式可求tanC=1，结合范围C∈（0，π），即可求C的值．3、D【分析】【解答】解：对于A：与定义域都是为x≤0，但两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，故A不正确．对于B：f（x）==x+1（x≠2）；与g（x）=2x+1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；故B不正确．

对于C：g（x）=1（x∈R），与f（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同；∴不是同一函数．故C不正确．

对于D：f（x）=x2﹣2x﹣1的定义域是R，g（t）=t2﹣2t﹣1的定义域是R；两个函数的对应法则相同，所以是相同函数，故D正确．

故选D．

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．4、C【分析】【分析】因为对于比较大小，先分析各自的大致范围，然后确定大小关系。由于根据指数函数和幂函数和对数函数的性质可知，那么可知选择C.

【点评】解决该试题的核心是对于幂值、对数值和指数值范围的判定，先分类，再在各个类里面比较大小，注意常用中间变量0，1来比较大小。5、A【分析】解：∵角α是第二象限角，且

∴cosα=-=-

故选：A

由角的范围和同角三角函数基本关系可得cosα=-代值计算可得．

本题考查同角三角函数基本关系，属基础题．【解析】【答案】A二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

由求得

∴直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点为（12，-）

与直线x+2y-3=0平行的直线一般式方程为x+2y+λ=0，把点（12，-）代入可得λ=-

故所求的直线方程为3x+6y-2=0

故答案为3x+6y-2=0

【解析】【答案】解方程组求得交点坐标；设与直线x+2y-3=0平行的直线一般式方程为x+2y+λ=0，把交点代入可得λ的值，从而求得所求的直线方程．

7、略

【分析】

=+++•

=+++

=4．

故答案为：4．

【解析】【答案】利用对数的运算性质，把：等价转化为+++•由此能够求出结果．

8、略

【分析】

由原不等式可得2＜2x+3＜5或-5＜2x+3＜-2；

解得-＜x＜1或-4＜x＜-

故答案为：{x|-4＜x＜-＜x＜1}．

【解析】【答案】把原不等式化为2＜2x+3＜5或-5＜2x+3＜-2；再把每个不等式的解集取并集．

9、略

【分析】

由2cosx+1≥0得

∴k∈Z．

故答案为：[2kπ-2kπ+]（k∈Z）．

【解析】【答案】直接利用无理式的范围；推出csx的不等式，解三角不等式即可．

10、略

【分析】【解析】【答案】511、略

【分析】【解析】如图；连接AQ，∵PA⊥平面AC；

∴PA⊥QD；又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P；

∴QD⊥平面PQA；于是QD⊥AQ；

∴在线段BC上存在一点Q；使得QD⊥AQ；

等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点；

∴≥1，a≥2．【解析】【答案】[2，＋∞)12、【分析】【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4；y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．

直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2；4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．

且kAP==由直线与圆相切得d==2，解得k=

则实数k的取值范围为

故答案为：

【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．13、略

【分析】解：∵若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数；

∴说明有f（-x）=f（x）；

②对任意x∈R，f（x）=f（+x）是周期函数．

我们从三角函数中寻找即得：f（x）=cos4x．

故答案为：f（x）=cos4x．

题目中条件：“若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，”说明有f（-x）=f（x）；“②对任意x∈R，都有f（x）=f（+x）是周期函数；从三角函数中寻找即得．

本题主考查抽象函数的周期性、对称性以及偶函数，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．【解析】f（x）=cos4x三、作图题(共6题，共12分)14、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．15、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．16、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．17、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。18、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．19、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、证明题(共4题，共32分)20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．23、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=五、计算题(共3题，共15分)24、略

【分析】【分析】（1）通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O2的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O1的弦切角；因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；

（2）DA重合时，CA与圆O2只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC2=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O1的直径是4．【解析】【解答】解：（1）证明：连接AB，在EA的延长线上取一点F，作⊙O1的直径AM；连接CM；

则∠ACM=90°；

∴∠M+∠CAM=90°；

∵AE切⊙O1于A；

∴∠FAM=∠EAM=90°；

∴∠FAC+∠CAM=90°；

∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FA