高二【数学(人教A版)】空间向量与立体几何小结(2)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA016学科数学年级高二学期一课题空间向量与立体几何小结（2）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第一册出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师于洪伟北京景山学校指导教师雷晓莉东城区教师研修中心教学目标教学目标：熟练运用坐标法解决立体几何问题，总结建立空间直角坐标系的过程。教学重点：分析、总结建立空间直角坐标系的过程。教学难点：对于不同建系方式的恰当选择。教学过程时间教学环节主要师生活动1.回顾旧知2.新课1.回顾总结过的内容，在知识层面，如何运用空间向量研究立体几何。2.在方法层面，运用空间向量研究立体几何问题的思路.例如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PA=AD=DC=2，BC=4.点E为PD中点，点F在线段PC上，且PC=3PF.（1）求证：平面AEF⊥平面PAC；（2）求平面AEF与平面PAB夹角的余弦值；（3）求点D到平面AEF问题1如何运用空间向量解决这道例题？问题2采用坐标法，就要建立合适的空间直角坐标系，建立空间直角坐标系的关键是什么？需要找到三条直线两两垂直的位置关系.追问：为了解题方便，需要考虑哪些因素？让尽可能多的点落在坐标轴上和坐标平面内；便于写出点的坐标；便于向量的坐标运算.问题3针对这道题目的图形，可以怎样建立空间直角坐标系？追问1：还可以怎样建立空间直角坐标系？追问2：这样建系，能带来哪些方便？保证了尽可能多的点在坐标轴上，平面PAC和平面PAB的法向量容易得到.追问3：这样建系，需要做哪些准备工作？需要证明AB垂直AC.解法一（1）取BC中点G，连接AG.因为BC=4，所以CG=2.因为CG=AD，CG//AD,所以四边形AGCD是平行四边形.因为AD⊥DC，AD=DC，所以四边形AGCD是正方形.所以AG⊥AD.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AG，PA⊥AD.以点A为原点，AG，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.根据已知条件可得A(0,0,0)，B(2,-2,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1).因为PC=3PF，所以PC=3因为PC=(2,2,-2)所以PF=(23可以得到AE=(0,1,1)，AF设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)所以AE⋅n令z=1，解得y=-1，x=-1.所以n=(-1,-1,1)可以得到AP=(0,0,2)，AC设平面PAC的法向量为m=(x,y,z)所以AP⋅m令x=1，解得y=-1，z=0.所以m=(1,-1,0)因为m=(1,-1,0)，n所以m⋅n=-1所以m⊥n.所以平面PAC⊥平面AEF（2）由（1）可得AP=(0,0,2)，AB设平面PAB的法向量为a=(x,y,z)所以AP⋅a令x=1，解得y=1，z=0.所以a=(1,1,0)因为a=(1,1,0)，n所以cos所以平面AEF与平面PAB夹角的余弦值为63（3）由（1）可得AD=(0,2,0)平面AEF的法向量n=(-1,-1,1)所以点D到平面AEF的距离为|解法二（1）因为AD⊥DC，AD=DC=2，所以AC=22，且∠ACD=45°因为AD//BC，AD⊥DC，所以BC⊥DC.所以∠ACB=45°.因为BC=4，所以AB=22所以∠BAC=90°.所以AB⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB因为AB⊥AC，PA⊥AB，PA⊥所以以点A为原点，AB，AC，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.根据已知条件可得A(0,0,0)，B(22,0,0)，C(0,22,0)，D(-2,2可以得到AE=(-AF=(0,平面PAC的法向量为i=(1,0,0)平面PAB的法向量为j=(0,1,0)设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)所以AE⋅n令z=1，解得y=-2，x=0所以n=(0,-因为n=(0,-2,1)所以n⋅i=1,0,0所以平面PAC⊥平面AEF.（2）因为cos<所以平面PAB与平面AEF夹角的余弦值为63（3）因为AD=(-所以点D到平面AEF的距离为|总结：坐标系的选取对问题解决的影响让尽可能多的点落在坐标轴和坐标平面上.使点的坐标数值尽可能为