2025高考数学一轮复习-第7章-第4节 空间直线、平面的平行【课件】

第七章立体几何与空间向量第4节空间直线、平面的平行1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的________平行，那么该直线与此平面平行a

α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与_______平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b一条直线交线2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条__________与另一个平面平行，那么这两个平面平行a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β相交直线性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线______于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条______平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b平行相交交线1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.2.三种平行关系的转化常用结论与微点提醒(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)×××√解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故(1)错误.(2)若a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线只有一条，故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误.(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(

)(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(

)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)2.(必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

)A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交D解析因为直线a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.

3.(必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______________.平行四边形解析因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面DCGH＝HG，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，所以EF∥HG，同理EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形.l

α解析①由线面平行的判定定理知l

α；②由线面平行的判定定理知l

α.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一直线与平面平行的判定与性质角度1直线与平面平行的判定例1

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点.

求证：BE∥平面PAD.证明法一如图，取PD的中点F，连接EF，FA.由题意知EF为△PDC的中位线，又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，∴BE∥平面PAD.法二如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE

平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.法三如图，取CD的中点H，连接BH，HE，∵E为PC的中点，∴EH∥PD，又EH

平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，又AD⊂平面PAD，BH

平面PAD，∴BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，∴平面BHE∥平面PAD，又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.角度2直线与平面平行的性质例2

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥OM，又OM

平面BMD，PA

平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA

平面PAHG，∴PA∥GH.感悟提升1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a

α，b

α，a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β，a

α⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β，a

β，a∥α⇒a∥β).2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.训练1

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；证明

如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.因为O，M分别为AC，EF的中点，且四边形ACEF是矩形，所以EM∥OA且EM＝OA，所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE，又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.解l∥m，证明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考点二平面与平面平行的判定与性质例3(2024·潍坊质检)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点. (1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；证明∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G，EF

平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G.∵A1G⊂平面A1C1G，BF

平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点.证明∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，经过点G的直线交BC于H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G为AB的中点，∴H为BC的中点.感悟提升证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).训练2

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证：BC∥GH；证明∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.证明∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF

平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E

平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.考点三平行关系的综合应用如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点.在△A1BC1中，O，D1分别为A1B，A1C1的中点，∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1，BC1

平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.解由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1.因此BC1∥OD1，同理AD1∥DC1.感悟提升解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.解析如图，连接D1A，AC，D1C，因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，所以AC∥EF，又EF

平面ACD1，AC

平面ACD1，所以EF∥平面ACD1，易知EG∥AD1，所以同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，EF，EG

平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG，所以点P在直线AC上.微点突破

截面（交线）问题1.作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们的交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线.2.作交线的方法有如下两种：（1）利用基本事实3作交线；（2）利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.例1

(2024·宁波质检)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB，点E是PD的中点，点F是棱PC上的点且PF＝2FC，则平面BEF截四棱锥P－ABCD所得的截面图形是(

) A.斜三角形

B.梯形 C.平行四边形

D.两组对边均不平行的四边形D解析如图，延长EF和DC，设其交点为G，连接BG，延长DA并与直线BG交于点H，连接HE交PA于点K，连接KB，得四边形EFBK，假设KE∥BF，易证BF∥平面PAD，易知BC∥平面PAD，易得平面PBC∥平面PAD，与平面PBC与平面PAD有公共点P矛盾，故假设不成立，因此KE与BF不平行，同理可证KB与EF不平行，因此四边形EFBK的两组对边均不平行，故选D.解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，训练(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，解析设球O的半径为r，则AB＝BC＝2r，又O2为AB的中点，所以O2P⊥AB.又O1O2∩O2P＝O2，O1O2，O2P⊂平面O1O2P，所以AB⊥平面O1O2P，又OH⊂平面O1O2P，所以AB⊥OH.因为OH⊥O2P，且AB∩O2P＝O2，AB，O2P⊂平面ABP，所以OH⊥平面ABP.课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(

)A.EF∥PA B.EF∥PBC.EF∥PC D.以上均有可能B解析由线面平行的性质定理可知EF∥PB.2.如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(

) A.平行

B.相交 C.AC在此平面内 D.平行或相交A解析如图，把这三条线段放在正方体内，可得AC∥EF，AC

平面EFG，EF

平面EFG，故AC∥平面EFG.3.下列命题中正确的是(

)A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b

α，则b∥αD解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，故D正确.4.已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于(

)A.2∶3 B.2∶5C.4∶9 D.4∶25D解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝(PA′∶PA)2，又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.5.(2024·成都诊断)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(

)①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.A.①②④

B.①②③ C.②③④ D.①③④A解析对于①，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AB∥C1D1，且AB＝C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，故①正确；对于②，易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，BD⊂平面BDC1，B1D1

平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理可得AB1∥平面BDC1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，故平面AB1D1∥平面BDC1，故②正确；对于③，由正方体ABCD－A1B1C1D1易知，AD1与DC1异面，故③错误；对于④，因为AD1∥BC1，AD1

平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确.故选A.6.(2024·杭州质检)已知α，β是两个不重合的平面，则“α∥β”的充要条件是(

)A.平面α内存在无数条直线与β平行B.存在直线l与α，β所成的角相等C.存在平面γ，满足γ∥α且γ∥βD.平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等C解析对于A，如果α∩β＝l，则在α内与l平行的直线有无数条，这无数条直线都与平面β平行，但此时α不平行于β，故A错误；对于B，如果α∩β＝m，在空间内必存在直线l

α，l

β，且l与m平行，此时l也与两个平面平行，即直线l与α，β所成的角都等于0，故B错误；对于C，如果α∥β，则一定存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β，若γ∥α且γ∥β，则也一定有α∥β，则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ，满足γ∥α且γ∥β”，故C正确；对于D，当α∥β时，α内必存在不共线的三个点到β的距离相等，但当α∩β＝m时，同样可以在α内找到不共线的三个点到β的距离相等，故D错误.故选C.7.(2024·新乡模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是(

)B解析对于A，如图①，连接B1N，由正方体的性质可知BM∥B1N，又B1N与平面CNQ相交，所以直线BM与平面CNQ不平行，故A错误；对于B，如图②，连接AC，AQ，由正方体的性质可知NQ∥AC，故平面CNQ即为平面ACNQ，而BM∥AQ，BM

平面CNQ，AQ

平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故B正确；对于C，如图③，连接BQ，由中位线定理及正三棱柱的性质可知NQ∥BC，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故C错误；对于D，假设直线BM与平面CNQ平行，如图④，过点M作CQ的平行线交A1B1于点D，则D是线段A1B1上靠近点B1的四等分点，连接BD，由MD∥CQ，MD

平面CNQ，CQ

平面CNQ，可得MD∥平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，MD∩BM＝M，MD，BM

平面BDM，则平面BDM∥平面CNQ，而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别相交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，故假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故D错误.故选B.8.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件_________________________________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，易证得FH∥平面B1BDD1，HN∥平面B1BDD1，FH∩HN＝H，FH，HN

平面FHN，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN

平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.解析因为EF∥平面AB1C，EF

平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以点F为DC的中点，10.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截

面图形的面积为

.解析延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形，11.如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明： (1)DF∥平面PBE；证明取PB中点G，连接FG，EG，因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，且DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE，因为DF

平面PBE，GE

平面PBE，所以DF∥平面PBE.(2)DF∥l.证明由(1)知DF∥平面PBE，又DF

平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.12.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证： (1)BE∥平面DMF；证明

如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE

平面DMF，MO

平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)平面BDE∥平面MNG.证明

因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥NG，又DE

平面MNG，NG

平面MNG，所以DE∥平面MNG，因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD

平面MNG，MN

平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.13.(多选)(2024·苏州质量评估)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，

则(

)A.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行B.平