2025高考数学一轮复习-第6章-第4节 数列中的构造问题【课件】

第六章数列第4节数列中的构造问题1.掌握求数列通项公式的方法：公式法、累加法、累乘法.2.会利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求解通项公式.考点一形如an＋1＝pan＋f(n)型角度1

an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1

已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，求数列{an}的通项公式.解设an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t，又an＋1＝3an＋4，根据对应项系数相等，解得t＝2，故an＋1＋2＝3(an＋2).所以{bn}是3为首项，3为公比的等比数列，所以bn＝3×3n－1＝3n，即an＝3n－2.感悟提升训练1(1)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝_____________.2n＋1－n－1解析令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.(2)(2024·河南名校联考)若数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝3n－1，则数列{an}的通项公式an＝____________.2n－1＋3n－1考点二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)型例4

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝__________.解析法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，法二因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，感悟提升可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.训练2

若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.3n－1解析f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1感悟提升课时分层精练KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为(

)A.15 B.23 C.32 D.42B解析因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，所以a4＝23.C3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于(

)A.64 B.56 C.32 D.24C4.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(

)A.47

B.48 C.49

D.410C解析由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.Dlog3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝32n－1.6.设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－2n＋1，则S10＝(

)A.211－23 B.210－19 C.3×210－23 D.3×29－19C解析当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2＋1，解得a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，a1＋2＝3，所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3×2n－1，从而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.CCD10.(2024·四川名校联考)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，则an＝________.2n－1解析由题知an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，因为a2－a1＝2，所以{an＋1－an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n，12.已知Sn是数列{an}的前n项和，an＋1－3an＋2an－1＝1，a1＝1，a2＝4，则数列{an}的通项公式an＝______________.2n＋1－n－2解析因为an＋1－3an＋2an－1＝1，所以an＋1－an＝2(an－an－1)＋1，因为a1＝1，a2＝4，所以a2－a1＋1＝4，故数列{an＋1－an＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＋1＝4·2n－1＝2n＋1，即an＋1－an＝2n＋1－1，所以当n≥2时，a2－a1＝22－1，a3－a2＝23－1，a4－a3＝24－1，…，an－an－1＝2n－1，因为a1＝1，所以an＝2n＋1－n－2，n≥2；又a1＝1符合上式，所以an＝2n＋1－n－2.ACD解析∵a1＝1，4an＋1＝3an－n＋4，显然(a2＋2)2≠(a1＋2)(a3＋2)，∴{an＋2}不可能是等比数列，故D正确.14.(2024·武汉质检)将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于(

)BA.2025×22022 B.2026×22023C.2025×22023 D.2026×22024解析记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，∴an＝(n＋1)×2n－2，又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2025行，∴M＝a2025＝2026×22023.2025解析由题设，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1