2025年沪科版七年级数学寒假预习 第06讲 幂的运算

第06讲幂的运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握同底数幂、幂的乘方和积的乘方的运算法则和公式；2．会借助幂的运算公式进行逆运算；知识点1同底数幂的乘法1.，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意：(1)法则对于三个或三个以上的同底数相乘仍然适用，即.(2)不要忽略指数是1的因数，如。(3)底数可以是数也可以是单项式或多项式。(4)注意法则的逆用：。知识点2幂的乘方，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。【补充和拓展】(1)法则推广：；(2)法则逆用：。知识点3积的乘方，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。【补充和拓展】(1)法则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，如。(2)法则逆用：。知识点4同底数幂的除法与0指数幂1.同底数幂的除法(都是正整数，并且)；即同底数幂相除，底数不变，指数相减。注意：(1)同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算。(2)被除式、除式底数相同，被除式指数大于除式指数。(3)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。(4)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如(是正整数，且).2.零指数幂的性质：即任何不等于0的数的0次幂都等于1。(1)底数可以为单项式也可以是多项式，但是不能为0,否则，式子没有意义。(2)任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式。考点01:同底数幂相乘例题1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算：．【变式1-1】计算：（结果用幂的形式表示）．【变式1-2】计算：．（结果用幂的形式示）【变式1-3】计算：考点02：同底数幂乘法的逆用例题2．计算：，，则．【变式2-1】计算：的值是（

）A． B． C． D．【变式2-2】计算：．【变式2-3】若，则．考点03：幂的乘方运算例题3.若，则的值为．【变式3-1】计算的结果是（

）A． B． C． D．【变式3-2】下列计算中正确的是（

）A． B．C． D．【变式3-3】已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8考点04：幂的乘方的逆用例题4.（1）已知，则代数式的值为．（2）若均为正整数，且，则的值为．【变式4-1】已知：，，则【变式4-2】已知，，则．【变式4-3】已知，求的值．考点05：积的乘方运算例题5.若，则．【变式5-1】【变式5-2】（24-25七年级上·重庆开州·期中）＝，＝．【变式5-3】计算：．考点06：积的乘方的逆用例题6.已知，试用含的式子表示．【变式6-1】（23-24七年级上·福建三明·期中）已知，则．【变式6-2】计算：．【变式6-3】（24-25七年级上·山东德州·期中）计算的结果是．考点07：同底数幂的除法例题7.计算：．【变式7-1】（22-23七年级下·福建宁德·期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【变式7-2】计算：．【变式7-3】已知，，求的值是．考点08：同底数幂的除法的逆用例题8.已知，求的值．【变式8-1】已知，，那么的值为．【变式8-2】若，，则的值为．【变式8-3】若，，则．考点09：幂的混合运算例题9.（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【变式9-1】计算的正确结果是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）计算：．【变式9-3】（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，.(1)求证：；(2)求的值.考点10：零指数幂例题10．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）若实数m、n满足，则．【变式10-1】若无意义，则整式的值为．【变式10-2】若，则大小关系是．（按从小到大顺序排列）【变式10-3】阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索使等式成立的的值．一、单选题1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算正确的是（）A． B．C． D．2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）“无风才到地，有风还满空．缘渠偏似雪，莫近鬓毛生”是唐朝诗人雍裕之描写每年四月许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞的诗句，柳絮带给人们春天的讯息外也让人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.00000105m，该数值用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）若，则（

）A．8 B．12 C．16 D．24二、填空题5．（23-24七年级下·广东清远·期末）的结果用科学记数法表示为．6．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）计算．7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知，则的值为．三、解答题8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）计算：．9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中．10．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，则___________；(2)如果，求的值．(3)如果，求的值．

第06讲幂的运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．掌握同底数幂、幂的乘方和积的乘方的运算法则和公式；2．会借助幂的运算公式进行逆运算；知识点1同底数幂的乘法1.，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意：(1)法则对于三个或三个以上的同底数相乘仍然适用，即.(2)不要忽略指数是1的因数，如。(3)底数可以是数也可以是单项式或多项式。(4)注意法则的逆用：。知识点2幂的乘方，即幂的乘方，底数不变，指数相乘。【补充和拓展】(1)法则推广：；(2)法则逆用：。知识点3积的乘方，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。【补充和拓展】(1)法则可以推广到三个或三个以上因式的积的乘方，如。(2)法则逆用：。知识点4同底数幂的除法与0指数幂1.同底数幂的除法(都是正整数，并且)；即同底数幂相除，底数不变，指数相减。注意：(1)同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算。(2)被除式、除式底数相同，被除式指数大于除式指数。(3)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。(4)当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，如(是正整数，且).2.零指数幂的性质：即任何不等于0的数的0次幂都等于1。(1)底数可以为单项式也可以是多项式，但是不能为0,否则，式子没有意义。(2)任何一个常数都可以看作与字母0次方的积，因此常数项可以看作是0次单项式。考点01:同底数幂相乘例题1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算：．【答案】【解析】解：；故答案为：．【变式1-1】计算：（结果用幂的形式表示）．【答案】【解析】解：，故答案为：．【变式1-2】计算：．（结果用幂的形式示）【答案】【解析】解：原式．故答案为：．【变式1-3】计算：【答案】【解析】解：．故答案为：．考点02：同底数幂乘法的逆用例题2．计算：，，则．【答案】128【解析】解：∵，，∴，故答案为：128．【变式2-1】计算：的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，故选：．【变式2-2】计算：．【答案】【解析】解：．故答案为：．【变式2-3】若，则．【答案】【解析】解：∵∴，解得：，故答案为：．考点03：幂的乘方运算例题3.若，则的值为．【答案】16【解析】解：，，故答案为：16．【变式3-1】计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，故选：B．【变式3-2】下列计算中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A．，原计算错误，不符合题意；B．，原计算错误，不符合题意；C．，原计算正确，符合题意；D．，原计算错误，不符合题意；故选：C．【变式3-3】已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】解：∵，∴，∴，∴，，∵，，为自然数，∴当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，综上所述，的取值不可能是8，故选：D．考点04：幂的乘方的逆用例题4.（1）已知，则代数式的值为．（2）若均为正整数，且，则的值为．【答案】44或5【解析】解：（1），．．故答案为：4．（2），．．均为正整数，当时，；当时，．所以或．故答案为：4或5【变式4-1】已知：，，则【答案】【解析】解：∵，，∴．故答案为：．【变式4-2】已知，，则．【答案】【解析】解：根据题意可得，∴，，∴，整理得，，解得，，∴，故答案为：．【变式4-3】已知，求的值．【答案】128【解析】解：因为，所以，所以．考点05：积的乘方运算例题5.若，则．【答案】48【解析】解：，故答案为：48．【变式5-1】【答案】【解析】解：；故答案为：．【变式5-2】（24-25七年级上·重庆开州·期中）＝，＝．【答案】【解析】解：，故答案为：，．【变式5-3】计算：．【答案】【解析】解：原式．考点06：积的乘方的逆用例题6.已知，试用含的式子表示．【答案】【解析】解：∵，∴．【变式6-1】（23-24七年级上·福建三明·期中）已知，则．【答案】【解析】解：∵，∴，即，解得，故答案为：．【变式6-2】计算：．【答案】【解析】解：；故答案为：【变式6-3】（24-25七年级上·山东德州·期中）计算的结果是．【答案】【解析】解：，故答案为：．考点07：同底数幂的除法例题7.计算：．【答案】【解析】解：．【变式7-1】（22-23七年级下·福建宁德·期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A.，故选项错误，不符合题意；B.，故选项错误，不符合题意；C.，故选项错误，不符合题意；D.，故选项正确，符合题意；故选：D【变式7-2】计算：．【答案】【解析】解：，故答案为：．【变式7-3】已知，，求的值是．【答案】【解析】解：∵，∴，即，∵，∴，故答案为：．考点08：同底数幂的除法的逆用例题8.已知，求的值．【答案】【解析】解：，，即，，解得，．【变式8-1】已知，，那么的值为．【答案】【解析】解：∵，，∴，故答案为：．【变式8-2】若，，则的值为．【答案】【解析】解：，，，，．故答案为：．【变式8-3】若，，则．【答案】【解析】解：∵，，∴，故答案为：．考点09：幂的混合运算例题9.（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1），把代入得：原式．（2）∵，∴，∴．【变式9-1】计算的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】．故选A．【变式9-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）计算：．【答案】0【解析】解：原式．【变式9-3】（23-24八年级上·江西南昌·期末）已知，，.(1)求证：；(2)求的值.【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）证明：，.即.（2）解：．考点10：零指数幂例题10．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）若实数m、n满足，则．【答案】【解析】解：∵，，，解得：，，，故答案为：．【变式10-1】若无意义，则整式的值为．【答案】【解析】解：∵无意义，∴，∴，∴，故答案为：．【变式10-2】若，则大小关系是．（按从小到大顺序排列）【答案】【解析】解：，，，，．故答案为：．【变式10-3】阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索使等式成立的的值．【答案】的值为1或0或【解析】①当时，；②当时，，指数为偶数，所以符合题意；③当时，，且，所以符合题意；综上所述：的值为1或0或．一、单选题1．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A．与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．，故本选项不合题意；C．，正确，符合题意；D．，故本选项不合题意．故选：C．2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；

B.，故该选项不正确，不符合题意；

C.，故该选项不正确，不符合题意；

D.，故该选项正确，符合题意；故选：D．3．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）“无风才到地，有