2024年安徽省合肥市庐江县中考一模数学试题

届中考第一次模拟数学试题温馨提示：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列各数中最小的数是（）A B. C. D.2.第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京成功举办，期间中外企业签订了972亿美元的项目合作协议．用科学记数法表示972亿为（）A. B. C. D.3.从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（）A. B. C. D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.6.小明的笔记本密码是一个两位数，他只记得第一位数是，第二位数是一个奇数，问小明尝试一次就能正确打开笔记本的概率是（）A. B. C. D.7.如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（）A. B. C. D.8.中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，设，若，则正方形与正方形的面积的比值为（）A. B. C. D.9.对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（）A. B. C. D.10.如图，点是正方形内一点，，且，下列结论正确的是（）A.的面积最小值为 B.的面积最小值为C.的面积最大值为 D.的面积最大值为二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.分解因式：______．12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____．13.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数图象上，若，，则k的值为______．14.如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿PE翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边点．（1）若，则______；（2）若，且三点共线，则______，三、（本大题共2小题，每小题8分）15.计算：．16.一套衣服的上衣和裤子共100元．因市场需求变化，商家决定分开销售．裤子降价，上衣提价，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元．问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？四、（本大题共2小题，每小题8分）17.如图，在网格中，点A，B，O均为格点（网格线的交点）．（1）将线段绕点O顺时针旋转得到线段，请画出线段（点A对应点C，B对应点D）．（2）以线段为底，在网格内作出一个面积最大等腰，点E在格点上．18.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）各等式都成立时，______；（2）在（1）条件下，写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．五、（本大题共2小题，每小题10分）19.高铁给我们的出行带来了极大的方便．如图，高铁列车座椅后面的小桌板收起时，小桌板的支架的底端N与桌面顶端的距离，且可以看作与地面垂直．展开小桌板时桌面保持水平，即，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．若，，求展开小桌板时点到的距离（结果精确到，参考数据：，，，，）．20.如图，点是圆直径延长线上的一点，与圆相切于点，点是圆上的一点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．六、（本大题12分）21.某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，名七年级学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：：；：；：；：；：．并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：已知组全部数据如下：．请根据以上信息，完成下列问题．（1）______，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______；（2）若将抽取的名学生成绩绘制成扇形统计图，则组所在扇形的圆心角为______；（3）学校将对分以上（含分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．七、（本大题12分）22.已知：如图，两个和中，，，，且点在一条直线上，连接、，与交于点．（1）求证：．（2）若，求的值．八、（本大题14分）23.在平面直角坐标系中，点是坐标原点．抛物线与轴交于两点，直线：与抛物线交于两点，且，．（1）求值；（2）点是线段上的动点，点在轴上，，且点在的左边．过点作轴，交抛物线于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．记以为顶点的四边形面积为，求的最大值．

2024届中考第一次模拟数学试题温馨提示：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列各数中最小数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据：正数都大于，负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．【详解】解：∵正数大于一切负数，∴最小数在和之间，∵，，，∴，∴最小的数是，故选：．2.第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京成功举办，期间中外企业签订了972亿美元的项目合作协议．用科学记数法表示972亿为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【详解】解：972亿．故选A．3.从正面、左面、上面观察某个立体图形，得到如图所示的平面图形，那么这个立体图形是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查从不同方向看，关键是根据平时从不同方向看几何体得到的图形解答．根据从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进行分析即可得答案．【详解】解：一个立体图形从正面、左面看到的平面图形是长方形，从上面看到的平面图形是一个三角形，则这个立体图形是有两个底面是三角形的三棱柱．故选：C．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；B、，故本选项不合题意；C、应为，故本选项符合题意；D、应为，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．5.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．【详解】解：，解不等式得，，解不等式得，，∴不等式组的解集为，∴不等式组的解集在数轴上表示为：故选：．6.小明的笔记本密码是一个两位数，他只记得第一位数是，第二位数是一个奇数，问小明尝试一次就能正确打开笔记本的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了概率公式，首先确定奇数的个数，然后用概率公式计算即可，解答此题的关键是要明确：随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．【详解】解：笔记本密码是一个两位数，第一位数是，第二位数可能是，共个数，小明尝试一次就能正确打开笔记本的概率是，故选：B．7.如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理，三角形内角和定理，连接，求出，即得到，由，可得，与相加得到，即可求解，掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．【详解】解：连接，∵正五边形内接于，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，即，∴，故选：．8.中国古代数学家赵爽设计的“弦图”蕴含了丰富的数学知识．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，设，若，则正方形与正方形的面积的比值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的知识，设小直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，分别表示出和，根据，可得，即可求出，，进而求解，根据和的关系得到小直角三角形两直角边的关系是解题的关键．【详解】解：设小直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴正方形与正方形的面积的比值为，故选：．9.对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：一次函数分别与，相交一点；一次函数与有两个交点，与不相交；求出的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：当时，二次函数的相关函数为当时，二次函数的相关函数为，∴二次函数的相关函数为，二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线,当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大；一次函数与轴的交点为一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况：一次函数分别与，相交一点，则有，解得；一次函数与有两个交点，与不相交，则有，解得，且，即有两个不相等的实数根，∴，解得，∴；综上所述，或，∴的值可能是，故选：．10.如图，点是正方形内一点，，且，下列结论正确的是（）A.的面积最小值为 B.的面积最小值为C.的面积最大值为 D.的面积最大值为【答案】B【解析】【分析】本题考考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质，过点作于，于，延长交于，由正方形的性质推导出为直角三角形，设，利用勾股定理可得，利用三角形面积法可得，进而得到，故而得到，利用二次函数的性质即可求解，利用三角形面积公式构建出二次函数是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于，于，延长交于，则四边形为矩形，∴，∵正方形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，为直角三角形，设，∵，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴当时，取最小值，最小值，故选：．二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.分解因式：______．【答案】##【解析】【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：=2（m2-9）=2（m+3）（m-3）．故答案为：2（m+3）（m-3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．【详解】解：根据题意得，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式的意义是解题的关键．13.如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数图象上，若，，则k的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的性质与判定，分别过引轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值．【详解】解：如图，分别过A、B引轴的垂线，垂足分别为，点B在函数的图象上，，，，轴，轴，，，，，又，，，点A在函数的图象上，，∵（函数图象经过第二象限），∴，故答案为：．14.如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿PE翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边点．（1）若，则______；（2）若，且三点共线，则______，【答案】14.15.【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键．（1）翻折得到，得到，，再求出即可求解；（2）过点作交于点，可得到四边形为矩形，再证明，利用勾股定理即可求解．【小问1详解】解：∵翻折得到，∴，，∵，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵平分，∴．【小问2详解】解：如图，当点三点共线时，有交于点，过点作交于点，又∵，∴四边形为矩形，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵是的中点，∴由折叠性质，，∴，在中，，∴，∴，设，∴，在中，，∴，解得：，即．三、（本大题共2小题，每小题8分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值的定义、负整数指数幂、算术平方根的定义分别运算，再相加减即可，掌握实数的运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，．16.一套衣服的上衣和裤子共100元．因市场需求变化，商家决定分开销售．裤子降价，上衣提价，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元．问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？【答案】调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用；设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，列出二元一次方程组，解方程组即可作答．【详解】解：设调价前上衣的单价是元，裤子的单价是元，由题意得解得，（元）（元）答：调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元．（方法不唯一）四、（本大题共2小题，每小题8分）17.如图，在网格中，点A，B，O均为格点（网格线的交点）．（1）将线段绕点O顺时针旋转得到线段，请画出线段（点A对应点C，B对应点D）．（2）以线段为底，在网格内作出一个面积最大的等腰，点E在格点上．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了画旋转图形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的定义：（1）根据所给的旋转方式作图即可；（2）设中，边上的高为，由于，则，故当，即时，的面积最大，据此作等腰直角三角形即可．【小问1详解】解：如图所示，线段即为所求；【小问2详解】解：如图所示，即为所求；设中，边上的高为，∴，∴，∴当，即时，的面积最大，则是等腰直角三角形，据此可知所画图形即为所求．18.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）各等式都成立时，______；（2）在（1）的条件下，写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，分式的加减计算：（1）根据含乘方的有理数混合计算法则求解即可；（2）根据等式的规律写出第n个等式，根据分式的加减进行计算，即可证明．【小问1详解】解：∵，∴，∴；同理可求出第2、3、4个等式成立时，，故答案为：；【小问2详解】解：猜想的第n个等式为：，证明：左边右边，∴左边右边．五、（本大题共2小题，每小题10分）19.高铁给我们的出行带来了极大的方便．如图，高铁列车座椅后面的小桌板收起时，小桌板的支架的底端N与桌面顶端的距离，且可以看作与地面垂直．展开小桌板时桌面保持水平，即，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度．若，，求展开小桌板时点到的距离（结果精确到，参考数据：，，，，）．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，构造和，设，则，利用直角三角形的边角间关系分别用含的代数式表示出，根据线段的和差关系得到关于的方程，求解后代入计算即可得到点到的距离，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．【详解】解：延长交于点，∵，∴，∴，设，则，在中，∵，∴，，∴，∴，在中，∵，∴，∵，∴，解得，∴，答：点到的距离约为．20.如图，点是圆直径延长线上的一点，与圆相切于点，点是圆上的一点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（）连接，由切线的性质和等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质即可得出结论；（）作于，根据圆周角定理得到，，由得到，根据直角三角形的性质可得到，，根据勾股定理求出，即可求出的长；本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键．【小问1详解】证明：连接，∵与圆相切于点，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：如图，作于，则，∵为的直径，∴，，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．六、（本大题12分）21.某中学在“世界读书日”知识竞赛活动，名七年级学生全部参赛，从中随机抽取名学生的竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：：；：；：；：；：．并绘制了七年级竞赛成绩频数分布直方图，部分信息如下：已知组的全部数据如下：．请根据以上信息，完成下列问题．（1）______，抽取的名学生竞赛成绩的中位数是______；（2）若将抽取的名学生成绩绘制成扇形统计图，则组所在扇形的圆心角为______；（3）学校将对分以上（含分）的学生授予“小书虫”称号，请根据以上统计信息估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数．【答案】（1），；（2）；（3）名．【解析】【分析】（）根据频数分布直方图即可求出，根据中位数的定义计算即可求出中位数；（）用乘以组人数的占比即可求解；（）用乘以80分以上（含80分）的学生的占比即可求解；本题考查了频数分布直方图，中位数，扇形统计图，样本估计总体，看到统计图，从统计图中获得必要的信息是解题的关键．【小问1详解】解：由题意得，，将这名学生的成绩从小到大排列，处在第位的两个数的平均数为，∴中位数是，故答案为：，；【小问2详解】解：，∴组所在扇形的圆心角为，故答案为：；小问3详解】解：，答：估计该校七年级被授予“小书虫”称号的学生数为名．七、（本大题12分）22.已知：如图，两个和中，，，，且点在一条直线上，连接、，与交于点．（1）求证：．（2）若，求的值．【答案】（1）证明见