【24七上】角中常用数学思想【八大题型】

明思教育整理提供角中常用数学思想【八大题型】【人教版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1方程思想之用角的和差列方程】 1【题型2方程思想之用平角、周角列方程】 3【题型3整体思想之设单角参数求角度】 4【题型4整体思想之设双角参数求角度】 6【题型5分类讨论思想之按角的内外部分类】 8【题型6分类讨论思想之按顺逆时针分类】 9【题型7分类讨论思想之n等分角】 11【题型8数形结合求角度】 13知识点1：角的和差列方程结论:∠ABE=∠ABC+∠CBD+∠DBE.【题型1方程思想之用角的和差列方程】【例1】（23-24七年级·山东淄博·期中）已知点O是直线AB上的一点，OC，OE，OF是三条射线，∠COE=90°，(1)当∠AOC<90°时．①若射线OC，OE，OF在直线AB的同侧（图1），②根据①中的结果，猜想∠BOE和∠COF的数量关系是_______；③当OC与OE，OF在直线AB两旁时（如图2），设∠COF=x，请通过计算，用x的代数式表示∠BOE，说明(2)当∠AOC>90°，OC与OE，OF在直线AB两旁时（如图3），上述∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请写出∠COF和【变式1-1】（23-24七年级·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若∠COB=3∠AOD，OE为∠AOD的角平分线，则∠COE的度数是（

）A．45° B．60° C．65° D．67.5°【变式1-2】（23-24七年级·重庆开州·期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（

）A．40° B．45° C．60° D．75°【变式1-3】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，∠AOB:∠BOC:∠COD=2:3:4，射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD，若∠MON=84°，则∠AOB的度数为（

）A．14° B．28° C．42° D．56°知识点2：用平角、周角列方程条件:A,B,C三点共线结论:∠ABD+∠DBC=180°条件:已知射线OA,OB,OC.结论:∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°【题型2方程思想之用平角、周角列方程】【例2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OF平分∠BOD，∠BOF:∠BOC=1:4，则∠BOE的度数为（

）A．45° B．55° C．60° D．65°【变式2-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，则∠BOC=°．【变式2-2】（23-24七年级·湖北恩施·期末）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE=65°，OM⊥OB，则∠MOE=．【变式2-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期末）如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC=∠BOD，∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠COF，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，则∠COF的大小为（）A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°【题型3整体思想之设单角参数求角度】【例3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知∠AOB=120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON=______°(2)如图②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON=______°(3)如图③，在∠AOB内，若∠COD=α0°<α<60°，则∠MON=(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0<∠AOC<180°，0<∠BOD<180°），求此时∠MON的度数．【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·开学考试）已知∠AOB=110°，∠COD=40°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如图①，当OB，OC重合时，求(2)当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0<t<10）；在旋转过程中∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．(1)如图1，当OA，OC重合时，求∠EOF的度数；(2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°.①如图2，试判断∠BOF与∠COE之间满足的数量关系并说明理由.②在∠COD旋转过程中，请直接写出∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系.【变式3-3】（23-24七年级·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，∠BAC=45°，∠EAD=60°．分别作∠BAE，∠CAD的平分线AM，AN．试求∠MAN的度数．（2）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分线．试求∠MAN的度数．（3）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转α°0°<α<360°，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分线．在旋转的过程中，∠MAN【题型4整体思想之设双角参数求角度】【例4】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，∠BOE=13∠BOC,∠DOE=72°，则∠EOCA．70° B．72° C．75° D．80°【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：（1）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．①如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC=150°，若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；②如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON=2∠NOC，求∠AOM的度数.（2）已知点A、O、B不在同一条直线上，∠AOB=α,∠BOC=β，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，用含α,β的式子表示∠MON的大小.【变式4-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知，∠AOB＝3∠COD，∠COD＝α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∠COD绕着点O顺时针旋转．(1)若α＝45°．①如图1，当∠COD旋转到OC与OB重合时，求∠EOF的度数；②如图2，当∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，求∠EOF的度数；(2)若0°＜α＜60°，∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转一周，则∠BOF的度数为．【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知射线OB，OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE，OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF=14°知识点3：按角的内外部分类条件:已知∠AOB,射线OC,∠AOB>∠AOC.结论:当OC在∠AOB内部时,∠BOC1=∠AOB-∠AOC1；当OC在∠AOB外部时,∠BOC2=∠AOB+∠AOC2【题型5分类讨论思想之按角的内外部分类】【例5】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD=13∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB=α，则∠BOE=A．516α或18α B．516α或16α【变式5-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC=．【变式5-2】（23-24七年级·山西运城·期末）已知点A，O，B依次在同一直线上，射线OC平分∠AOB，∠COD=20°，OE平分∠BOD，则∠COE的度数是（

）A．50° B．35° C．55° D．55°或35°【变式5-3】（23-24七年级·重庆渝中·开学考试）已知∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线，过点O作射线OD，若∠AOD=3∠BOD，则∠COD的角度是（

）A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°知识点4：按顺逆时针分类条件:已知∠AOB,射线OC,∠AOB<∠AOC.结论:(1)∠BOC1=∠AOC1-∠AOB；(2)∠BOC2=∠AOB+∠AOC2；(3)∠AOC3+∠BOC3+∠AOB=360°．【题型6分类讨论思想之按顺逆时针分类】【例6】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，∠AOB=100°，射线OC以2°/s的速度从OA位置出发，射线OD以10°/s的速度从OB位置出发，设两条射线同时绕点O逆时针旋转(1)当t=10时，求∠COD的度数；(2)若0≤t≤15．①当三条射线OA、OC、OD构成的三个度数大于0°的角中，有两个角相等，求此时t的值；②在射线OD，OC转动过程中，射线OE始终在∠BOD内部，且OF平分∠AOC，当∠EOF=110°，求∠BOE∠AOD【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．【变式6-2】（23-24七年级·广东佛山·期末）已知：∠AOB=∠COD=80°（1）如图1，∠AOC=∠BOD吗？请说明理由．（2）如图2，直线MN平分∠AOD，直线MN平分∠BOC吗？请说明理由．（3）若∠BOD=150°，∠BOE=20°，求∠COE的大小．【变式6-3】（23-24七年级·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD=12∠AOB，则称∠COD请根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图①，∠AOB=50°，∠BOD=10°．若∠COD是∠AOB的“内半角”，则∠AOC=_______．(2)如图②，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0<α<60°至∠COD，即∠COD=∠AOB=60°，其中∠AOC=∠BOD=α．若∠COB是∠AOD的“内半角”，求α的度数．(3)把一块含60°的三角板COD按如图③方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图④，将三角板COD绕顶点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线OA，OB，OC，OD构成“内半角”时，请直接写出t的值．知识点5：按顺逆时针分类条件:∠AOC=∠BOC结论:∠AOC1=12∠AOB或∠AOC2=180°-12条件:∠AOC=1n结论:∠AOC1=1n+1∠AOB或∠AOC2=【题型7分类讨论思想之n等分角】【例7】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【变式7-1】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1:2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．如图②，若∠MON=120°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是．【变式7-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP=4∠NOP，则OP为∠MON的四倍分线．∠NOQ=4∠MOQ，则OQ也是∠MON的四倍分线．【问题再现】（1）若∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP>∠POA，求∠BOP的度数；【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB）．①若∠AOC=120°，求∠POQ的度数；②若∠AOC=α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON），求【变式7-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是(1)如图1，若∠AOB=90°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”，求∠AOC的度数．(2)如图2，若∠MPN=60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时，射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180°时，射线PQ，射线PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．【题型8数形结合求角度】【例8】（23-24七年级·广东佛山·期末）数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题：（1）如图1：射线OC是∠AOB的平分线，这时有数量关系：∠AOB=______．（2）如图2：∠AOB被射线OP分成了两部分，这时有数量关系：∠AOB=______．（3）如图3：直线AB上有一点M，射线MN从射线MA开始绕着点M顺时针旋转，直到与射线MB重合才停止．①请直接回答∠AMN与∠BMN是如何变化的？②∠AMN与∠BMN之间有什么关系？请说明理由．【变式8-1】（23-24七年级·山东济宁·期末）材料阅读角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定．因为时针绕钟面转一圈（360°）需要12小时，所以时针每小时转过30°．如图3中05:00时针就转过30×5=150°．因为分针绕钟面转一圈（360°）需要60分钟，所以分针每分钟转过6°．如图4中00:28分针就转过6×28=168°．再如图5中6:40时针转过的度数为30×6+4060=200°，分针转过的度数记为6×40=240°，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以知识应用请使用上述方法，求出7:20时针与分针的夹角．拓广探索张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．）【变式8-2】（23-24七年级·云南昆明·期末）分类讨论是一种非常重要的数学思想方法．如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若x=2，y=3，求情况①若x=2，y=3，则x+y=5，情况②若x=2，y=−3情况③若x=−2，y=3，则x+y=1，情况④若x=−2，y=−3所以，x+y的值为1，−1，5，−5．几何的学习过程中也有类似的情况：问题1

已知点A，B，C在同一条直线上，若AB=8，BC=3，求AC的长．通过分析我们发现，满足题意的情况有两种．情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=__________；情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，AC=__________．我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类．问题2

如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是−1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？仿照问题1，结合图形写出分类情况和对应的点C表示的数．问题3

如图4，∠AOB=30°，过点O引射线OC和射线OM，且射线OM平分∠AOC，若∠BOC=60°，画出图形并计算∠MOB的度数．【变式8-3】（23-24七年级·江苏镇江·期末）游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为Mi(i=1、2⋯⋯16),△AOB表示的是摩天轮的支架，且(1)摩天轮每分钟转动____________°，∠M(2)如图2，在某一时刻，连接点M1转动到∠AOB的内部，此时∠AO①求此时的∠BOM②求当OM3第一次平分∠AOB时，摩天轮的转动时间以及此时③设摩天轮转动的时间为t，在连接点M1到达到最高处前，是否存在∠BOM3

角中常用数学思想【八大题型】 【2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1方程思想之用角的和差列方程】 1【题型2方程思想之用平角、周角列方程】 5【题型3整体思想之设单角参数求角度】 10【题型4整体思想之设双角参数求角度】 18【题型5分类讨论思想之按角的内外部分类】 25【题型6分类讨论思想之按顺逆时针分类】 29【题型7分类讨论思想之n等分角】 39【题型8数形结合求角度】 44知识点1：角的和差列方程结论:∠ABE=∠ABC+∠CBD+∠DBE.【题型1方程思想之用角的和差列方程】【例1】（23-24七年级·山东淄博·期中）已知点O是直线AB上的一点，OC，OE，OF是三条射线，∠COE=90°，(1)当∠AOC<90°时．①若射线OC，OE，OF在直线AB的同侧（图1），②根据①中的结果，猜想∠BOE和∠COF的数量关系是_______；③当OC与OE，OF在直线AB两旁时（如图2），设∠COF=x，请通过计算，用x的代数式表示∠BOE，说明(2)当∠AOC>90°，OC与OE，OF在直线AB两旁时（如图3），上述∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请写出∠COF和【答案】(1)①50°；②∠BOE=2∠COF；③成立，理由见解析；(2)∠BOE=360°−2∠COF，证明见解析．【分析】（1）①根据已知角的度数求出∠EOF，∠AOE，再根据平角定义求出∠BOE的度数即可；②由①中求出的结果即可求解；③根据已知角的度数表示出∠EOF，∠AOE，再根据平角定义表示出∠BOE的度数，可得（2）依据前面③的方法表示出∠EOF，∠AOE，表示出∠BOE，可得∠BOE和本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键．【详解】（1）解：①∵∠COE=90°，∠COF=25°，∴∠EOF=90°−25°=65°，∵OF是∠AOE的平分线，∴∠AOE=2∠EOF=130°，∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−130°=50°；②由①中的结果可得∠BOE=2∠COF，故答案为：∠BOE=2∠COF；③②中的关系仍然成立，理由如下：∵∠COE=90°，∠COF=x，∴∠EOF=90°−x，∵OF是∠AOE的平分线，∴∠AOE=2∠EOF=180°−2x，∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−180°−2x即∠BOE=2∠COF；（2）解：不成立，∠BOE和∠COF的数量关系为∠BOE=360°−2∠COF．证明：设∠COF=x，∵∠COE=90°，∠COF=x，∴∠EOF=x−90°，∵OF是∠AOE的平分线，∴∠AOE=2∠EOF=2x−180°，∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−2x−180°即∠BOE=360°−2∠COF．【变式1-1】（23-24七年级·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若∠COB=3∠AOD，OE为∠AOD的角平分线，则∠COE的度数是（

）A．45° B．60° C．65° D．67.5°【答案】D【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设∠AOD=x，则∠COB=3x，得到∠BOC=180°−x，则180°−x=3x，解得x=45°，则∠DOE=12∠AOD=22.5°【详解】解：设∠AOD=x，则∠COB=3x，由题意可知，∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOC=∠AOB+∠COD−AOD=90°+90°−x=180°−x，∴180°−x=3x解得，x=45°，∴∠AOD=45°，∵OE为∠AOD的角平分线，∴∠DOE=1∴∠COE=∠COD−∠DOE=67.5°故选：D．【变式1-2】（23-24七年级·重庆开州·期末）如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOD的度数为（

）A．40° B．45° C．60° D．75°【答案】C【分析】设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，根据角平分线的定义可以推出∠COD=0.5x，结合∠COD=20°，即可求出x的值，进而得到∠AOD的度数．【详解】解：∵∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，∴设∠COB=2∠AOC=2x，则∠AOB=3x，∴∠AOD=∠BOD=1.5x∴∠COD=∠COB−∠BOD=0.5x，∴0.5x=20°，解得：x=40°，∴∠AOD=1.5x=1.5×40°=60°，故选：C．【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义以及方程思想，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键．【变式1-3】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，∠AOB:∠BOC:∠COD=2:3:4，射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD，若∠MON=84°，则∠AOB的度数为（

）A．14° B．28° C．42° D．56°【答案】B【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分，设未知数，列出一元一次方程，是解题的关键．首先设设∠AOB=2x°，则∠BOC=3x°，∠COD=4x°，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出∠AOB的度数．【详解】解：∵∠AOB:∠BOC:∠COD=2:3:4，设∠AOB=2x°，则∠BOC=3x°，∠COD=4x°，∵射线OM、ON分别平分∠AOB，∠COD，∴∠BOM=12∠AOB=x°又∵∠MON=84°，∴x+3x+2x=84，解得：x=14，∴∠AOB=2×14°=28°．故选：B．知识点2：用平角、周角列方程条件:A,B,C三点共线结论:∠ABD+∠DBC=180°条件:已知射线OA,OB,OC.结论:∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°【题型2方程思想之用平角、周角列方程】【例2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥OF，OF平分∠BOD，∠BOF:∠BOC=1:4，则∠BOE的度数为（

）A．45° B．55° C．60° D．65°【答案】C【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键；根据∠BOF:∠BOC=1:4，设∠BOF=x°，∠BOC=4x°，根据【详解】解：设∠BOF=x°，则∠BOC=4x∵OF平分∠BOD；∴∠BOD=2∠BOF=2x因为∠BOD+∠BOC=180°；∴2x+4x=180；解得：x=30；所以∠BOF=30°；∵OE⊥OF；∴∠EOF=90°；∴∠BOE=∠EOF−∠BOF=60°；故选：C．【变式2-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF=66°，则∠BOC=°．【答案】132【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设∠AOE=α，∠BOF=β，根据∠AOE+∠BOF=66°，得β=66°−α，再根据角平分线的定义得∠DOB=2β，由平角的定义得∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，即α+2β=90°，将β=66°−α代入可得α=42°，进而可求出∠AOD=132°，然后再根据对顶角相等可得∠BOC的度数．【详解】解：设∠AOE=α，∠BOF=β，∵∠AOE+∠BOF=66°，∴α+β=66°，∴β=66°−α，∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=∠BOF=β，∴∠DOB=∠DOF+∠BOF=2β，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∵∠AOE+∠EOD+∠DOB=180°，∴α+90°+2β=180°，∴α+2β=90°，∴α+266°−α解得：α=42°，即∠AOE=42°，∴∠AOD=∠AOE+∠EOD=42°+90°=132°，∴∠BOC=∠AOD=132°．故答案为：132．【变式2-2】（23-24七年级·湖北恩施·期末）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC=180°，∠DOE=65°，OM⊥OB，则∠MOE=．【答案】115°或【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得∠BOE的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB=90°，即可得到结果．【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若OM在AC上方，∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOD，∵4∠BOE+∠BOC=180°，∴∠AOB=4∠BOE，即∠AOE=3∠BOE，设∠BOE=α，则∠AOE=3α，∠BOD=65°−α=∠COD，∵∠AOC为平角，∴∠AOE+∠DOE+∠COD=180°，即3α+65°+65°−α=180°，解得α=25°，∴∠BOE=25°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB=90°，∴∠MOE=∠BOE+∠MOB=25°+90°=115°；②如图2所示，若OM在AC下方，同理可得，∠BOE=25°，又∵OM⊥OB，∴∠MOB=90°，∴∠MOE=∠MOB−∠BOE=90°−25°=65°，综上所述，∠MOE的度数为115°或65°．故答案为：115°或65°．【变式2-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期末）如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC=∠BOD，∠EOF=∠COG=90°,OA平分∠COF，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，则∠COF的大小为（）A．45° B．60° C．72°或45° D．40°或60°【答案】C【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或12【详解】解：设∠DOE=x°，射线OD将∠BOE分成了角度数之比为2:1的两个角，当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=12x°，∠AOC=∠BOD=1∵OA平分∠COF，∴∠AOC=∠AOF=12∵∠EOF=∠COG=90°,∠COD=180°，∴12x+1解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；当∠BOD:∠DOE=2:1时，∠BOD=2x°，∠AOC=∠BOD=2x°，同理，∠AOC=∠AOF=2x°，2x+2x+90+x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；故选：C．【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意分类讨论．【题型3整体思想之设单角参数求角度】【例3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知∠AOB=120°，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则∠MON=______°(2)如图②，若∠COD=40°，∠AOC≠∠DOB，则∠MON=______°(3)如图③，在∠AOB内，若∠COD=α0°<α<60°，则∠MON=(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（0<∠AOC<180°，0<∠BOD<180°），求此时∠MON的度数．【答案】(1)80(2)80(3)(60+(4)∠MON=120°−12【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠AOC=∠COD=∠DOB=13×120°=40°，∠MOC=12（2）根据角平分线的定义得到∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，而（3）与（2）一样得到∠AOC+∠DOB=120°−α，∠MOC+∠DON=60°−12α（4）反向延长OA、OB得到OA'、OB'，然后分类讨论：当OD、OC在∠AOB'内部；当OD、OC在∠A'OB'内部，可计算得到∠MON=120°−1当OD、OC在∠A'OB内部，可计算得到∠MON=60°+12α；当OD、OC在∠A'OB'【详解】（1）解：∵OC、OD是∠AOB的三等分线，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=1∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC=20°∴∠MON=20°+40°+20°=80°；故答案为80；（2）解：∵射线OM、ON分别平分∠ACO和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC∴∠MOC+∠DON=1∵∠AOB=120°，∠COD=40°，∴∠AOC+∠DOB=120°−40°=80°∴∠MOC+∠DON=40°，∴∠MON=40°+40°=80°；故答案为80；（3）解：∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC∴∠MOC+∠DON=1∵∠AOB=120°，∠COD=α，∴∠AOC+∠DOB=120°−α，∴∠MOC+∠DON=60°−1∴∠MON=60°−1故答案为(60+1（4）解：反向延长OA、OB得到OA'、OB'，如图，当OD、OC在∠AOB'内部，设∠AOD=x，则∠AOC=α+x，∴∠MOC=12∠AOC=∴∠MON=∠BOC−∠COD−∠BON=120°+α+x−1当OD、OC在∠A'OB'内部，可计算得到∠MON=120°−1当OD、OC在∠A'OB内部，可计算得到∠MON=60°+1当OD、OC在∠A'OB'内部，可计算得到∠MON=120°−1【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·开学考试）已知∠AOB=110°，∠COD=40°．OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．(1)如图①，当OB，OC重合时，求(2)当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0<t<10）；在旋转过程中∠AOE−∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)35°；(2)不变，∠AOE−∠BOF=35°是定值，见解析．【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键．∠AOE-∠BOF的值是定值，（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE=12∠AOB=（2）首先由题意可得∠BOC=3t°，再根据角平分线的定义得出∠AOC=∠AOB+3t°=110°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=40°+3t°，然后由角平分的定义解答即可．【详解】（1）解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOB=∴∠AOE−∠BOF=55°−20°=35°；（2）解：∠AOE−∠BOF=35°是定值．理由如下：由题意：∠BOC=3t°，则∠AOC=∠AOB+3t°=110°+3t°，∠BOD=∠COD+3t°=40°+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=1∠BOF=1∠AOE−∠BOF=55°+∴∠AOE−∠BOF的值是定值，定值为35°．【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．(1)如图1，当OA，OC重合时，求∠EOF的度数；(2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°.①如图2，试判断∠BOF与∠COE之间满足的数量关系并说明理由.②在∠COD旋转过程中，请直接写出∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系.【答案】(1)∠EOF=50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由见解析；②∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.【分析】(1)由题意得出∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝140°，由角平分线定义得出∠EOD＝12∠AOD＝20°，∠DOF＝1(2)①由角平分线定义得出∠EOD＝∠AOE＝12∠AOD＝20°+12α，∠BOF＝12∠BOD＝70°+1②由①得∠EOD＝∠AOE＝20°+12α，∠DOF＝∠BOF＝70°+1当∠AOC＜40°时，求出∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝30°+12α，∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝120°+1当40°＜∠AOC＜90°时，求出∠COF＝∠DOF+∠DOC＝150°﹣12α，∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝120°+1【详解】解：(1)∵OA，OC重合，∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝12∠AOD＝12×40°＝20°，∠DOF＝12∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝∠AOE＝12∠AOD＝12(40°+α)＝20°+12α，∠BOF＝12∠BOD＝12∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+12α﹣α＝20°﹣1∴∠BOF+∠COE＝70°+12α+20°﹣1②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+12α，∠DOF＝∠BOF＝70°+1当∠AOC＜40°时，如图2所示：∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+12α﹣40°＝30°+1∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝100°+40°+α﹣(20°+12α)＝120°+1∴∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝120°+12α+30°+1当40°＜∠AOC＜90°时，如图3所示：∠COF＝∠DOF+∠DOC＝12(360°﹣140°﹣α)+40°＝150°﹣1∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣(20°+12α)＝120°+1∴∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝150°﹣12α+α﹣(120°+综上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系为∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝150°或∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.

【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角度的和差关系及角平分线的性质.【变式3-3】（23-24七年级·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，∠BAC=45°，∠EAD=60°．分别作∠BAE，∠CAD的平分线AM，AN．试求∠MAN的度数．（2）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转到图2所示的位置，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分线．试求∠MAN的度数．（3）将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转α°0°<α<360°，AM、AN仍然是∠BAE，∠CAD的平分线．在旋转的过程中，∠MAN【答案】（1）∠MAN=52.5°；（2）∠MAN=52.5°；（3）当120°≤α≤135°时，∠MAN的度数会发生改变，见解析【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键．（1）结合角平分线的定义以及∠MAN=∠MAE+∠NAE，进行求解即可；（2）设∠BAD=x°，则∠CAD=45+x°，（3）分0°<α<120°，120°≤α≤135°和135°<α<360°，三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）∵AM、AN分别平分∠BAE、∠CAD，∴∠MAE=12∠BAE∴∠MAN=∠MAE+∠NAE===52.5°；（2）设∠BAD=x°，则∠CAD=45+x°，∵AM、AN分别平分∠BAE、∠CAD，∴∠BAM=1∠DAN=1∴∠MAN=∠BAM+∠BAN=∠BAM+=∠BAM+∠DAN−∠BAD=1（3）∠MAN的度数会发生改变．当0°<α<120°时，如图，设∠CAE=x°，则∠CAD=60+x°，∵AM、AN分别平分∠BAE、∠CAD，∴∠MAE=12∠BAE=∴∠MAN=∠MAE+∠NAE=∠MAE+=∠MAE+∠CAN−∠CAE=1当120°≤α≤135°时，如图，设∠BAN=x°，则∠CAN=45+x∵AM、AN分别平分∠BAE、∠CAD，∴∠BAM=1∠BAD=2∠CAN=90+2x∴∠CAE=360°−∠CAD−∠DAE=360°−=210−2x∠BAE=∠CAE+∠BAC=210−2x∴∠BAM=1∴∠MAN=∠BAM+∠BAN=127.5−x当135°<α<360°时，如图2，∠MAN=52.5°，综上所述，当120°≤α≤135°时，∠MAN的度数会发生改变．【题型4整体思想之设双角参数求角度】【例4】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，∠BOE=13∠BOC,∠DOE=72°，则∠EOCA．70° B．72° C．75° D．80°【答案】B【分析】本题考查求角度，涉及角平分线性质、角度和差倍分关系、解方程等知识，由角平分线定义及题中条件，设∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，则∠EOC=2β，数形结合，根据角度之间的关系列方程求解即可得到答案．【详解】解：∵OD是∠AOB的平分线，∴∠AOD=∠BOD=1∵∠BOE=1∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=1设∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，则∠EOC=2β，∴α+β=72°，2α+3β=180°①∴由①−②得β=36°，即∠EOC=72°，故选：B．【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：（1）已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在∠MON内部作射线OC．①如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且∠AOC=150°，若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；②如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分∠MOB，且∠BON=2∠NOC，求∠AOM的度数.（2）已知点A、O、B不在同一条直线上，∠AOB=α,∠BOC=β，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，用含α,β的式子表示∠MON的大小.【答案】（1）①射线OC表示的方向为北偏东60°；②45°；（2）∠MON为a+β2或a−β2【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况讨论即可．【详解】（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，∴射线OC表示的方向为北偏东60°；（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，∴3∠NOC+∠NOC＝90°，∴4∠NOC＝90°，∴∠BON＝2∠NOC＝45°，∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°；Ⅱ、①如图1：∵∠AOB＝α，∠BOC＝β∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM＝∠BOM＝12∠AOB＝12α，∠CON＝∠BON＝12∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝a+β2②如图2，∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝a−β③如图3，∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝β−α2∴∠MON为a+β2或a−β2【点睛】此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系．【变式4-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知，∠AOB＝3∠COD，∠COD＝α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∠COD绕着点O顺时针旋转．(1)若α＝45°．①如图1，当∠COD旋转到OC与OB重合时，求∠EOF的度数；②如图2，当∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，求∠EOF的度数；(2)若0°＜α＜60°，∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转一周，则∠BOF的度数为．【答案】(1)①90°；②90°(2)2α或180°−2α．【分析】（1）①由α＝45°，OC与OB重合，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC＝67.5°，∠BOF＝22.5°，即得∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°；②根据∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°，而OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，根据∠COF＝∠COD−∠DOF，即得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝90°；（2）设∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转，旋转角度数是x，分三种情况：①当∠AOB＋x≤180°时，根据∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3α＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，即得∠COF＝∠DOF−∠COD，故∠EOF＝∠EOC−∠COF＝2α，②当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°时，由∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3α−x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，同理可得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝180°−2α，③当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°时，同理可得∠EOF＝∠DOF−∠DOE＝2α．【详解】（1）解：①∵α＝45°，∴∠COD＝45°，∠AOB＝3α＝135°，∵OC与OB重合，∴∠BOD＝45°，∠AOC＝135°，∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝67.5°，∠BOF＝12∠∴∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°；②∵∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，∴∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°，∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝67.5°＋12n°，∠DOF＝12∠BOD＝∴∠COF＝∠COD−∠DOF＝45°−（12n°＋22.5°）＝22.5°−12∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝67.5°＋12n°＋22.5°−12（2）设∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转，旋转角度数是x，①当∠AOB＋x≤180°时，如图：∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3α＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝32α+12x，∠12∴∠COF＝∠DOF−∠COD＝12x+12α∴∠EOF＝∠EOC−∠COF＝32②当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°时，如图：∵∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3α−x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝180°−12x−32α，∠DOF∴∠COF＝∠DOF−∠COD＝1∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝180°−③当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°时，如图：∵∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3α−x，∠BOD＝360°−（∠BOC＋COD）＝360°−x−α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∴∠EOC＝12∠AOC＝180°−180°−32α−∠BOD＝180°−1∴∠DOE＝∠EOC−∠COD＝180°−3∴∠EOF＝∠DOF−∠DOE＝180°−1综上所述，∠EOF为2α或180°−2α．故答案为：2α或180°−2α．【点睛】本题考查运动的角，解题的关键是分类画出图形，数形结合，利用角平分线及角的和差解决问题．【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知射线OB，OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE，OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF=14°【答案】84°或42°【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．OB为∠AOC的三等分线，设∠AOC=3x，则∠BOC=x或2x，再由OF平分∠COD，设∠COD=2y，则∠DOF=∠COF=y，则∠BOD=∠BOC+∠COD=x+2y或2x+2y，由此求解即可．【详解】解：∵OB为∠AOC的三等分线，设∠AOC=3x，则∠BOC=x或2x，∵OF平分∠COD，设∠COD=2y，则∠DOF=∠COF=y，则∠BOD=∠BOC+∠COD=x+2y或2x+2y，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∠BOE=0.5x+y或x+y，∴∠EOF=∠DOE−∠DOF=0.5x或x，∵∠EOF=14°，∴x=28°或14°，∴∠AOC=3x=84°或42°．故答案为：84°或42°．知识点3：按角的内外部分类条件:已知∠AOB,射线OC,∠AOB>∠AOC.结论:当OC在∠AOB内部时,∠BOC1=∠AOB-∠AOC1；当OC在∠AOB外部时,∠BOC2=∠AOB+∠AOC2【题型5分类讨论思想之按角的内外部分类】【例5】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD=13∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB=α，则∠BOE=A．516α或18α B．516α或16α【答案】A【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当OD位于∠BOC内部时和当OD位于∠BOC外部时，解答即可．【详解】解：如图1，当OD位于∠BOC内部时，∵∠AOB=α，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=1∵∠BOD=1∴∠BOD=14∠COB=∵OE平分∠COD，∴∠EOD=1∴∠BOE=∠EOD+∠BOD=3如图2，当OD位于∠BOC外部时，∵∠AOB=α，OC是∠AOB的平分线，∴∠COB=1∵∠BOD=1∴∠BOD=12∠COB=∵OE平分∠COD，∴∠EOD=1∴∠BOE=∠EOD−∠BOD=3综上可知∠BOE=516α或故选：A．【变式5-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC=．【答案】15°或135°．【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．【详解】分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°，∴5x+4x=27，解得：x=3，∴∠AOC=15°；②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x，∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=27°，∴5x=27+4x，解得：x=27∴∠AOC=135°，故答案为15°或135°．【点睛】考查了角的计算．属于基础题，关键是分两种情况进行讨论．【变式5-2】（23-24七年级·山西运城·期末）已知点A，O，B依次在同一直线上，射线OC平分∠AOB，∠COD=20°，OE平分∠BOD，则∠COE的度数是（

）A．50° B．35° C．55° D．55°或35°【答案】D【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差，熟练掌握相关知识是解答本题的关键，由角平分线的定义得∠BOC为平角的一半，即90°，然后分OD在∠BOC内部和外部两种情况，分别求出∠BOD和∠DOE的度数，最后根据角的和差求解即得答案．【详解】∵点A，O，B依次在同一直线上，∴∠AOB=180°∵射线OC平分∠AOB，∴∠BOC=当OD在∠BOC内部时，如图1，∠BOD∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∴∠COE=∠COD+∠DOE=20°+35°=55°当OD在∠BOC外部时，如图2，∠BOD∵OE平分∠BOD，∴∠DOE=∴∠COE=∠DOE−∠COD=55°−20°=35°∴∠COE的度数是55°或35°故选：D．【变式5-3】（23-24七年级·重庆渝中·开学考试）已知∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线，过点O作射线OD，若∠AOD=3∠BOD，则∠COD的角度是（

）A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90°【答案】C【分析】分当OD在∠AOB内部时，当OD在∠AOB外部时，分别求出∠BOC，【详解】解：如图1所示，当OD在∠AOB内部时，∵∠AOB=120°，∠AOD=3∠BOD，∴∠BOD=1∵OC为∠AOB的角平分线，∴∠BOC=1∴∠COD=∠BOC−∠BOD=30°；如图2所示，当OD在∠AOB外部时，∵∠AOB=120°，∠AOD=3∠BOD，∴∠BOD=1∵OC为∠AOB的角平分线，∴∠BOC=1∴∠COD=∠BOC+∠BOD=120°；综上所述，∠COD的角度是30度或120度，故选C．【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．知识点4：按顺逆时针分类条件:已知∠AOB,射线OC,∠AOB<∠AOC.结论:(1)∠BOC1=∠AOC1-∠AOB；(2)∠BOC2=∠AOB+∠AOC2；(3)∠AOC3+∠BOC3+∠AOB=360°．【题型6分类讨论思想之按顺逆时针分类】【例6】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，∠AOB=100°，射线OC以2°/s的速度从OA位置出发，射线OD以10°/s的速度从OB位置出发，设两条射线同时绕点O逆时针旋转(1)当t=10时，求∠COD的度数；(2)若0≤t≤15．①当三条射线OA、OC、OD构成的三个度数大于0°的角中，有两个角相等，求此时t的值；②在射线OD，OC转动过程中，射线OE始终在∠BOD内部，且OF平分∠AOC，当∠EOF=110°，求∠BOE∠AOD【答案】(1)∠COD=20°(2)①t=253s或【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数；（2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明OD运动至∠AOB外部．由∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，可以得到∠AOF−∠BOE=10°，又因为OF平分∠AOC，则∠AOF=12∠AOC=t°，从而求出∠BOE=【详解】（1）解：依题意，当t=10s时，射线OD运动的度数为10t=100°∵∠AOB=100°，∴此时OD与OA重合，射线OC运动的度数为2t=20°，即∠AOC=20°，∴当t=10s时，∠COD=20°（2）①若0≤t≤15时，分下面三种情形讨论：（i）如图1，当∠DOA=∠COA时，100−10t=2t，∴t=253，符合（ii）如图2，当∠AOD=∠COD时，10t−100=1∴t=1009，符合（iii）如图3，当∠AOC=∠COD时，2t=10t−100−2t，∴t=503，不在综上所得t=253s②如图4，∵0≤t≤15，∴0°≤2t≤30°，0°≤10t≤150°，∴∠AOC最大度数为30°，∠BOD最大度数为150°．∵∠AOB=100°，∴当∠EOF=110°时，∠AOF>10°，∴∠AOC>20°，即t>10，∴OD运动至∠AOB外部．此时，∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，∴∠AOF−∠BOE=10°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=1∴∠BOE=t−10又∠AOD=∠BOD−∠AOB=(10t−100)°，∴∠BOE∠AOD【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程．【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．【答案】(1)∠AOD+∠BOC=170°(2)∠MON的大小为65°(3)t的值为5或11或1689【分析】（1）∠AOD+∠BOC可化为∠AOB+∠COD，计算即可；（2）根据角平分线的定义得到∠AON=12AOD，∠BOM=12∠BOC，进而得到∠MON=∠AOB-12(∠AOD（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后返回时，分两种情况；分别画出图形列方程解答．【详解】（1）解：∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；（2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，∴∠AON=12AOD，∠BOM=12∠∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB-12(∠AOD+∠BOC（3）当OC未到达OB时，分两种情况：①如图：此时30t+20-10t=120，解得t=5；②如图：360-30t-20+10t=120，解得t=11；当OC到达OB后返回时，分两种情况：①如图：此时30t-360-（300-15t-20）=120，解得t=168②如图：此时（720-30t）-20+（300-15t）=120，解得t=195综上，t的值为5或11或1689或【点睛】此题考查了角的旋转，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数．【变式6-2】（23-24七年级·广东佛山·期末）已知：∠AOB=∠COD=80°（1）如图1，∠AOC=∠BOD吗？请说明理由．（2）如图2，直线MN平分∠AOD，直线MN平分∠BOC吗？请说明理由．（3）若∠BOD=150°，∠BOE=20°，求∠COE的大小．【答案】（1）∠AOC=∠BOD，见解析；（2）直线MN平分∠BOC，见解析；（3）150°或110°【分析】（1）根据角的和差关系可得结论；（2）根据角平分线的定义求解即可；（3）分OE在∠AOB内部和外部两种情况进行求解即可．【详解】解：（1）∠AOC=∠BOD．理由如下：∵∠AOB=∠COD=80°∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD即∠BOD=∠AOC（2）直线MN平分∠BOC．理由如下：∵∠AOB+∠MOA+∠NOB=180°，∠COD+∠MOD+∠NOC=180°又∵∠AOB=∠COD=80°∴∠MOA+∠NOB=∠MOD+∠NOC=100°∵直线MN平分∠AOD∴∠MOA=∠MOD∴∠NOB=∠NOC即直线MN平分∠BOC．（3）∵∠BOD=150°，∠AOB=∠COD=80°∴∠AOD=70°，∠COB=130°①当OE在∠AOB内部时，如图所示：∠COE=∠BOC+∠BOE=130°+20°=150°②当OE在∠AOB外部时，如图所示：∠COE=∠BOC−∠BOE=130°−20°=110°综上所述，∠COE的度数为150°或110°．【点睛】本题考查了解度的计算，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键．【变式6-3】（23-24七年级·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠COD=12∠AOB，则称∠COD请根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图①，∠AOB=50°，∠BOD=10°．若∠COD是∠AOB的“内半角”，则∠AOC=_______．(2)如图②，已知∠AOB=60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α0<α<60°至∠COD，即∠COD=∠AOB=60°，其中∠AOC=∠BOD=α．若∠COB是∠AOD的“内半角”，求α的度数．(3)把一块含60°的三角板COD按如图③方式放置，使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图④，将三角板COD绕顶点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线OA，OB，OC，OD构成“内半角”时，请直接写出t的值．【答案】(1)15°(2)20°(3)t的值为103【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算：（1）根据题意算出∠COD的度数，利用∠AOC=∠AOB−∠BOD−∠COD即可算出∠AOC的度数；（2）根据旋转性质可推出∠AOC=∠BOD=α和∠COD=∠AOB=60°，然后可用含有α的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出α的值；（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可．【详解】（1）解：∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB=50°，∴∠COD=1∴∠AOC=∠AOB−∠BOD−∠COD=50°−25°−10°=15°，故答案为：15°；（2）解：∵∠AOC=∠BOD=α，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=α+60°，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠AOD=2∠COB，即α+60°=260°−α解得：α=20°，∴α的值为20°；（3）解：①如图所示，此时∠COB是∠AOD的内半角，由旋转性质可知：∠AOC=∠BOD=6t°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=3t°+30°，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠AOD=2∠COB，即6t+60=260−6t解得：t=10②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的半角，由旋转性质可得：∠AOC=∠BOD=6t°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=6t°+60°，∵∠BOC是∠AOD的内半角，∴∠AOD=2∠BOC，即6t+60=26t−60解得：t=30；综上所述：当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，t的值为103知识点5：按顺逆时针分类条件:∠AOC=∠BOC结论:∠AOC1=12∠AOB或∠AOC2=180°-12条件:∠AOC=1n结论:∠AOC1=1n+1∠AOB或∠AOC2=【题型7分类讨论思想之n等分角】【例7】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1:2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON用含x的代数式表示为（A．94x或3x或92x B．94x或3x或9x C．94x或92【答案】C【分析】分四种情况，分别计算，即可求解．【详解】解：如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=2x，∠NOP=1∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+3如图：射线OP是∠MON∠MOP=2∠NOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=12x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=12x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+1如图：射线OP是∠MON∠NOP=2∠MOP的三等分线，射线OQ是∠MOP则∠QOP=2x，∠NOP=2∠MOP=2×x+2x∴∠MON=∠MOQ+∠QOP+∠NOP=x+2x+6x=9x；综上，∠MON为94x或92故选：C．【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．【变式7-1】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1:2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．如图②，若∠MON=120°，射线OP为∠MON的“幸运线”，则∠MOP的度数是．【答案】40°,60°,80°【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：∠MON=2∠MOP时，∠MON=2∠NOP时，∠MOP=2∠NOP时，∠NOP=2∠MOP时，再根据角的和差进行计算即可．【详解】解：由题意，分以下四种情况：①当∠MON=2∠MOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”，∵∠MON=120°，∴∠MOP=1②当∠MON=2∠NOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”，∵∠MON=120°，∴∠NOP=1∴∠MOP=∠MON−∠NOP=60°；③当∠MOP=2∠NOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”，∵∠MON=120°，∠MOP+∠NOP=∠MON，∴∠MOP+1解得∠MOP=80°；④当∠NOP=2∠MOP时，射线OP是∠MON的“幸运线”，∵∠MON=120°，∠MOP+∠NOP=∠MON，∴∠MOP+2∠MOP=120°，解得∠MOP=40°；综上，∠MOP的度数为60°或80°或40°，故答案为：60°或80°或40°．【变式7-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP=4∠NOP，则OP为∠MON的四倍分线．∠NOQ=4∠MOQ，则OQ也是∠MON的四倍分线．【问题再现】（1）若∠AOB=60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP>∠POA，求∠BOP的度数；【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP>∠POA，∠COQ>∠QOB）．①若∠AOC=120°，求∠POQ的度数；②若∠AOC=α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．已知∠MON=90°，且OM，ON所在射线恰好分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠MOC>∠AOM，∠BON>∠CON），求【答案】（1）40°；（2）①135°；②不变，见解析；（3）90°【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算．（1）根据题意可得：∠BOP=2∠AOP，∠BOP+∠AOP=60°，进而得出答案；（2）①由题意可得：∠COP=3∠AOP，∠COQ=3∠BOQ，根据∠AOC=120°，得出∠AOP=90°，∠BOQ=45°，再求解即可；②不变，根据题意得出∠COP=34∠AOC（3）设∠MOC=α，则∠NOC=9