第9章 平面弯曲内力

第九章平面弯曲内力工程力学第二部分材料力学本章主要介绍在平面弯曲情况下，受弯构件横截面上的内力——剪力与弯矩的计算，剪力图与弯矩图的绘制方法，并在此基础上导出梁弯曲时的应力与变形的计算，建立梁的强度和刚度条件。11.1.1电路的组成在工程实际中经常会遇到像火车轮轴、桥式起重机的大梁这样的杆件。这些杆件的受力特点为：在杆的轴线平面内受到力偶或垂直于杆轴线的外力作用，杆的轴线由原来的直线变为曲线，这种形式的变形称为弯曲变形。垂直与杆轴线的力称为横向力。以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。工程问题中，绝大多数受弯杆件的横截面都有一根对称轴(y轴)，如图所示为常见的截面形状。第一节平面弯曲的概念与实例2工程力学一、平面弯曲的概念与实例1.1.1电路的组成通过截面对称轴与梁轴线确定的平面，称为梁的纵向对称面(如图所示)。当作用在梁上的所有外力(包括约束力)都作用在梁的纵向对称面内，则变形后的轴线将是在纵向对称面内的一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。这是最常见、最简单的弯曲变形。3工程力学1.1.1电路的组成1.载荷的简化不论梁的截面如何复杂，通常取梁的轴线来表示实际的梁。作用在梁上的外力，包括载荷和约束力，可以简化成三种形式。①集中载荷：通过微小梁段(梁的总长比可以忽略不计)作用在梁上的横向力。②分布载荷：沿梁的全长或部分长度连续分布的横向力。③集中力偶：通过微小梁段作用在梁轴平面内的外力偶。2.支座的简化①活动铰支座：约束的情况是梁在支承点不能沿垂直于支承面的方向移动，但可以沿着支承面移动，也可以绕支承点转动。与此相应，只有一个垂直于支座平面的约束力。滑动轴承和桥梁下的滚动支座等可简化为活动铰支座。②固定铰支座：约束情况是梁在支承点不能沿任何方向移动，但可以绕支承点转动，所以可用水平和垂直方向的约束力表示。③固定端约束：约束情况是梁在支承点不能向任何方向移动，也不能转动，故约束力有三个：水平约束力、垂直约束力和力偶。长滑动轴承和车刀刀架等可简化为固定端支座。4工程力学二、梁的计算简图及分类1.1.1电路的组成3.静定梁的基本形式根据支承情况，可将静定梁简化为三种情况。①简支梁：一端固定端约束，另一端活动铰支座约束的梁，如图(a)所示。②悬臂梁：一端为固定端支座，另一端自由的梁，如图(b)所示。③外伸梁：具有一端或两端外伸部分的简支梁，如图(c)所示。梁的约束力数目多于平衡方程数目，约束力不能完全由静力学平衡方程确定，这种梁称为超静定梁。5工程力学1.1.1电路的组成为对梁进行强度和刚度计算，当作用于梁上的外力确定后，可用截面法来分析梁任意截面上的内力。内力包括剪力和弯矩。如图(a)所示悬臂梁，已知梁长为l，主动力为F则该梁的约束力可由静力平衡方程求得，第二节平面弯曲内力——剪力与弯矩6工程力学1.1.1电路的组成现欲求任意截面m－m上的内力。可在m－m处将梁截开，取左段为研究对象，将该段上所有外力向截面m－m的形心O简化，列平衡方程得即再由可得即7工程力学如取右段作为研究对象，如图(c)所示，同理可求得截面m－m上的FS和M，与前者是等值、反向的。为使取左段和取右段得到的同一截面上的内力符号一致，特规定如下：凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负(如左图所示)。凡使梁段产生下凹弯曲变形的弯矩为正，反之为负(如右图所示)。工程力学结合上述剪力和弯矩的符号规定，可以根据梁上的外力直接确定某横截面上剪力和弯矩的符号：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之产生的剪力为负；截面左段梁上的横向外力(或外力偶)对截面形心的力矩为顺时针转向或截面右段梁上的横向外力(或外力偶)对截面形心的力矩为逆时针转向时在该截面上产生的弯矩为正，反之产生负弯矩。上述结论可归纳为一个简单的口诀：“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。这样，计算梁某横截面上的剪力和弯矩，就不需要画分离体受力图，列平衡方程了。我们计算时按下面步骤进行：(1)先求大小。梁上任一截面的剪力大小等于截面之左(或右)梁段上所有外力的代数和；弯矩大小等于截面之左(或右)梁段上所有外力对截面形心力矩的代数和。(2)再判断正负。一般情况下，剪力和弯矩方向均先假设为正，如计算结果为正，表明实际的剪力和弯矩与假设方向相同；如计算为负，则表明与假设相反。1.1.1电路的组成从上面的讨论可以看出，一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同而变化。为表示剪力和弯矩沿梁轴的变化情况，可根据FS(x)和M(x)两函数(即剪力方程和弯矩方程)，分别取x为横坐标轴，FS(x)和M(x)为纵坐标轴绘制的图形，称为剪力图和弯矩图。1.剪力、弯矩与载荷集度的微分关系如前所述，一般情况下，梁上不同截面的FS和M是不同的。为描述内力沿梁轴变化的规律，用x轴表示梁横截面的位置，则梁上各横截面上的剪力和弯矩可表示成x的函数，即为剪力方程和弯矩方程研究表明：任一截面上的剪力、弯矩和作用于该截面处的载荷集度之间存在着一定的关系。第三节剪力图和弯矩图10工程力学一、剪力图和弯矩图二、剪力、弯矩与载荷集度的关系如图所示，轴线为直线的梁，以轴线为x轴，y轴向上为正。梁上作用着任意载荷，梁上分布载荷的集度q(x)是x的连续函数。从x截面处截取微段dx进行分析,如图(b)所示。由平衡条件可得工程力学将上式忽略去二阶微分量后，化简得弯矩M对截面位置坐标x的倒数等于在同一截面上的剪力FS；弯矩M对截面位置坐标x的二阶倒数等于在同一截面上的分布载荷集度q(x)(向上为正)；剪力FS对截面位置坐标x的倒数等于在同一截面上的分布载荷集度q(x)。载荷集度、剪力图、弯矩图三者间相互之间的几何关系：(1)剪力图上某点处的斜率为相应点处的载荷集度。(2)弯矩图上某点处的斜率为相应截面上的剪力。(3)弯矩图上某点处斜率的变化率等于相应点处的载荷集度。工程上常利用剪力、弯矩和载荷集度三者之间的微分关系，以及在相应图形上的反映来绘制剪力图、弯矩图。工程力学2.载荷集度和剪力图的关系梁上某段没有均布载荷，即q＝0时，剪力图相应段图线上各点的切线斜率为0，即为一水平直线。梁上某段有向上的均布载荷，即q>0时，剪力图相应段图线上各点的切线斜率为一正值常数，即为一段向右上方倾斜的直线。反之为一段向右下方倾斜的直线。梁上某点有集中力作用时，剪力图有突变，突变量为集中力F；某点有集中力偶作用时，对剪力图无影响。3.载荷集度与弯矩图的关系梁上某段没有均布载荷，即q＝0时，弯矩图中相应段各点的斜率无变化，即为一直线。梁上某段有向上的均布载荷，即q>0时，弯矩图中相应段各点切线的斜率变化率为正值，即为一段开口向上的抛物线；反之为开口向下的抛物线。利用这种关系可绘制和校核剪力图和弯矩图，步骤为：(1)正确的求梁的约束力。(2)分段。(3)标值。工程力学1.1.1电路的组成在平面弯曲的梁的横截面上，一般情况下，梁的横截面上同时存在剪力和弯矩两种内力。剪力FS是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力τ和正应力σ，它们分别由剪力和弯矩所引起。实践证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。如图所示一矩形等截面简支梁AD，受力如图所示，从梁的剪力图和弯矩图可看出：梁中间的BC段只有弯矩而无剪力的弯曲变形称为纯弯曲；梁AB段及CD段既受剪力又受弯矩的变形称为剪切弯曲。第四节梁弯曲时的强度计算14工程力学一、实验观察与假设为了了解纯弯曲时梁的变形，取一矩形等截面梁做纯弯曲变形实验，如图(a)所示，在梁的表面画上与轴线平行的纵向线和与轴线垂直的横向线，然后在梁的两端加上一对外力偶M，使梁发生纯弯曲如图(b)所示。此时可观察到：①纵向线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹边的缩短，靠近凸边的伸长。②横向线变形后仍然为直线，只是相对转动了一个角度。③纵向线与横向线变形后仍然保持正交关系。工程力学根据上述梁表面变形的特征，可以做出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。这一假设称平面假设。此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。根据以上假设，靠近凹边纤维缩短，靠近凸边纤维伸长，根据变形的连续性，它们之间有一层纵向纤维既不伸长又不缩短，这一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。如图(c)所示。中性层将横截面分为受拉区和受压区，其变形与到中性轴的距离成正比。工程力学1.1.1电路的组成1.正应力的分布由平面假设可知，矩形截面梁在纯弯曲时的应力分布有如下特点：(1)中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。(2)距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。由胡克定律，这些点上的正应力也相等。(3)在如图(b)所示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为负值(受压)，中性轴下部各点正应力为正值(受拉)。17工程力学二、弯曲正应力的计算(4)正应力沿y轴线性分布，即σ＝Ky，或K＝σ/y,K为待定常数，如图所示。2.正应力的计算在纯弯曲梁的横截面上任取一微面积dA(如图，见下页)，微面积上的微内力为σdA。由于横截面上的内力只有弯矩M，所以由横截面上的微内力构成的合力必为零，而梁横截面上的微内力对中性轴z的合力矩就是弯矩M。工程力学即将σ＝Ky代入以上两式，得以上两式可写做工程力学将K＝σ/y代入式(9.5)，得计算梁横截面上的最大正应力，可定义WZ为抗弯截面系数，式(9.6)可写做式(9.6)是由纯弯曲梁变形推导出来的，工程实践证明，只要梁具有纵向对称面，且载荷作用在纵向对称面内，则梁的跨度较大时，横力弯曲时也可应用。当梁横截面上的最大应力大于比例极限时，此式不再适用。工程力学3.常见截面的惯性矩图矩形截面（1）矩形截面(h为高，b为宽)①对z轴，如图所示工程力学取平行于z轴的狭长条作为微面积dA，则所以②对y轴，同理工程力学（2）圆形截面(对任

一轴)，如图所示取平行于z轴的微面积dA，则工程力学z轴和y轴都与圆的直径重合，又由于对称，所以有所以对圆心的极惯性矩（3）环形截面(对任一轴)，如图所示工程力学设圆环的直径比d/D＝α，同理可得4.平行轴公式如遇到由若干个简单图形组成的组合截面，要用平行移轴公式。同一平面图形对于平行的两对坐标轴的惯性矩是不相同的，如果其中有一对是平面图形的形心轴，则它们的关系为若平面图形是由几个简单图形组合而成的，则平面图形对形心轴的惯性矩等于各部分图形对平面图形形心轴惯性矩的代数和，即工程力学5.弯曲切应力简介对跨度较短的，采用薄腹板梁，使用抗剪能力较差的各向异性材料等情况需校核其切应力。(1)横截面上各点的切应力方向和剪力FS的方向一致。(2)切应力大小与距中性轴z的距离y有关，到中性轴距离相等的点上的切应力大小相等。对于矩形截面梁，其横截面上最大切应力发生在中性轴上（即y＝0处），为同样，工字形截面梁、圆形截面梁和圆环截面梁的最大切应力，也发生在各自的中性轴上。对于工字形截面梁对于圆形截面梁，对于圆环截面梁工程力学1.1.1电路的组成为了保证梁能安全的工作，需使梁具备足够的强度。所以应首先确定梁的危险截面和危险点。梁在载荷作用下，对于等截面直梁，其危险点在弯矩最大的截面的上下边缘处，即最大正应力所在处；对于短梁、载荷靠近支座的梁以及薄壁截面梁，则还要考虑其最大切应力所在的面。危险点的最大工作应力应不大于材料在单向受力时的许用应力，强度条件为梁的切应力强度条件为在设计梁的截面时，一般只进行正应力强度条件计算就可以了，必要时再进行切应力强度校核。同样也可以由强度条件进行三方面的计算：强度校核、设计截面和确定许用载荷的计算。27工程力学三、梁弯曲时的强度计算1.1.1电路的组成梁满足强度条件，表明梁在工作中安全，不会破坏。但过大的变形也会影响机器的正常工作。机械加工中刀杆或工件的变形（如图（b）所示），将导致较大的制造误差；如果起重机横梁（如图（a）所示）的变形过大，会使吊车移动困难。所以，构件正常的工作条件，不仅要满足强度条件，还要满足刚度条件，即构件在工作中的变形不能过大。第五节梁的刚度计算28工程力学一、梁的弯曲变形概述曲线AB1表示了全梁各截面的挠度值，称为挠曲线。挠曲线是梁截面位置x的函数，记作此式称为挠曲线方程。因为转角很小，所以此式称为转角方程，其中θ的单位为rad。2.梁的刚度条件梁的刚度条件为在设计梁时，一般先按照强度条件设计，再校核刚度条件。如所选截面不能满足刚度条件时，再考虑重新选择。工程力学1.1.1电路的组成工程上为了快速求梁的变形，把常见梁及常见简