第9讲-5-1二维坐标变换

2025/1/151第五章图形变换及显示2025/1/152为什么要进行图形变换光栅图形工程师绘图工程师甲工程师乙图形定义空间:屏幕？？？的解决：图形变换2025/1/153坐标变换的作用例：2025/1/154坐标变换2025/1/155几何变换基础：齐次坐标(homogeneouscoordinate)2025/1/156续:xyW

例:在XYW

齐次坐标空间中,点P(X,Y,W)在W=1平面上的投影是(X,Y)

P2025/1/1573D变换的代数表示2025/1/158矩阵表示引入齐次坐标后[0001]2025/1/159坐标系固定，图形变换说明：变换的两种实现方式图形固定，坐标系变换在固定坐标系下对点集的变换，等价于对该坐标系进行相应的逆变换2025/1/1510续

证明：假设固定坐标系下进行的变换表示为矩阵T1，变换前后的点集记为A，B.则B=AT1,.若图形固定不变，则变换前后需采用不同的基底（分记为X和X’）表示图形即BX’=AX,

因此，X’=T1-1X2025/1/1511本章内容二维几何变换二维观察流程三维几何变换投影变换三维显示流程如何使用户坐标系下定义的图形在屏幕上显示出来2025/1/1512第一节二维几何变换平移变换旋转变换缩放变换反射变换错切变换复合变换坐标系变换变换的光栅方法2025/1/1513变换的表示:变换矩阵旋转、比例、错切平移整体比例投影2025/1/1514平移变换（1）平移指将物体沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位，即平移变换效果演示该式可写成向量形式：2025/1/1515平移变换（2）采用齐次坐标方式描述为：称为平移矩阵。2025/1/1516平移变换（3）图形的平移：刚体变换物体上各点做同样的平移操作图形关键点的平移及图形重定义逆变换：2025/1/1517旋转变换（1）二维旋转是将物体沿平面内的圆弧路径重定位。旋转变换效果演示需要指定旋转角和旋转基准点的位置：旋转角的正值定义基准点逆时针旋转负值则以顺时针方向旋转物体默认情况下以坐标原点为旋转基准点2025/1/1518绕坐标原点的旋转变换（2）使用齐次坐标表示为：其中：称为旋转变换矩阵逆变换:2025/1/1519绕任意基准点的旋转变换（3）2025/1/1520图元的旋转变换（4）旋转变换是刚体变换图元上各点旋转同样角度：旋转定义点并重定义图元2025/1/1521缩放变换（1）缩放变换是指对点的X，Y坐标值进行缩放。变换的表达式为：缩放效果演示其中sx,sy

称为缩放系数，可取任何正数;S称为缩放矩阵。2025/1/1522缩放变换（2）缩放变换可使物体产生重定位，如右图所示缩放比例不同，定位距离也不同当缩放系数大于1时，物体被放大，否则缩小；当时，物体发生等比变换，否则发生差值缩放，产生变形。2025/1/1523指定缩放固定点的缩放变换（3）缩放固定点：缩放后不改变位置的点，记为由平移变换、相对于原点的缩放及逆平移变换复合而成2025/1/1524指定缩放固定点的缩放变换（4）变换公式为：2025/1/1525图元的缩放变换（5）多边形缩放顶点，由新顶点定义多边形圆（中心对称图形）缩放半径，并在原圆心绘制圆给定定义参数的图形对定义参数进行变换并重定义图元2025/1/1526反射变换（1）是产生物体镜象的一种变换，也称为对称变换。变换的一般形式为：2025/1/1527反射变换（2）关于X轴的反射变换：a=1，b=d=0，e=-1；2025/1/1528反射变换（3）关于Y轴的反射变换：a=-1，b=d=0，e=1；2025/1/1529反射变换（4）关于原点的反射变换：a=-1，b=d=0，e=-1；等价于绕原点进行180度的旋转变换。2025/1/1530反射变换（5）关于x=y轴的反射变换：a=e=0，b=d=1；关于x=-y轴的反射变换：a=e=0，b=d=-1；2025/1/1531反射变换（6）关于任意轴的对称变换2025/1/1532错切变换（1）定义：保持图形上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值关于该坐标值呈线性变化。变换矩阵的一般形式b=0或者d=02025/1/1533错切变换（2）相对于X轴的错切:b=0错切效果图依赖轴方向轴X方向的错切效果演示2025/1/1534错切变换（3）相对于y=Yref的错切错切效果图2025/1/1535错切变换（4）相对于Y轴的错切:d=0错切效果图Y方向的错切效果演示2025/1/1536错切变换（5）相对于x=Xref的错切错切效果图2025/1/1537复合变换可由其它变换组合实现的变换如：关于任意点的旋转由平移、绕原点的旋转及平移变换合成得到。一种非常有效的构造变换的方式复合变换的数学表达等同于矩阵乘法利用矩阵乘法结合率可带来计算效率的改进注意：矩阵复合顺序2025/1/1538坐标系变换（1）目的：把已定义的图形变换到新的坐标系下实现：直接指定新坐标系定义新坐标系的Y方向2025/1/1539坐标系变换（2）直接指定新坐标系时：利用变换复合实现坐标系变换(x0,y0)(1)坐标系的平移：T（-x0，-y0）(2)坐标系的旋转：R(θ)(3)单位长度变换(4)以上变换合成（注意顺序）2025/1/1540坐标系变换（3）变换矩阵为：2025/1/1541坐标系变换（4）定义新坐标系的Y方向时Y轴单位化：(x0,y0)(x1,y1)X轴的定义：变换矩阵：2025/1/1542变换的光栅方法利用硬件实现上述坐标变换的方法。如平移变换：块操作可由图形加速卡实现。GPU编程可实现更多的图形操作。2025/1/1543小结：变换类型变换的表示：齐次坐标，变换矩阵变换的复合坐标系的变换2025/1/1544第二节二维观察流程2025/1/1545相关概念（1）用户域WD连续且无限窗口区W矩形、可嵌套用户坐标系WC世界坐标系右手直角坐标系2025/1/1546相关概念（2）屏幕域设备输出图形的最大可用区域视图区定义图形在输出设备上的显示位置及大小可嵌套屏幕坐标系（规格化）设备坐标系的统称设备坐标系：以象素为单位规格化设备坐标系：[-1，1][-a，a]2025/1/1547观察参考坐标系VC相关概念（3）2025/1/1548二维观察流程（1）工程师甲工程师乙模型坐标系模型坐标系世界坐标系窗口区观察坐标系规格化设备坐标系视图区屏幕坐标系2025/1/1549二维观察流程（2）在模型坐标系下定义物体，并置于世界坐标系中定义观察参考坐标系选择观察点（观察坐标系原点）选择观察方向（观察坐标系Y轴方向）世界坐标系到观察参考坐标系的变换指定观察窗口（裁剪）窗口到视区的变换规范化设备坐标系到设备坐标系的变换2025/1/1550窗口到视区的变换（1）2025/1/1551窗口到视区的变换（2）定义缩放因子：平移距离：得到线性变换