2024-2025学年山东省高三上学期12月数学阶段性检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省高三上学期12月数学阶段性检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，则（

）A． B．C． D．2．若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数在上的最小值为（

）A．0 B．1 C． D．4．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．5．已知数列满足：为正整数，，若，则所有可能的取值的集合为（

）A． B． C． D．6．已知，则的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．7．已知，若函数在上有且只有两个极值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线，若直线与在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设，若，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．10．设为复数，则下列结论中正确的是（

）A．若为虚数，则也为虚数B．C．若，则的最大值为D．11．已知函数的定义域为的图象关于对称，且为奇函数，则（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．若，则.13．在等腰直角中，已知，若满足与交于点，则在上的投影向量的模为.14．已知函数，若对任意的，且，都有成立，则正实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知正项数列满足，且.(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；(2)证明.16．记的内角、、所对的边分别为、、，已知.(1)求；(2)是上的点，平分，且，，求的面积.17．如图，已知等腰梯形分别为的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足.(1)证明：平面；(2)设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由.18．已知函数.(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；(2)设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形；(3)证明.19．对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数.例如，由于二元子集满足，则称2为可分数.(1)判断4和6是否为可分数，并说明理由；(2)求小于81的最大可分数；(3)记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明.

答案1．【正确答案】B【详解】依题意，.故选：B2．【正确答案】A【详解】，解得：或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A3．【正确答案】B【详解】由，求导可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.故选：B.4．【正确答案】C【详解】函数的定义域为R，，函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BD；而，排除选项A，选项C符合题意.故选：C5．【正确答案】C【详解】依题意，是正整数，当是奇数时，，无解；当是偶数时，，解得；当是奇数时，，解得，显然不可能为奇数，否则为偶数，因此为偶数，，解得；当是偶数时，，解得，若为奇数，则，无解，若为偶数，则，解得，所以所有可能的取值的集合为.故选：C6．【正确答案】D【详解】令，则，而函数在上单调递增，所以当，即时，取得最小值.故选：D7．【正确答案】A【详解】由函数，则求导可得，令，解得，化简可得，当时，；当时，；当时，；当时，，由题意可得，，，，解得.故选：A.8．【正确答案】D【详解】双曲线在第一、三象限的渐近线，过点作轴于，交直线于点，在线段上任取点，作轴于，交双曲线及直线分别于点，依题意，点，令点，，则，点绕轴旋转一周所得同心圆面积分别为，对应圆环面积为定值，由祖暅原理知，平面封闭图形绕轴旋转一周所得几何体的体积等于底面半径为1，高为3的圆柱的体积，则，所求体积的几何体可视为矩形绕轴旋转一周所得圆柱体积减去，再减去绕轴旋转一周所得圆锥体积，而，，所以所求的体积为.故选：D

9．【正确答案】BC【详解】由，可得，对于A，由于，所以，A错误；对于B，由于，所以，B正确；对于C，由于，所以，则，C正确；对于D，由于，所以，,故D错误.故选：BC10．【正确答案】ABD【详解】对于A，因为为虚数，为实数，所以为虚数，所以也为虚数，所以A正确；对于B，设，则，，所以，，所以，所以B正确，对于C，当时，满足，此时，所以C错误；对于D，设对应的向量分别为，则由向量三角不等式得，所以恒成立，所以D正确，故选：ABD11．【正确答案】BC【详解】对于A，由为奇函数，得，则，由的图象关于对称，，因此，A错误；对于C，点关于的对称点是，由的图象关于对称，得点在函数的图象上，，C正确；对于B，由为奇函数，得，则，于是，即点在函数的图象上，则点在函数的图象上，因此，即，B正确；对于D，由，得，而，则，因此，D错误.故选：BC12．【正确答案】33/【详解】由，得.故13．【正确答案】3【详解】依题意，以点为原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，

则，由，得，由点在上，设，则点，于是，而，由点在上，得，因此，解得，点，，又所以在上的投影向量的模为.故314．【正确答案】【详解】令，求导可得，令，令，求导可得，令，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.所以，即，由题意可得函数单调递增，则，由，则，解得.故答案为.15．【正确答案】(1)证明见详解，，(2)证明见详解【详解】（1）由题意得，，因为，所以，又，因此，数列是以1为首项，2为公差的等差数列；则，所以，.（2）由（1）得：，所以.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，，在中，，所以，，因为、，所以，，，故.（2）由题意可得，所以，，即，所以，，因为，由余弦定理可得，即，整理可得，因为，解得，因此，的面积为.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【详解】（1）在线段取一点，使得，因为，所以，且，因为，所以，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）存在，理由如下：因为等腰梯形分别是的中点，所以平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，由题意知，，，所以，，设，因为，所以，解得，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设与平面所成角为，则，解得，因为，所以.18．【正确答案】(1)(2)函数的定义域为，证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）因为，则，由题意可知，，解得.（2），对于函数，有，解得，即函数的定义域为，对于函数，则，可得，解得或，所以，函数的定义域为，故该定义域关于直线对称，因为，故函数的图象关于直线对称，所以曲线是轴对称图形.（3）当时，，则，令，则，当时，，则函数在上为增函数，此时，，即，所以，函数在上为增函数，此时，，取，可得，于是，即，所以，，故.19．【正确答案】(1)不是可分数；是可分数(2)(3)证明见解析【详解】（1）令，①，；②，；③，，综上所述，不是可分数，令，，由，，则是可分数.（2）由，且，则令，由，且，则是小于最大的可分数.（3）设偶数为可分数，则存在使得，由可知二元子集中两元素和的最大值为，于是集合中所有大于等于的整数所在二元子集中两元素之和均为，于是必定与在同一个二元子集中，必定与在同一个二元子集中，必定与在同一个二元子集中，若，由可知不属