【八年级下册数学湘教版】第一章 直角三角形（7类题型突破）

第一章直角三角形（7类题型突破）题型一直角三角形的性质与判定【例1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（

）A．12 B．13 C．15 D．16【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，点P、Q是边长为的等边边、上的动点，点P从顶点A出发沿线段运动，点Q从顶点B出发沿线段运动，它们的速度都为，其中一点到达终点后停止运动．在P、Q运动的过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6巩固训练：1．（湖南省湘西州2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形．若是的中点，，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2023上·广东肇庆·八年级统考期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（

）A． B． C． D．3．（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则（

）A． B． C． D．4．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则（

）A． B． C． D．5．（2024上·河北保定·九年级统考期末）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（

）A． B． C． D．6．（2024上·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考阶段练习）如图，中，，是的中点，，则______．7．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）如图，为等边三角形，，M、N分别同时从A、B出发，沿箭头所示方向在射线、射线上运动，且它们的运动速度都为1；、交于P；（1）若M、N在的边上运动的过程中，则_________；（2）经过_________秒时，为直角三角形．8．（2024上·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为______．9．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）在等腰中，，，是上任意一点，，，______．

10．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是______．11．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，中，，现有两点分别从点，点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，同时停止运动．(1)当点运动几秒时，两点重合？(2)当点运动几秒时，可得到等边三角形？(3)请直接写出点运动几秒时，可得到直角三角形？12．（2023上·全国·八年级期末）已知中，，，直线经过点，作于，于．(1)当直线在外部时（图（），求证：；(2)当直线在内部时（图（），猜想线段，与之间又有怎样的关系．证明你的结论；(3)在（2）的条件下，连接，若，，求四边形的面积．13．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）在等腰中，，，为边上一点，连接．(1)如图①所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，且，若，，，则的周长为_______．(2)如图②所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，过点作的延长线于点，，求的长；(3)如图③所示，以为顶点，为斜边作等腰，连接并延长交于点，若，，猜想；与的数量关系，并证明你的猜想．14．（2023上·全国·八年级课堂例题）某校在一块所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知，这种草皮每平方米售价元，求购买这种草皮需要多少元．18．（2023上·全国·八年级课堂例题）如图所示，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（P不与A，C重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（Q不与B重合）．连接交于点D．当时，求的长．题型二判断三边能否构成直角三角形【例1】（2024上·广东河源·八年级统考期末）在下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．4，5，6【例2】（2023上·河南郑州·八年级校考期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（

）A．如果，则B．如果，则为直角三角形C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数D．如果，则为直角三角形【例3】（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）三边长为、、，则下列条件能判断是直角三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【例4】（2023上·河北承德·八年级统考期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为______；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为______（填数字）．巩固训练1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）在下列四组数中，是勾股数的是（

）A．1，， B．8，15，20 C．，，1 D．7，24，252．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）下列各组数是勾股数的是（

）A．12、15、18 B．3、4、5 C．1.5、2、2.5 D．6、9、153．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）以下三组数中是勾股数的一组是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，134．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）下列各组数分别作为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．5．（2023上·河南郑州·八年级校联考期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，6．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，268．（2023上·福建泉州·八年级南安市实验中学校考阶段练习）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、8、9，则正方形D的面积为________．9．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是__________．10．（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校考期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为________．11．（2023上·广西梧州·八年级统考期末）已知x，y，z是三角形的三边长，且满足，则该三角形的形状是______．12．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为，斜边为．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；(2)当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想；(3)当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；(4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______．13．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）寻求某些股数的规律(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是和，····若把它扩大11倍，就得到________，若把它扩大若把它扩大n倍(n为正整数)，就得到_________(2)对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为若勾股数为5，12，13，则有①若勾股数为7，24，25，则有__________②若勾股数为17，，根据以上的规律，求a、b的值．14．（2024上·上海浦东新·八年级校考期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．

(1)证明：线段能组成直角三角形；(2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．15．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知中，于，．(1)分别求的长；(2)是直角三角形吗？证明你的结论．题型三勾股定理的应用【例1】（勾股定理与无理数）（2023上·广东茂名·八年级统考期末）如图，已知，数轴上点所表示的数为，则（

）A． B． C． D．【例2】（求大树折断前的高度）（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，一棵树在离地面处折断，树的顶部落在离底部处．树折断之前高（）

A． B． C． D．【例3】（求小鸟飞行距离）（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米．

【例4】（引葭赴岸问题）（2023上·内蒙古包头·八年级包钢第三中学校考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为______尺．【例5】（台阶地毯问题）（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费______元．【例6】（梯子滑动问题）（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）一架云梯长25米，如图，靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．(1)这个梯子的顶端距离地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米?【例7】（秋千、旗杆问题）（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)求秋千的长度；(2)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千往前推送多少米？【例8】（航海问题）（2023上·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？【例9】（汽车超速问题）（2023上·全国·八年级期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．(1)求的长．(2)这辆大巴车超速了吗？巩固训练1．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（

）A． B． C．2 D．2．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，以数轴上的单位线段长为宽，以2个单位线段长为长，作一个长方形，以数轴原点为圆心，以长方形的对角线为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的数是（

）A． B． C． D．3．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）我国是历史上较早发现并运用“勾股定理”的国家之一，“勾股定理”描述了直角三角形三条边长之间的关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，请运用“勾股定理”解决以下问题：如图，一个底面半径为，高为的圆柱形饮料罐，将一根笔直的吸管从顶面正中的小圆孔插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管在饮料罐内部的最大长度是（

）A． B． C． D．4．（2023上·陕西榆林·八年级校联考期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙轮船向南偏西方向航行．已知它们离开港口2时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船的平均速度为（

）A．海里/时 B．20海里/时 C．海里/时 D．海里/时5．（2023上·广东佛山·八年级统考期末）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为______.6．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米．7．（2023下·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米

8．（2024下·全国·七年级假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点和点到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是______寸．9．（2023上·全国·八年级专题练习）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要_______米的地毯．

10．（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要_____．11．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）如图，一架梯子长米，斜靠在墙上（墙与地面垂直），梯子底端至墙的距离为米．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？(3)若梯子的中点为，梯子在下滑的过程中，的长是否发生变化，如变化说明变化规律，如果不变直接写出的长度．12．（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，一图书馆的两个书柜相对平行摆放，当把一架梯子斜靠在左侧书柜时，梯子底端到左侧书柜底角的距离0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右侧书柜上时，顶端距离地面2米，那么两个书柜的距离是多少米？13．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高的成年人与感应灯A的水平距离为时，感应灯刚好亮；当身高的小朋友与感应灯A的水平距离为时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离的长．

14．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）2022年第3号台风“退芭”于7月2日15时前后在广东电白登陆，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面且高度为16米的“风景树”被台风折断，树顶A落在离树底部C的8米处，求这棵树在离地面多高处被折断．15．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．16．（2023上·河北邯郸·八年级统考期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？17．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）一辆轿车从地以的速度向正东方向行驶，同时一辆货车以速度从地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达走向公路上的两地．(1)求两地的距离；(2)若要从地修建一条最短新路到达公路，求的距离．18．（2024上·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度．19．（2024上·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，明明在距离河面高度为的岸边C处，用长为的绳子拉点B处的船靠岸，若明明收绳后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？

20．（2023上·陕西西安·九年级西安行知中学校考阶段练习）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年一班数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点，再在笔直的车道上确定点，使与垂直，测得长等于21米，在上点的同侧取点，使．(1)求的长（精确到0.1米，参考数据：）；(2)已知本路段对校车限速40千米/小时，若测的某辆校车从到用时3秒，这辆校车是否超速？说明理由．21．（2024上·重庆北碚·八年级统考期末）如图，某海港的正东方向海里处有一海岛，气象站发现在海岛的正南方向海里的处有一台风中心，测得它正以海里/小时的速度沿方向向海港运动，以台风中心为圆心，周围海里以内为受影响区域．(1)通过计算说明海岛会受台风影响吗？(2)求出台风中心同时影响海港和海岛的时长．22．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图某货船以20海里的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以40海里的速度由A处向北偏西方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响.（）问：(1)B处是否会受到台风的影响？请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时以内卸完货物？(3)如果B处受到台风影响，那么求出影响的时间.23．（2022上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米.(1)求的度数；(2)求图中健身区（阴影部分）的面积.24．（2023上·湖南衡阳·八年级校考期末）为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积．25．（2023上·山东淄博·七年级统考期中）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积．题型四最短路径问题【例1】（2023上·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（

）A． B． C． D．6cm【例2】（2023上·山东菏泽·八年级统考阶段练习）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（

）A． B． C． D．【例3】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离的长分别为和，且C，D点的距离为，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走的距离为______．巩固训练1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（

）A． B．8 C． D．102．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校联考期中）如图所示，是长方形地面，长m，宽m．中间竖有一堵砖墙高m，一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（

）的路程．A． B． C． D．3．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（

）m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3）A．17 B． C． D．4．（2023下·天津·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为____________．5．（2023上·江西抚州·八年级江西省抚州市第一中学校联考期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高分别为9cm，7cm，5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是_______cm．6．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．如图，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段葛藤绕树干盘旋1圈升高为时，这段葛藤的长为________．7．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要________；如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，那么所用细线最短需要________．8．（2023上·宁夏银川·八年级银川一中校联考期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面围绕一圈到达点．那么所用的细线最短长度是__________厘米．9．（2023上·辽宁·八年级校联考期末）定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点，，，若满足点绕点逆时针旋转后恰好与点重合，则称点为点关于点的“垂等点”．请根据以上定义，完成填空：如图，已知点的坐标为，点是轴上的动点，点是点关于点的“垂等点”，连接，，则的最小值是__________．10．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为_____．题型五直角三角形全等的判定【例1】（2023上·广东阳江·八年级统考期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（

）

A． B． C． D．【例2】（2024上·北京通州·八年级统考期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是________.巩固训练1．（2023上·山西吕梁·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，根据“”添加条件________可得．2．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在四边形中，，若根据“”判定，则需要添加的条件是____________．3．（2024上·广东肇庆·八年级统考期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：(1)；(2)．4．（2024上·广东韶关·八年级统考期末）如图，和都是等边三角形．(1)求证；(2)连接，试判断的形状，并说明理由；(3)连接，求证．5．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）如图，，相交于点O，，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．6．（2024上·北京海淀·八年级统考期末）如图，四边形中，，于点F，交于点E，连接，平分．

(1)求证：；(2)若，求的长．7．（2023上·吉林长春·八年级统考期中）如图，在四边形中，，是其对角线，分别过点、作于点，于点，且．(1)求证：；(2)若在面积为1，且，直接写出四边形的面积．8．（2015上·八年级课时练习）如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E；(1)若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：；(2)若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．9．（2024上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，，，垂足分别为，，交于点，，．(1)求证；(2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理．10．（2023上·吉林·八年级校考期中）如图，，，垂足分别为D，C，，．

(1)求证：；(2)若，，求的度数．题型六角平分线的性质【例1】（2023上·吉林长春·九年级统考期末）如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·广东湛江·八年级校考期末）如图，中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于（

）A．11 B．8 C．12 D．3【例3】14．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务：多种方法作角的平分线：数学兴趣课上，老师让同学们利用尺规作的平分线，同学们以小组为单位展开了讨论．勤学小组展示了学习过的作法：如图1，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，则即为的平分线．善思小组展示了他们的方法：如图2，以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点E，F；在上取一点D，以点D为圆心，长为半径作弧，交于点G．再以点G为圆心，长为半径作弧，两弧交于点H，作射线；点D为圆心，长为半径作弧交于点P，作射线，则为的平分线．任务：①根据勤学小组的作图方法，证明：是的平分线；②根据善思小组的作图方法，证明：是的平分线；巩固训练1．（2024上·广东湛江·八年级校考期末）如图，在中，，以顶点4为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则点D到的距离是（

）A．6 B．2 C．3 D．42．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）如图，在中，，，垂直平分，垂足为Q，交于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线．若与的夹角为，则α的度数为（

）A． B． C． D．3．（2024上·广东广州·八年级统考期末）如图，，以O为圆心，任意长为半径作弧交于点M，于点N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，过P作于点F，交于点E．若，，那么的面积为（

）

A． B． C． D．4．（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若，则一定等于（

）A． B． C． D．5．（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，在中，，请观察尺规作图的痕迹（D，E，F分别是连线与边的交点），则的度数是（

）A． B． C． D．6．（2023上·辽宁营口·八年级统考期末）在中，，平分，于，如果，则等于（

）A． B． C． D．7．（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）如图，在，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，做射线交边于点，若，，则的面积是_____．8．（2024上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，，点C在上，，P为内一点，根据图中尺规作图痕迹推断，点P到的距离为________．9．（2023上·广西柳州·八年级校考期中）如图，在中，，平分，若，，则的面积为_____．10．（2023上·广东阳江·八年级统考期末）如图，，平分，，，若，则面积是________．11．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图，，，分别平分和，过点且与垂直，交于点，交于点，已知点到的距离为，则_______．

12．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）如图，，以点A为圆心，以小于长为半径作圆弧，分别交，于F，E两点，再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线，交于点M．

(1)若，求的度数；(2)若，垂足为N，试探究是否平分．13．（2020上·广东广州·八年级广州市第八十六中学校考期中）在中，是的平分线，交于E，F在上，．求证：(1)；(2)．14．（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）如图，四边形中，，连接，．(1)如图（1），若，证明：．(2)如图（2），平分，证明：．题型七折叠问题【例1】（2022上·新疆伊犁·八年级统考期末）如图，将矩形沿折叠，使点D与点B重合，已知，求的长（

）A．3 B． C．5 D．6【例2】（2023上·山东烟台·七年级统考期中）如图，中，，，，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（

）A． B． C．3.5 D．4【例3】（2023上·浙江杭州·八年级统考期末）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合落在边上的同一点P处，折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为则之间的数量关系是（）A． B．C． D．巩固训练1．（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，中，，，，点D是边上一点．若沿将翻折，则________________．2．（2023上·山东枣庄·八年级校联考期中）如图，将直角边的直角纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为，则等于________________．3．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为__________________．4．（2024上·辽宁辽阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，连接，将沿折叠，得到，当与的直角边垂直时，的长是_____．5．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折为．已知，．则的长为______．6．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若，的面积为15，则的长是______．7．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图,在中,,分别是边上的点,将沿折叠,使点的对称点恰好落在的中点处．若,,则的长为____________cm．8．（2023上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）如图，在中，，，，延长至，使得，将沿翻折，使点落点处，连接，求的长_______．

9．（2023上·宁夏银川·八年级银川九中校考期中）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点．(1)求的长度；(2)求的面积．10．（2011上·江苏扬州·八年级统考期中）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，求的长11．（2023上·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，，(1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由．(2)求重叠部分的面积．12．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）小宇手里有一张直角三角形纸片，他无意中将直角边AC折叠了一下，恰好使落在斜边上，（如图）小宇经过测量得知两直角边，．(1)_____；____；____；(2)设为，则可用表示为_______；(3)利用以上结论求出的长．

第一章直角三角形（7类题型突破）答案全解全析题型一直角三角形的性质与判定【例1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（

）A．12 B．13 C．15 D．16【答案】B【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）如图，点P、Q是边长为的等边边、上的动点，点P从顶点A出发沿线段运动，点Q从顶点B出发沿线段运动，它们的速度都为，其中一点到达终点后停止运动．在P、Q运动的过程中，设运动时间为t秒，若为直角三角形，则t的值为（）A．3 B．2或3 C．2或4 D．3或6【答案】D【分析】本题考查等边三角形的性质、含角的直角三角形性质和解一元一次方程．假设运动时间为t秒，则，分两种情况讨论和，利用含角的直角三角形性质列出方程，解方程即可得出结论．【详解】解：假设运动时间为t秒，则，∵是等边三角形，∴，当时，则，∴，即，解得；当时，则，∴，得，解得，∴当t为6秒或3秒时，为直角三角形．故选：D．巩固训练：1．（湖南省湘西州2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形．若是的中点，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质；由等腰三角形的性质得，再由含角直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，D是的中点，∴；∵，∴；故选：D．2．（2023上·广东肇庆·八年级统考期末）将一副三角板按如图所示摆放，其中，，则∠2为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的特征，在中，利用直角三角形两锐角互余得，在中，利用直角三角形两锐角互余得，再利用即可求解，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．【详解】解：，，，，，，故选D．3．（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵为的垂直平分线，∴，∴，∴，故选：．4．（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三角形外角性质得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图，连接，∵是的垂直平分线，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．故选：B．5．（2024上·河北保定·九年级统考期末）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为的中点，若，则，的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可．【详解】解：根据题意得：，∵D为的中点，，∴，故选：A．6．（2024上·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考阶段练习）如图，中，，是的中点，，则______．【答案】10【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题．【详解】解：在中，，是的中点，线段是斜边上的中线；又，．故答案为：．7．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）如图，为等边三角形，，M、N分别同时从A、B出发，沿箭头所示方向在射线、射线上运动，且它们的运动速度都为1；、交于P；（1）若M、N在的边上运动的过程中，则_________；（2）经过_________秒时，为直角三角形．【答案】/120度或【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质．（1）证明，得到，进而得到，利用三角形的内角和定理，即可求出的度数；（2）分和，两种情况，进行讨论求解即可．【详解】解：（1）∵为等边三角形，∴，∵M、N分别同时从A、B出发，运动速度都为1；∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：；（2）设经过秒后，为直角三角形，由题意，得：，∴，当时，∵，∴，∴，即：，解得：；当时，∵，∴，∴，即：，解得：；综上：或；故答案为：或．8．（2024上·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则M，C两点间的距离为______．【答案】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．【详解】解：是公路的中点，，，，，两点间的距离为．故答案为：．9．（2024上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）在等腰中，，，是上任意一点，，，______．【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．作于，利用含30度的直角三角形的性质得到，根据，，，列出等式，由此即可解决问题．【详解】解：过作于，

，，∵，，，，则，则，故答案为：2．10．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在中，，点在的延长线上，是的中点，连接，若，则的度数是______．【答案】/25度【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．根据斜边中线的性质求得，再推出，再根据三角形的外角性质得到，据此求解即可．【详解】解：∵，是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．11．（2023上·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，中，，现有两点分别从点，点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，同时停止运动．(1)当点运动几秒时，两点重合？(2)当点运动几秒时，可得到等边三角形？(3)请直接写出点运动几秒时，可得到直角三角形？【答案】(1)6秒(2)2秒(3)【分析】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可；（2）设点运动秒后，可得到等边三角形，根据题意可得当时，是等边三角形，列出方程求解即可；（3）分点N在上运动的三种情况，再分别就和列方程求解可得．【详解】（1）解：设点运动秒后，两点重合，则，解得：，即当点运动6秒后，两点重合；（2）解：设点运动秒后，可得到等边三角形，如图，根据题意得：，当时，是等边三角形，，解得，点运动2秒后，可得到等边三角形；（3）解：当点N在上运动时，如图，若，∴，，∴，，即，解得：；如图，若，，∴，∴，即，解得：；当点N在上运动时，若点M也在上，此时A，M，N不能构成三角形；若点N在上运动，如图，当点N位于中点处时，∵是等边三角形，∴此时，即是直角三角形，此时，解得：，如图，当点M位于中点处时，∵是等边三角形，∴此时，即是直角三角形，此时；综上，当运动秒时，可得到直角三角形．12．（2023上·全国·八年级期末）已知中，，，直线经过点，作于，于．(1)当直线在外部时（图（），求证：；(2)当直线在内部时（图（），猜想线段，与之间又有怎样的关系．证明你的结论；(3)在（2）的条件下，连接，若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)．理由见解析(3)20【分析】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．（1）由平行线的判定与性质可得．再根据全等三角形的判定与性质可得结论；（2）由平行线的判定与性质可得．再根据全等三角形的判定与性质可得结论；（3）连接．根据三角形的面积之间关系可得答案．【详解】（1）证明：，，，,，，在和中，，，，，，；（2）解：．理由如下：，，，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：连接，由（2）知，，，，．13．（2024上·广东汕头·八年级统考期末）在等腰中，，，为边上一点，连接．(1)如图①所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，且，若，，，则的周长为_______．(2)如图②所示，以为顶点，为腰向右侧作等腰，，过点作的延长线于点，，求的长；(3)如图③所示，以为顶点，为斜边作等腰，连接并延长交于点，若，，猜想；与的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，进而得出，根据等角对等边得出，进而可得，根据三角形的周长公式，即可求解；（2）过点作于点，证明，则，，即可得出；（3）设，根据题意得出，，过点作交的延长线于点，连接，证明，得出，证明得出，等量代换可得，即可得证．【详解】（1）解：∵等腰中，，，∴，∵，∴，∴，又∵是等腰直角三角形，∴∴∴又∵，∴∴的周长为，故答案为：．（2）解：如图所示，过点作于点，∵等腰，∴，∵，，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，在中，∴∴，∴（3）解：猜想，证明如下，设∵，，∴，∵，∴，∵是的外角，则，又∴如图所示，过点作交的延长线于点，连接，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴又∵∴∴，∴∵，∴在中，，∴∴，∴，∴，∵，∴∴，∴，在中，∴∴∴，即14．（2023上·全国·八年级课堂例题）某校在一块所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知，这种草皮每平方米售价元，求购买这种草皮需要多少元．【答案】元【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，，，，，，，，每平方米售价元，购买这种草皮的价格：元．答：购买这种草皮需要元．18．（2023上·全国·八年级课堂例题）如图所示，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（P不与A，C重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（Q不与B重合）．连接交于点D．当时，求的长．【答案】2【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，由等边三角形的性质得到，设，则，．当时，则，由此可得，解方程即可得到答案．【详解】解：∵是边长为6的等边三角形，∴．设，则，．当时，则．∴（在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．），∴，解得，∴的长为2．题型二判断三边能否构成直角三角形【例1】（2024上·广东河源·八年级统考期末）在下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．4，5，6【答案】C【分析】根据勾股数的概念，逐一判断选项，从而得到答案．本题主要考查勾股数的概念，熟练掌握“若，且a，b，c是正整数，则a，b,c是勾股数”，是解题的关键．【详解】A、∵，∴这组数不是勾股数；B、∵0.3，0.4，0.5，不是正整数，∴这组数不是勾股数；C、∵，∴这组数是勾股数；D、∵，∴这组数不是勾股数．故选：C．【例2】（2023上·河南郑州·八年级校考期中）中，，，的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（

）A．如果，则B．如果，则为直角三角形C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数D．如果，则为直角三角形【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可．【详解】解：A、∵，∴设，∵，，∴，∴，故不符合题意；B、∵，，∴，∴不是直角三角形，故符合题意；C、∵a，b，c长分别为6，8，10，∴，且a，b，c的长都是正整数，∴a，b，c是一组勾股数．故不符合题意；D、∵①，②，将①代入②得：，∴，∴是直角三角形，故不符合题意．故选：B．【例3】（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）三边长为、、，则下列条件能判断是直角三角形的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【详解】、∵，，，则，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；、∵，，，则，∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；、∵，，，则，∴能组成直角三角形，故此选项符合题意；、∵，，，则∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：．【例4】（2023上·河北承德·八年级统考期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为______；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为______（填数字）．【答案】【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a的值；再根据勾股定理求出经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律解答即可．【详解】解：如图：∵第一个正方形的边长为a,∴第一个正方形的面积为，由勾股定理得，，∴，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为，∴，即，“生长”第1次后所有正方形的面积和为，同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为，……则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为，故答案为：，．巩固训练1．（2023上·陕西西安·八年级校考期中）在下列四组数中，是勾股数的是（

）A．1，， B．8，15，20 C．，，1 D．7，24，25【答案】D【分析】本题考查勾股数．根据勾股数的定义“满足的三个正整数a、b、c称为勾股数”逐项判断即可．【详解】解：A、，都不是正整数，因此1，，不是一组勾股数，本选项不符合题意；B、，因此8，15，20不是一组勾股数，本选项不符合题意；C、，都不是正整数，因此，，1不是一组勾股数，本选项不符合题意；D、，因此7，24，25是一组勾股数，本选项符合题意；故选：D．2．（2024上·广东揭阳·八年级统考期末）下列各组数是勾股数的是（

）A．12、15、18 B．3、4、5 C．1.5、2、2.5 D．6、9、15【答案】B【分析】本题考查了勾股数，利用勾股数定义进行分析即可得出结论．【详解】解：A、，因此不是勾股数，不符合题意；B、，其中3，4，5都是正整数，符合题意，因此是勾股数，符合题意；C、1.5，2.5不是正整数，因此不是勾股数，不符合题意；D、，因此不是勾股数，不符合题意．故选：B．3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）以下三组数中是勾股数的一组是（

）A．6，7，8 B．2，3，4 C．，， D．5，12，13【答案】D【分析】本题考查了勾股数，勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；B、因为，所以它们不是勾股数，故本选项不符合题意；C、因为，，都不是整数，所以它们不是勾股数，故本选项错误；D、，所以它们是勾股数，故本选项正确；故选：D．4．（2024上·陕西渭南·八年级统考期末）下列各组数分别作为一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，难度较易，解题关键是熟练掌握勾股定理逆定理，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．【详解】解：A.，∴不能构成直角三角形，故不符合题意；B.，∴2，2，3不能构成直角三角形，故不符合题意；C.，∴能构成直角三角形，故符合题意；D.，∴不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．5．（2023上·河南郑州·八年级校联考期中）在中，，，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（

）A． B．C． D．，，【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D．【详解】解：A、∵，，，，，是直角三角形，不符合题意；B、，，是直角三角形，不符合题意；C、，最大角，不是直角三角形，符合题意；D、，，，，是直角三角形，不符合题意故选：C．6．（2023上·江苏苏州·八年级校考期中）在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度求出中最大的内角度数，即可判断①②④，根据勾股定理的逆定理即可判断③．【详解】解；∵，，∴，∴∠B=90°，∴能确定是直角三角形，故①正确；∵，，∴，∴能确定是直角三角形，故②正确；设，∵，∴不能确定是直角三角形，故③正确；∵，，∴，∴∴不能确定是直角三角形，故④正确；故选B．7．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．10，24，26【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，即可判断答案．【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意；B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；故选：A．8．（2023上·福建泉州·八年级南安市实验中学校考阶段练习）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为6、8、9，则正方形D的面积为________．【答案】23【分析】根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果.本题考查的是勾股定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握股定理，即可完成．【详解】由题意得，正方形E的面积为，则正方形D的面积.故答案为：9．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是__________．【答案】【分析】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．根据勾股定理和正方形的面积公式，找到正方形的面积之和的递增规律问题可解．【详解】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即两个小正方形面积之和等于大正方形的面积．“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；推而广之，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．故答案为：．10．（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校考期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为________．【答案】【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答．【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，∵正方形的边长为2，，∴面积标记为的正方形边长为，则，面积标记为的正方形边长为，则，面积标记为的正方形的边长为，则，……，，则的值为：，故答案为：．11．（2023上·广西梧州·八年级统考期末）已知x，y，z是三角形的三边长，且满足，则该三角形的形状是______．【答案】直角三角形【分析】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出x，y，z的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：由题意得：，解得：，∵，∴三角形为直角三角形．故答案为：直角三角形．12．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为，斜边为．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；(2)当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想；(3)当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；(4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______．【答案】(1)60，61(2)(3)，(4)25或52或101或29【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；发现规律是解题的关键；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键；（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键；（4）由勾股定理可得：，再根据勾股定理可得；然后根据列举法即可解答；发现规律是解题的关键．【详解】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61．（2）解：观察发现：当（为奇数，且）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：；证明如下：∵，∴，又∵n为奇数，且，∴n,三个数组成的数是勾股数．（3）解：观察发现：当（为偶数，且）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，；证明如下：∵，∴，又∵n为偶数，且，∴n,，三个数组成的数是勾股数．（4）解：由勾股定理可得：，当，则有:，即，当，解得：；当，解得：；当，解得：；当，解得：．综上，c的值为25或52或101或29．13．（2023上·江苏宿迁·八年级南师附中宿迁分校校考期中）寻求某些股数的规律(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是和，····若把它扩大11倍，就得到________，若把它扩大若把它扩大n倍(n为正整数)，就得到_________(2)对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：若勾股数为3，4，5，因为若勾股数为5，12，13，则有①若勾股数为7，24，25，则有__________②若勾股数为17，，根据以上的规律，求a、b的值．【答案】(1)，(2)①；②，【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．（1）先分别求出3，4，5分别扩大11倍和扩大n倍后的数，再根据勾股数的定义可得答案；（2）①仿照题意可得答案；②根据题意找到规律，（m、n都为正整数），则，据此求解即可．【详解】（1）解：∵3，4，5分别扩大11倍得到，∴，3，4，5分别扩大11倍得到，∴，故答案为：，；（2）解：①由题意得，，故答案为：；②，，，，，，……，以此类推，，（m、n都为正整数），∴，∴，∴，∴．14．（2024上·上海浦东新·八年级校考期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．

(1)证明：线段能组成直角三角形；(2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析．【分析】（）根据勾股逆定理即可求证；（）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证；本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴线段能组成直角三角形；（2）解：．理由：延长，使得，连接，∵是边上的中点，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∵，∴，∵，∴，即．15．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，已知中，于，．(1)分别求的长；(2)是直角三角形吗？证明你的结论．【答案】(1)，详见解析；(2)详见解析．【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理等知识点，（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可得，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答；（2）利用（1）的结论可得，然后利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．【详解】（1）∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴的长为12，的长为16；（2）是直角三角形，理由：∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形．题型三勾股定理的应用【例1】（勾股定理与无理数）（2023上·广东茂名·八年级统考期末）如图，已知，数轴上点所表示的数为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理应用，在直角三角形中根据勾股定理求得的值，即的值，进而求出数轴上点表示的数，熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．【详解】解：由图可知：，∴，∴点所表示的数为，故选：．【例2】（求大树折断前的高度）（2023上·四川成都·八年级校考期中）如图，一棵树在离地面处折断，树的顶部落在离底部处．树折断之前高（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方，求出斜边的长，进而可求出树折断之前的长度．【详解】解：有勾股定理得：∵，∴（米）．∴树折断之前有18米．故选：D．【例3】（求小鸟飞行距离）（2023下·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________米．

【答案】10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，过作于E，则，在直角三角形中，．答：小鸟至少要飞10米．故答案为：10．

【例4】（引葭赴岸问题）（2023上·内蒙古包头·八年级包钢第三中学校考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为______尺．【答案】【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用．根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：如图：设芦苇长为尺，则水深为尺．∵芦苇长在水池中央，（尺）根据勾股定理得：，则：，解得：，答：芦苇长尺．故答案为：．【例5】（台阶地毯问题）（2024下·全国·八年级假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费______元．【答案】1400【例6】（梯子滑动问题）（2023上·甘肃兰州·八年级统考期中）一架云梯长25米，如图，靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．(1)这个梯子的顶端距离地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米?【答案】(1)这个梯子的顶端距离地面有24米高(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】本题考查勾股定理的实际应用．（1）在中，直接利用勾股定理进行求解即可；（2）在中，利用勾股定理求出的长，用的长减去的长，求解即可；掌握勾股定理，是解题的关键．【详解】（1）解：在中，，，∴；答：这个梯子的顶端距离地面有24米高；（2）∵，在中，，∴，∴．答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【例7】（秋千、旗杆问题）（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)求秋千的长度；(2)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千往前推送多少米？【答案】(1)秋千的长度是(2)需要将秋千往前推送【分析】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．（1）由题意得，证四边形是矩形，得，则，；设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．【详解】（1）解：由题意得：，∵，，，∴四边形是长方形，∴，∴，∵，∴，设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即秋千的长度是；（2）当时，，∵，∴，由（1）可知，，∴，在中，由勾股定理得：，即需要将秋千往前推送．【例8】（航海问题）（2023上·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？【答案】我军巡逻艇的航行速度是海里小时【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据方向角的定义得到，得出，在中，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：如图所示，由题意得，，，，，巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，海里，在中，，海里，海里，海里，我军巡逻艇的航行速度是海里小时．答：我军巡逻艇的航行速度是海里小时．【例9】（汽车超速问题）（2023上·全国·八年级期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．(1)求的长．(2)这辆大巴车超速了吗？【答案】(1)(2)超速了【分析】（1）本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出数学模型．（2）本题用路程除以时间求出速度，再与限速进行比较即可解题．【详解】（1）解：由题意知，是直角三角形，，，()，即长为．（2）解：大巴车的速度为：（），（），，这辆大巴车超速了．巩固训练1．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴上的点，掌握求法是解题的关键．由勾股定理可求，，即可求解．【详解】解：由题意得，，由作法得：，；表示的数为；故选：A．2．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，以数轴上的单位线段长为宽，以2个单位线段长为长