2025高考数学一轮复习-第4章-第8节 第一课时 正弦定理和余弦定理【课件】

第四章三角函数、解三角形

第8节正弦定理和余弦定理及其应用第一课时正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：一解两解一解一解无解常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(

)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(

)(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(

)解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形，仅确定A为锐角.×××√2.(必修二P48T2(2)改编)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝____________.解析B＝180°－45°－75°＝60°，

3.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝________.45°或135°解析根据题意，得ab＝2，则C＝45°或135°.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一利用正弦定理解三角形C解析因为acosB－bcosA＝c，所以由正弦定理得sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(B＋A)，则2sinBcosA＝0.BC解析对于A，因为b＝10，A＝45°，C＝60°，所以B＝75°，所以△ABC只有一解，故A错误；所以△ABC有两解(45°<B<60°或120°<B<135°)，故C正确；对于D，因为a＝8，b＝4，A＝80°，所以b<a，B<80°，所以△ABC只有一解，故D错误.感悟提升BA考点二利用余弦定理解三角形D解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋c2－3c＝13，即c2－3c－4＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝4，所以c＝4.A所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，可得12＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－24，所以a＋b＝6.感悟提升利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.D解析cos2A＝－cosA＝2cos2A－1，即2cos2A＋cosA－1＝0，(2)(2024·无锡质检)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.若B＝C≠A，且a(b2＋c2－a2)＝b2c，则A＝________.解析因为b2＋c2－a2＝2bccosA，所以2abccosA＝b2c，即2acosA＝b，即2sinAcosA＝sinB，所以sin2A＝sinB，所以2A＝B或2A＋B＝π.因为B＝C，所以A＋B＋C＝A＋2B＝π.考点三三角形的面积、周长例3(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.感悟提升拓展视野

射影定理设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA.例

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是(

) A.a＝2b

B.b＝2a

C.A＝2B

D.B＝2AA解析法一因为sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sin(A＋C)，所以sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，即cosC(2sinB－sinA)＝0，所以cosC＝0或2sinB＝sinA，即C＝90°或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a.所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a.法三由正弦定理及射影定理，得b＋2bcosC＝2acosC＋ccosA＝acosC＋(acosC＋ccosA)＝acosC＋b，即2bcosC＝acosC，又因为△ABC为锐角三角形，所以cosC≠0，则2b＝a.A所以sin2C＝3sin2A，所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.由2acosC＋b＝2ccosA，得2sinAcosC＋sinB＝2sinCcosA，2sinAcosC＋sin(A＋C)＝2sinCcosA，3sinAcosC＝sinCcosA，则9sin2Acos2C＝sin2Ccos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，法二由射影定理，得b＝acosC＋ccosA代入2acosC＋b＝2ccosA，得3acosC＝ccosA，课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIANDB解析因为sinA＝6sinB，则由正弦定理得a＝6b，又a＋2b＝8，所以a＝6，b＝1，因为C＝60°，所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，A解析在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cosA，ABBB解析因为2cos2A－cosA＝2cos2B＋2cos2C－2＋cos(B－C)，所以2(1－sin2A)－cos[π－(B＋C)]＝2(1－sin2B)＋2(1－sin2C)－2＋cos(B－C)，则2－2sin2A＋cosBcosC－sinBsinC＝2－2sin2B－2sin2C＋cosBcosC＋sinBsinC，整理得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，由正弦定理可得b2＋c2－a2＝bc，53因为a＋b＋c＝10，所以a＋c＝10－b，所以a2＋c2＋2ac＝100－20b＋b2，所以a2＋c2－b2＝68－20b.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝a2＋c2－8，所以a2＋c2－b2＝8，则68－20b＝8，解得b＝3.(2)求c的值；解法一由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即39＝4＋c2－4ccos120°，整理得c2＋2c－35＝0，解得c＝5或c＝－7(舍去)，所以c＝5.法二因为A＝120°，所以B，C均为锐角，(3)求sin(B－C)的值.B解析因为2sinBsinC＋sinB＋2cos2B＝2，进而有sinBsinC＋sinAsinB－2sin2B＝0.因为sinB≠0，所以sinC＋sinA－2sinB＝0，由正弦定理得c＋a－2b＝0.又a2＝b2＋c2－2bccos30°，14.(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1