高考数学总复习《三角函数图像与性质》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《三角函数图像与性质》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________题型01三角函数单调性【解题攻略】A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.（2）图象的变换（1）振幅变换要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．（2）平移变换要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．（3）周期变换要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．【典例1-1】（全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知函数，则f（x）（

）A．在（0，）单调递减 B．在（0，π）单调递增C．在（—，0）单调递减 D．在（—，0）单调递增【变式1-1】（福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【变式1-2】（全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件.题型02求周期【解题攻略】求周期方法直接法：形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝观察法：形如

等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值3.恒等变形转化法。4.定义证明法【典例1-1】（湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（

）A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关【典例1-2】（福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-1】（全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③题型03非同名函数平移【解题攻略】平移变换：1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；2.正到余，余到正：方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平栘个单位【变式1-2】（全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【变式1-3】（河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位题型04对称轴最值应用【解题攻略】正余弦对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是A． B．C． D．题型05对称中心最值应用【解题攻略】正余弦对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0【典例1-1】（全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（

）A．B．是函数图象的一条对称轴C．时，函数单调递增D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是【变式1-1】．（四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：（1）；（2）它的图象关于直线对称；（3）它的图象关于点对称；（4）若，则；则上述结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（

）A． B．2 C．3 D．6【变式1-3】（安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型06辅助角最值【解题攻略】辅助角范围满足：【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（）A． B． C． D．【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（）A．奇函数，在时取到最小值； B．偶函数，在时取到最小值；C．奇函数，在时取到最小值； D．偶函数，在时取到最小值；【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．题型07正余弦换元型最值【解题攻略】与在同一函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．之间的互化关系1.2.【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为．【典例1-2】（高三单元测试）函数的值域为．【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.【变式1-2】（全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为A． B．C． D．【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+cos题型08一元二次型换元最值【典例1-1】（高三单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（上海长宁·高三统考）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是．【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数，则；的最大值为【变式1-3】（江西·校联考模拟预测）函数的最大值为.题型09分式型最值【解题攻略】分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。【典例1-1】（浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数的最大值是，最小值为．【典例1-2】（新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数的值域为【变式1-1】（上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为.【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数的值域为．【变式1-3】函数的最小值是（）A． B． C． D．题型10最值型综合【典例1-1】（全国·高三专题练习）已知，为锐角，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例1-2】已知锐角满足，则的最小值为____．【变式1-1】若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（山东·高三开学考试）已知，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【变式1-3】已知函数的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为－1.若，的值域是，则m的取值范围是_____.题型11恒等变形：求角【解题攻略】将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.【典例1-1】（全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3，tan2B＝tanA·tanC，则角B等于（

）A．30° B．45° C．120° D．60°【典例1-2】（浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知且，则=（

）A． B．C． D．或【变式1-1】（山东·高三校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-3】（湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．题型12恒等变形：拆角求值（分式型）【解题攻略】分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。【典例1-1】（广西·统考一模）＝（

）A． B． C． D．【典例1-2】（云南昆明·高三东川明月中学校考）若，则的值为（

）A．1 B．4 C． D．2【变式1-1】（四川资阳·统考模拟预测）（

）A． B． C． D．1【变式1-2】（山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（

）A． B．1 C． D．2【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求的值（）A．1 B．3 C． D．题型13恒等变形：拆角求值（复合型）【解题攻略】求复合型角，以给了函数值的角度为基角来拆角。讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度【典例1-1】（云南昆明·高三统考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】（陕西渭南·高三统考）已知,都是锐角,,,则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若均为锐角且，则【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知，且，则．【变式1-3】（河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则.题型14恒等变形：拆角求值（正切型对偶）【典例1-1】（全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【典例1-2】（江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（

）A． B． C． D．-2【变式1-1】（河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．1【变式1-2】（全国·高三专题练习）已知角，且，则（

）A． B． C． D．2【变式1-3】（全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．高考练场1.（江西九江·统考二模）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．周期为π，在上单调递减B．周期为，在上单调递减C．周期为π，在上单调递增D．周期为，在上单调递增2.（江西九江·高三校考）函数的周期不可能为（

）A． B． C． D．3.（2021秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有点的A．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向左平移个单位长度B．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变），再向右平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向右平移个单位长度4.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)−g(x5.（陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知函数的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象．若函数的图象在区间上是增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．6.（河南河南·模拟预测（理））已知函数在处取得最大值，则（

）A． B． C． D．7.（福建省2021届高三毕业班总复习数学试题）已知直线与函数和函数的图象分别交于两点，若，则线段中点的纵坐标为_________.8.（2021下·高三课时练习）函数，的值域为______.9.（学海导航全国卷大联考2021届高三数学（理）试题）已知函数，则的最小值为（）A． B． C． D．10.（全国·高三专题练习）设，均为锐角，且，则的最大值是（

）A． B． C．6 D．11.．（安徽亳州·高三亳州二中校考）若，，且，，则（

）A． B． C． D．12.（辽宁·高三校联考开学考试）化简（

）A． B． C．2 D．13.（山东青岛·高三青岛二中校考）已知角，且，，则（

）A． B． C． D．214.（上海奉贤·高三校考）若是第三象限角，且，则等于.参考答案题型01三角函数单调性【解题攻略】A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.（2）图象的变换（1）振幅变换要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．（2）平移变换要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．（3）周期变换要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．【典例1-1】（全国·模拟预测）已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，所以从递减到，从递减到，A错误；当从增加到时，从递减到，从1递减到，所以从递增到，从递减到，B错误；当从增加到时，从递减到，从递减到，所以从递增到，从递减到，C错误；当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，所以从递增到，从递增到，D正确；故选：D【典例1-2】已知函数，则f（x）（

）A．在（0，）单调递减 B．在（0，π）单调递增C．在（—，0）单调递减 D．在（—，0）单调递增【答案】D【分析】先用诱导公式化简得到，再将选项代入检验，求出正确答案.【详解】，故当时，，所以不单调，AB错误；当时，，在上单调递增，故D正确故选：D【变式1-1】（福建莆田·高三校考）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，所以可得：，即，解得：答案：A.【变式1-2】（全国·模拟预测）函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判断出答案.【详解】∵，令，则，即的单调递增区间为，当时，，∴函数在区间上单调递增.故选：A【变式1-3】（黑龙江齐齐哈尔·统考二模）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.【详解】若函数区间上单调递增，则令，，解得，，结合是区间，所以，解得.“”是“”的充分不必要条件,故选：A..题型02求周期【解题攻略】求周期方法直接法：形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acos（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝观察法：形如

等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值3.恒等变形转化法。4.定义证明法【典例1-1】（湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数，则的最小正周期（

）A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关【答案】D【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.【详解】，对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，所以对于任意，的最小正周期都为，对于，其最小正周期为，故当时，，其最小正周期为；当时，，其最小正周期为，所以的最小正周期与无关，但与有关.故选：D.【典例1-2】（福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）以下函数中最小正周期为的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.【详解】画出函数的图象如图所示：

由图可知函数的最小正周期为，满足题意；对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；综上所述，满足题意的函数的个数有1个.故选：A.【变式1-1】（全国·高三专题练习）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.【详解】对选项A：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项B：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项C：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项D：，函数定义域为，，函数为奇函数，，满足条件；故选：D.【变式1-2】（广东·统考二模）已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.的周期为，的周期为，则当时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；若，，则为周期函数，但，为周期函数不正确，故不是必要条件；因此为不充分不必要条件.故选：D【变式1-3】（江苏·高三专题练习）在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（）A．①③ B．①④C．③④ D．②③【答案】D【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为；②由翻折变换可知，函数的图象如图：由图知的最小值周期为；③由周期公式得，所以的最小值周期为；④的最小值周期为.故选：D题型03非同名函数平移【解题攻略】平移变换：1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；2.正到余，余到正：方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处。余弦即五点第一点处，本方法是重点）【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度【答案】B【解析】根据，可判断.【详解】，所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到的图象.故选：B.【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度【答案】C【分析】把化成可得平移的发现及其长度.【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.故选：C.【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平栘个单位【答案】C【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位即可，故选：C．【变式1-2】（全国·高三专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】先得到，再利用平移变换求解.【详解】解：因为，将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.故选：D【变式1-3】（河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【分析】根据诱导公式，即可得到平移方法.【详解】函数，，所以为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象向左平移个单位.故选：C题型04对称轴最值应用【解题攻略】正余弦对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值【典例1-1】已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（）A． B． C． D．湖北省荆州市沙市中学2021-2022学年高三上学期数学试题【答案】B【分析】结合三角恒等变换求得的最大值和最小值，并求得的最小值.【详解】，当时取得最大值为.当时取得最小值为.依题意，存在实数，使得对任意实数，总有成立，，，是整数，为奇数，所以的最小值为.故选：B【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则__________．【答案】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．【详解】设，则，，，则，，∴，即，∴，，又是的一条对称轴，∴，即.故答案为【变式1-1】已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.【详解】．将图象向右平移至个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，所以，，∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即故选：C.【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）.将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,可得由,可知即所以的最大值为,的最小值为则的最大值为,的最小值为所以的最大值为故选:A【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数平移关系求出的解析式，结合成立的有，求出的关系，结合最小值建立方程求出的值即可.解：将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，

即，若成立，即，即，

则与一个取最大值1，一个取最小值−1，不妨设，

则，得，则，

∵，∴当时，，当时，，

，则或，即或（舍），

即，由，得，

当时，对称轴方程为.故选：D.题型05对称中心最值应用【解题攻略】正余弦对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0【典例1-1】（全国·高三专题练习）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为，由此可求得，得到解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.【详解】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，解得：，，令，解得：，此时，的对称中心为，当时，的一个对称中心为.故选：C.【典例1-2】（天津南开·二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（

）A．B．是函数图象的一条对称轴C．时，函数单调递增D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是【答案】C【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．【详解】解：函数，的图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，，，，，，解得，，因为，令，可得，所以函数，故A错误；，故函数关于对称，故B错误；当时，，函数单调递增，故C正确；把的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则，，即，，令，可得的最小值是，故D错误，故选：C【变式1-1】．（四川凉山·三模（理））将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：（1）；（2）它的图象关于直线对称；（3）它的图象关于点对称；（4）若，则；则上述结论正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先根据图像平移的性质求出的函数解析式，逐项代入分析即可.【详解】解：由题意得：，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即，解得，故，所以（1）错误；当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；若，则，所以因此在上的取值范围是，故（4）正确；由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.故选：C【变式1-2】（全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（

）A． B．2 C．3 D．6【答案】A【分析】根据三角函数的图象变换求得和，根据函数与的对称中心重合，得到，即可求解.【详解】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，可得将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，可得，因为函数与的对称中心重合，所以，即，解得，所以的最小值为.故选：A.【变式1-3】（安徽·六安一中高三阶段练习（理））已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到的解析式，结合函数的奇偶性，求出的取值，从而计算可得；【详解】解：因为，令，，解得，，即函数的对称中心坐标为，，所以，，把的图像向右平移个单位得到，因为为偶函数，所以，解得，因为，所以，所以，且，所以当时；故选：D题型06辅助角最值【解题攻略】辅助角范围满足：【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得出不等式对任意的恒成立，化简得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.【详解】且，由题意可知，对任意的，，即，即，，则，，，可得.当时，成立；当时，函数在区间上单调递增，则，此时.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.【典例1-2】已知函数在上的值域为，则的取值范围为______.【答案】【分析】化简得，其中，，，再结合三角函数的性质可求解.【详解】由题意得，其中，，，令，.因为，，故，因为，且，所以，，故，则.又当时，单调递减，且，，故.【变式1-1】.已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．【详解】，其中，处取得最大值，，即，，，①，，，，，②，①②得，，即，解得，（舍去），由①得，，，在第一象限，取，，由，即，，，，，使最小，则，即，若不等式恒成立，则，故选：B【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）已知当时，函数取到最大值，则是（）A．奇函数，在时取到最小值； B．偶函数，在时取到最小值；C．奇函数，在时取到最小值； D．偶函数，在时取到最小值；【答案】B【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.【详解】，取，当时，有最大值，即，所以，可得，所以，，则，因为，所以，为偶函数，，，故B正确，故选：B.【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是______．【答案】4【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．【详解】，其中，，因为，则，+在上有两个不等实根，在上有两个不等实根，则，所以①对任意，，恒成立．由②得，存在，成立，所以，，所以．故答案为：4题型07正余弦换元型最值【解题攻略】与在同一函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．之间的互化关系1.2.【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）已知函数，则的值域为．【答案】【分析】利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.【详解】由令，则，所以，又对勾函数的单调递减区间为，；单调递增区间为，，结合对勾函数的图象，如下：所以，所以，所以函数的值域为.故答案为：.【典例1-2】（高三单元测试）函数的值域为．【答案】【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.【详解】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.【变式1-1】已知函数，则的最大值为___________.【答案】##【分析】设，用换元法化为二次函数求解．【详解】设，则，，，∴时，，即．故答案为：．【变式1-2】（全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为A． B．C． D．【答案】A【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．【详解】由函数，且f(x)在区间上单调递减，∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0恒成立，∵设，∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1，令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，令g(t)=t2+3at+2a−2，只需满足或或，解得或或，综上，可得实数a的取值范围是，故选：A.【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）已知实数a>0，若函数fx=asinx+cos【答案】5【分析】利用换元法，令t=sinx+cosx，结合同角三角函数的平方关系，将函数化为关于的函数【详解】设t=sinx+cosx=2∴sinxcos对称轴方程为t=a>0，当0<a<2时，gtmax=ga当a≥2时，g解得a=52+5.故答案为：题型08一元二次型换元最值【典例1-1】（高三单元测试）若，则函数的最大值与最小值之和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式可化简函数为，根据余弦型函数值域的求法可求得，结合二次函数最值的求法可求得的最大值和最小值，加和即可求得结果.【详解】，当时，，，当时，；当时，；.故选：C.【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.【详解】由因为所以当时故选：B【变式1-1】（上海长宁·高三统考）已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.【详解】由得，设，因，所以，则在上恒成立，设，则二次函数的对称轴为，因其开口向下，所以时函数单调递增，所以的最大值，故，故答案为：【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）已知函数，则；的最大值为【答案】【分析】将代入解析式即可求的值；利用二倍角公式化简，令，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.【详解】因为，所以，，令，则，对称轴为，开口向上，所以当时，所以的最大值为，故答案为：；.【变式1-3】（江西·校联考模拟预测）函数的最大值为.【答案】2【分析】由，换元令，则，得函数为，，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】解：，令，由于，所以，由，得，所以，，因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，所以当时，取得最大值，所以函数的最大值为2，故答案为：2题型09分式型最值【解题攻略】分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。【典例1-1】（浙江绍兴·高三诸暨中学阶段练习）函数的最大值是，最小值为．【答案】【详解】∵，，变形可得即，其中即解得：故答案为最大值是

，最小值为【典例1-2】（新疆克拉玛依·高三校考阶段练习）函数的值域为【答案】【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；【详解】由，得定义域为，且，即有，所以，解得，故函数的值域为．【变式1-1】（上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）函数的值域为.【答案】【分析】化简得到，计算故得到答案.【详解】故，故答案为：【变式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）函数的值域为．【答案】【解析】将函数，变形为，再根据求解.【详解】因为函数所以，因为，解得或.故答案为：【变式1-3】函数的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】对变形，得到，当时，利用的几何意义求解其取值范围，进而得到，当时，，从而求出的最小值.【详解】当，当时,因为，令，的含义是点与单位圆上的点的连线的斜率，所以，所以所以，即，综合得，，故最小值为：.故选：B.题型10最值型综合【典例1-1】（全国·高三专题练习）已知，为锐角，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，当且仅当即时取等号，所以的最小值为.故选：A.【典例1-2】已知锐角满足，则的最小值为____．【答案】8【分析】根据两角差的余弦公式，可得，令，则，根据基本不等式“1”的活用，计算化简，即可得答案.【详解】因为锐角满足，所以，令，则，由题意得，，则当且仅当时取等号，此时的最小值．故答案为：8【变式1-1】若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】解：∵，∴，当且仅当时等号成立.∴的取值范围为.故选：B.【变式1-2】（山东·高三开学考试）已知，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据，可得，再根据两角和的正切公式可得，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以，，所以，即，又因，所以，即，解得或（舍去），所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D.【变式1-3】已知函数的图象过点（0，），最小正周期为，且最小值为－1.若，的值域是，则m的取值范围是_____.【答案】【分析】根据题意易求,，由图象过（0，），，可得，从而得函数解析式，由可得，由余弦函数性质及值域，可得，求解即可.【详解】由函数最小值为－1，，得，因为最小正周期为，所以，故，又图象过点（0，）,所以而，所以，从而，由，可得．因为,且，由余弦函数的图象与性质可知：，解得，故填.题型11恒等变形：求角【解题攻略】将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围.【典例1-1】（全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3，tan2B＝tanA·tanC，则角B等于（

）A．30° B．45° C．120° D．60°【答案】D【分析】由两角和的正切公式，结合诱导公式可证tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，再结合已知条件求得tanB＝，进而得解.【详解】由两角和的正切公式变形得：tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC，∴tanA＋tanB＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanAtanBtanC＝3.∵tan2B＝tanAtanC，∴tan3B＝3，∴tanB＝，B＝60°.故选：D.【典例1-2】（浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知且，则=（

）A． B．C． D．或【答案】C【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.【详解】因，则，，因，，则，又，有，于是得，因此，，所以.故选：C【变式1-1】（山东·高三校联考阶段练习）已知，，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对已知等式化简结合可求出，则可求出，然后对变形化简可得，从而可求出的值.【详解】因为，所以，所以．因为，所以，因为，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故选：C【变式1-2】（山西临汾·高三山西省临汾市第三中学校校联考）已知，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化切为弦，结合，得到，因为，所以，故，求出.【详解】，即，故，所以，所以，因为，，所以，因为，所以，故，解得故选：C【变式1-3】（湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的等式，利用平方关系及差角的余弦求出，再借助正弦函数的单调性求解作答.【详解】由，得，两边平方得，即，由，知，又，即，即有，因此，所以故选：C题型12恒等变形：拆角求值（分式型）【解题攻略】分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。【典例1-1】（广西·统考一模）＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出，然后，利用，代入的值求解即可【详解】，令，得，，，所以，，所以，故选：A【典例1-2】（云南昆明·高三东川明月中学校考）若，则的值为（

）A．1 B．4 C． D．2【答案】B【分析】依题意可得，再利用辅助角公式、二倍角公式及诱导公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，所以，即，所以，所以；故选：B【变式1-1】（四川资阳·统考模拟预测）（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.【详解】.故选：A.【变式1-2】（山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】化切为弦通分变形，逆用两角和的正弦公式与二倍角公式化简可得.【详解】，故选：B.【变式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中校考阶段练习）求的值（）A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】化切为弦，通分后变形，利用两角和的正弦及余弦求解．【详解】解：题型13恒等变形：拆角求值（复合型）【解题攻略】求复合型角，以给了函数值的角度为基角来拆角。讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度【典例1-1】（云南昆明·高三统考）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角余弦公式可求得，利用两角和差余弦公式可依次求得和.【详解】，，，，，则，，，.故选：D.【典例1-2】（陕西渭南·高三统考）已知,都是锐角,,,则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意判断的范围,从而求出的值,将写为,再用两角和与差的余弦公式代入化简即可.【详解】由于,都是锐角,则,,因为,,所以,,所以,,所以.故选:B【变式1-1】（2020上·江西·高三奉新县第一中学校考阶段练习）若均为锐角且，则【答案】【分析】根据求出，根据可求得结果.【详解】因为均为锐角且，所以，，所以，所以.故答案为：.【变式1-2】（2022下·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知，且，则．【答案】/－0.8【分析】已知等式变形为，引入函数，即有，根据正弦函数性质得的关系，再结合可得的表达式，从而利用诱导公式、二倍角公式求得结论．【详解】由得，设，其中，，为锐角，已知条件即为，所以，或，，若，，则，与已知矛盾，所以，，，则，故答案为：．【变式1-3】（河北石家庄·高三校考阶段练习）若，，，，则.【答案】【分析】结合角度范围及三角函数值，可求出，的角度值，进而可求【详解】由，，则，，所以或，，，则，当时，，则，当时，，则，又，.故.故答案为：题型14恒等变形：拆角求值（正切型对偶）【典例1-1】（全国·高三专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得，再根据两角和与差的三角函数公式，即可得出答案．【详解】，，，则，．故选：D．【典例1-2】（江西赣州·高三校联考阶段练习）已知角，且，则（

）A． B． C． D．-2【答案】C【分析】根据正余弦的和差角公式化简，由可得，再根据可得，进而求解即可.【详解】由可得，即，故.又，故，即，代入可得.故.故选：C【变式1-1】（河南·校联考模拟预测）已知，，，，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】确定，计算得到，，计算得到答案.【详解】，化简得，故，解得，又，则，故.故选：D.【变式1-2】（全国·高三专题练习）已知角，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由，可得，即，故.又，故，即，代入可得.故故选：D【变式1-3】（全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析