安徽省A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题 含解析

第1页/共1页1号卷·A10联盟2024届高三4月质量检测考试数学试题巢湖一中合肥八中淮南二中六安一中南陵中学舒城中学太湖中学天长中学屯溪一中宣城中学滁州中学池州一中阜阳一中灵盟中学宿城一中合肥六中太和中学合肥七中科大附中野寨中学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第I卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则的子集个数为（）A.4 B.7 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】求出集合中元素，进而求出集合的子集个数．【详解】由题意得，，则的子集个数为，故选：C．2.已知抛物线C：的焦点为F，若点在C上，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，将点坐标代入抛物线方程，求得，求出，即可求得的面积.【详解】将代入C的方程，得，故，所以，则的面积.故选：A.3.已知，，则的最小值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.【详解】，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.4.学校安排含唐老师、李老师在内的5位老师去3个不同的学校进行招生宣传，每位老师都必须选1个学校宣传，且每个学校至少安排1人.由于唐老师是新教师，学校安排唐老师和李老师必须在一起，则不同的安排方法有（）A.24种 B.36种 C.48种 D.60种【答案】B【解析】【分析】把5位老师按和分组，再把分成的3组安排到3所学校，列式计算得解.【详解】把5位老师按和分组，且唐老师和李老师在一起的不同分组方法数为，所以不同的安排方法有（种）.故选：B5.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解.【详解】令函数，求导得，因此函数在上单调递增，则，，所以故选：C6.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知等式结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可【详解】由及正弦定理得，即，由及余弦定理可得，∴，∴，∴.又，∴.故选：D.7.已知是圆O：直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（）A.0 B.-2 C.-4 D.【答案】C【解析】【分析】取的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设的中点为C，∵，，则，∵C为的中点，∴，设向量与的夹角为，∴，又，∴的最小值为.故选：C.8.若定义在上的函数，满足，且，则（）A.0 B.-1 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】利用赋值法，先后求出，，再令，得到，即可求解.【详解】令，则有，又，∴.令，.则有，∴令，则有.∵，∴，∴，∴.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训，已知某跳水运动员在一次集训中7位裁判给出的分数分别为：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，则这组数据的（）A.平均数为9.6 B.众数为10C.第80百分位数为9.8 D.方差为【答案】ABD【解析】【分析】根据平均数、众数、百分位数和方差的定义求解.【详解】对于A，平均数，故A正确；对于B，出现次数最多的数为10，故B正确；对于C，7×0.8=5.6，第80百分位数为第6位，即10，故C错误；对于D，方差为，故D正确.故选：ABD.10.在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似模拟某种信号的波形，则（）A.为偶函数 B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称 D.是的一个周期【答案】BC【解析】【分析】对A，根据奇偶函数得定义判断；对B，计算可判断；对C，计算可判断；对D，根据周期函数的定义判断.【详解】由题意得，，对于A，，，∴函数是奇函数，故A错误；对于B，，∴的图象关于点对称，故B正确；对于C，，∴的图象关于直线对称，故C正确；对于D，，∴不是的周期，故D错误.故选：BC.11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（）A.C的离心率为3 B.当时，C. D.为定值【答案】BCD【解析】【分析】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程，根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.【详解】由题意得，，故A错误；联立，得，解得或，则，故B正确；由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上，设，的斜率分别为，，，故直线的方程为，联立，得，设，则，，故.当轴时，，是等腰直角三角形，且易知；当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故，因为，所以，所以，，故C正确；因为，故，故，故D正确.故选:BCD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.【详解】由题意得，，解得，∴实数的取值范围是.故答案为：.13.若关于的方程有解，则实数m的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到，然后利用导数求得函数的值域即可得到结果.【详解】由题意得，，令，则，易知单调递增，所以.令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，得.所以的最大值为.故答案为：14.已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为______.【答案】##【解析】【分析】首先将平面展成与平面同一平面，确定点的位置，再建立空间直角坐标系，确定球心的位置，根据球体积公式计算即可．【详解】由题意得，，将平面展成与平面同一平面，当点共线时，此时最小，在展开图中作，垂足为N，因为为等腰直角三角形，所以，，由得，，解得，在正方体，过点作，垂足为，则，如图，以D为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，因为，所以，又因为平面，且，所以平面，因为，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，设，则，因为，所以，解得，即，所以外接球，所以三棱锥外接球的体积，故答案为：.【点睛】方法点睛：立体图形中求线段和最小值，将线段所在平面展开在同一平面，即可确定最小值；确定立体图形的外接球，可先确定球心所在直线，建立空间直角坐标系求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程；（2）若函数在上有2个极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）令，分离参数可得，由题意可得方程在上有2个根，构造函数，，利用导数求出其极值和单调区间即可得解.【小问1详解】由题意得，，故，解得，而，故所求切线方程为，即；【小问2详解】令，则，故，因为函数在上有2个极值点，所以方程在上有2个根，令，，则，令，解得，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，当时，，当，，故实数的取值范围为.16.如图，在三棱柱中，，，，，P为线段的中点，点N为线段上靠近的三等分点.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先得到，，得到线面垂直，故，再得到，由三线合一得到，得到线面垂直，得到结论；（2）先证明出面面垂直，再建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值.【小问1详解】因为，故，又，所以，故侧面为矩形，故，又，，，所以平面，而平面，故，又，，故为等边三角形，所以，因为是线段的中点，故，且，平面，故平面，因为平面，故.【小问2详解】由（1）知，平面，又平面，故平面平面，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，过点C在平面内作垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，设，则，即，解得，故，易得平面的一个法向量为，设平面的法向量，则，令，则.记平面与平面夹角为，故，即平面与平面夹角的余弦值为.17.某学校组织一场由老师与学生进行的智力问题比赛，最终由小明同学和唐老师入围决赛，决赛规则如下：①学生：回答n个问题，每个问题小明回答正确的概率均为；若小明回答错误，可以行使学生权益，即可以进行场外求助，由场外同学小亮帮助答题，且小亮每个问题回答正确的概率均为.②教师：回答个问题，每个问题唐老师回答正确的概率均为.假设每道题目答对与否相互独立，最终答对题目多的一方获胜.（1）若，，记小明同学答对问题（含场外求助答对题数）的数量为X，求X的分布列及数学期望：（2）若，且小明同学获胜的概率不小于，求p的最小值.【答案】（1）分布列见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）求出小明答每个问题，回答正确的概率，再利用二项分布求出分布列及期望.（2）求出小明答对1个、2个试题的概率，唐老师答对0个、1个试题的概率，再把小明获胜的事件分拆成互斥事件的和，即可求出概率.【小问1详解】小明同学答每个问题，回答正确的概率，的所有可能取值为，显然，则，，，，则的分布列为0123数学期望.【小问2详解】记事件为小明同学答对了道题，事件为唐老师答对了道题，，，其中小明同学答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，则，，，，所以小明同学获胜概率为，解得，所以的最小值为.18.已知椭圆C：的短轴长为4，过右焦点F的动直线与C交于A，B两点，点A，B在x轴上的投影分别为，（在的左侧）；当直线的倾斜角为时，线段的中点坐标为.（1）求的方程；（2）若圆：，判断以线段为直径的圆与圆的位置关系，并说明理由；（3）若直线与直线交于点M，的面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2）圆与圆内切，理由见解析（3）或【解析】【分析】（1）利用点差法，结合中点坐标，以及直线的斜率，求椭圆方程；（2）根据椭圆的定义，表示圆心距和两圆半径的关系，即可判断两圆的位置关系；（3）首先设直线的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示点的坐标，并利用坐标表示的面积，即可求解直线方程.【小问1详解】易知，则.设，，则，相减得，，故，解得，则，故椭圆C的方程为.【小问2详解】设，圆的半径为,椭圆C的左焦点为，则，，设为线段的中点，则，故圆与圆内切.【小问3详解】当直线斜率为0时，不符合题意，舍去.当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立，得，易知，则，.易知，，所以直线：①，直线：②，联立①②，所以，因为，所以，解得，故直线的方程为或.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是联立方程求出点的坐标，并利用坐标表示面积公式.19.在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数记为.（1）求，的值；（2）对于，，是否存在m，n，p，使得?若存在，求出m，n，p的值；若不存在，请说明理由；（3）记表示不超过的最大整数，且，求的值.【答案】（1），（2）不存在，理由见解析（3）500【解析】【分析】（1）由的定义，分别求出，；（2）若成立，可转化为，即，即可判断；（3）根据题意可知，当时，可证，即，得解.【小问1详解】在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以.在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23