2022年全国中考数学真题分类汇编专题12：四边形（附答案解析） (一)

2022年全国中考数学真题分类汇编专题12：四边形

一.选择题（共18小题）

1.如图，菱形ABCD的对角线4c与相交于点。，E为A。的中点，连接OE,NABC

=60°，BD=4®则OE='）

2.如图，四边形48co的内角和等于（）

C.360°D.540°

3.如图，正方形4BCO的面积为3,点E在边CO上，且CE=L/A8E的平分线交AD

于点尸，点M,N分别是BE5尸的中点，则MN的长为（）

4.如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,下列结论中错误的是（）

第1页共56页

D

D.ZDAC=ZBAC

5.正多边形的每个内角为108°,则它的边数是（）

A.4B.6C.7D.5

6.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,则这个正多边形是（）

A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

7.如图，在边长为1的菱形48co中，NA8C=60°,动点E在AB边上（与点4,8均

不重合），点尸在对角线AC上，CE与8/相交于点G,连接AG,DF,若AF=BE,则

下列结论错误的是（）

A.DF=CEB.ZBGC=120°

C21/2

C.AI^=EG・ECD.AG的最小值为一

3

8.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若

图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是（）

C.12D.16

9.如图，O为正方形A8CO对年线AC的中点，AACE为等边三角形.若AB=2,则OE

的长度为（）

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A.—B.V6C.2V2D.2V3

2

10.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两条对角线是否相等

B.度量两个角是否是90°

C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

D.测量两组对边是否分别相等

11.如图，将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则N1的度数是（）

12.如图，四边形A8CQ是菱形，ND4B=60°,点£是。4中点，F是对角线4c上一点,

A.3B.V5+1C.2V2+1D.2+V3

13.如图，在。ABCO中，己知A8=12,40=8,NA8C的平分线3M交C£＞边于点M,则

力M的长为（）

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D

14.如图是某•水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（）

水深危险

禁止游泳

A.900°B.720°C.540°D.360°

15.如图，在矩形ABCO中，AO>AB,点E,尸分别在A。，BC边上,EF//AB,AE=AB,

A尸与BE相交于点O,连接OC.若8F=2CF,则OC与E尸之间的数量关系正确的是（）

AED

BFC

A.2OC=yf5EFB.V5OC=2EFC.2OC=yl^EFD.OC=EF

16.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形A5CD,

其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A.四边形48CO周长不变B.AD=CD

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C.四边形ABC。面积不变D.AD=BC

17.如图，在四边形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD=\Qcm,BC=8cm,点P从点。出

发，以Ic/n/s的速度向点A运动，点M从点8同时出发，以相同的速度向点。运动，当

其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为1（单位：$）,

下列结论正确的是（）

A.当1=4$时，四边形A8MP为矩形

B.当，=5$时，四边形CQPM为平行四边形

C.当CO=PM时，t=4s

D.当CO=PM时，f=4s或6s

18.如图，将平行四边形ABCO沿对角线8。折叠，使点A落在七处.若Nl=56°,Z2

=42°,则NA的度数为（）

A.108B.109C.110°D.111°

二.填空题（共19小题）

19.如图，矩形4BCO的对角线相交于点0,过点。的直线交4。，BC于点E,F,若AB

=3,BC=4,则图中阴影部分的面积为.

ED

RF

20.如图，在口48。。中，40=10,对角线AC与5。相交于点。，AC+BD=22,则△8OC

的周长为.

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21.如图所示，在oABCO中，AC,8。交于点。，BO=a,BC=bf则命=

22.图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图

②是一个菱形.将图②截夫一个边长为原来一半的菱形得到图③,月图③镶嵌得到图④.

将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中NA3C的度数是°.

图①图②图③图④

23.如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DER只需添加一个条件即可证明四边形A8E。

是菱形，这个条件可以是.（写出一个即可）

24.如图，四边形ABCO为菱形，NA8C=80°,延长到£在NOCE内作射钱CM,

使得NECM=30°,过点。作DF_LCM,垂足为尸.若。尸=论,则30的长为（结

果保留根号）.

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25.如图，CO是△A8C的角平分线，过点。分别作AC,8C的平行线，交BC于点E,交

AC于点F.若N4CB=60°,CD=46,则四边形CEDF的周长是

26.如图，在正六边形ABCQE尸中，M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个：

①BM=EN；②/必N=/COM；③AM=DN；④NAMB=NDNE.能使四边形4MDN

是平行四边形的是____（填上所有符合要求的条件的序号）.

27.如图，在矩形A8CD中，对角线AC,80相交于点O,点E是边AD的中点，点尸在

对角线AC上，且4尸=%（7,连接EF.若4c=10,则EF=_______.

28.如图，菱形43。。的对角线AC,8。相交于点0,点E在08上,连接AE,点F为

CO的中点，连接。尸.若AE=BE,0E=3,0A=4则线段。尸的长为_______.

29.如图，正方形48co中，点E、尸分别在边8C、8上，AE=AF,ZEAF=30°,则

NAEB=°；若aAE广的面积等于1,则A8的值是

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30.在矩形ABC。中，48=9,AD=12,点E在边CO上，且CE=4,点尸是直线上

的一个动点.若aAPE是直角三角形，则8尸的长为.

31.正六边形的一个外角的度数为

32.如图，在RtZkABC中，ZBAC=90°,A8=3,BC=5,点P为BC边上任意一点，连

接外，以外,PC为邻边作平行四边形R1QC,连接PQ,则PQ长度的最小值为.

33.如图，矩形A8CZ）的对角线4C,8。相交于点O,OE〃AC,CE//BD.若AC=10,则

34.如图，菱形A8CO中，对角线AC,8。相交于点O,NBAO=60°,AO=3,A”是N

BAC的平分线，CE_LA”于点E,点、P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值

是.

35.如图，折叠边长为4c加的正方形纸片人8C。，折痕是及M,点C落在点E处，分别延

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长ME、OE交AB于点尸、G,若点M是8C边的中点，则尸G=cm.

36.如图，在正方形ABC。中，48=4&，对角线AC,B。相交于点。.点E是对角线AC

上一点，连接8E,过点E作EF上BE,分别交CD,BO于点尸，G,连接3尸，交AC于

点H,将尸”沿E尸翻折，点”的对应点H'恰好落在8。上，得到△£尸H'.若点产

为C。的中点，则△EG"'的周长是.

A

B

37.四边形的外角和度数是.

三.解答题(共7小题)

38.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。，A在)，轴的正半轴上，B,C在x轴上，

AD//BC,BD平分NABC,交AO于点E,交AC于点F,NCAO=NDBC.若OB,OC

的长分别是一元二次方程f-5x+6=0的两个根，且OB>OC.

请解答下列问题：

(1)求点B,。的坐标；

(2)若反比例函数)，=((AW0)图象的一支经过点。，求这个反比例函数的解析式；

(3)平面内是否存在点M,N(M在N的上方)，便以B,D,M,N为顶点的四边形是

边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说

明理由.

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(1)求证：/ACB=NDFE；

(2)连接8F,CE,直接判断四边形8FEC的形状.

40.【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的44纸，如图①，矩形488

为它的示意图.他查找了44纸的相关资料，根据资料显示得出图①中他先

将A4纸沿过点A的直线折叠，使点8落在A。上，点8的对应点为点£折痕为AF；

再沿过点尸的直线折叠，使点。落在E尸上，点C的对应点为点“，折痕为/G：然后连

结AG,沿AG所在的直线再次折叠，发现点。与点尸重合，进而猜想△ADGgZXAFG.

【问题解决】小亮对上面△MGg△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程:

证明：•,•四边形ABC。是矩形，

・・・NBAD=NB=NC=NO=90°.

由折叠可知，ZBAF=|ZBAD=45°,ZBFA=ZEFA.

：.ZEFA=ZBFA=45°.

：,AF=V2AB=AD

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

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(I)/D4G的度数为度，黑的值为；

(2)在图①的条件下，点尸在线段4尸上，且点Q在线段AG上，连结尸Q、

PQ，如图②.设则〃Q+PQ的最小值为.(用含〃的代数式表示)

41.如图，在口人BCO中，48=4,AD=BD=^13,点M为边AB的中点.动点尸从点A出

发，沿折线AD-DB以每秒03个单位长度的速度向终点B运动，连结PM.作点A关

于直线的对称点4,连结《P、A'M.设点P的运动时间为，秒.

(1)点O到边AB的距离为；

(2)用含/的代数式表示线段。P的长；

(3)连结40,当线段8。最坦时，求△。秒V的面积；

(4)当M、W、C三点共线时，直接写出/的值.

42.已知点E在正方形48C。的对角线4C上，正方形AFEG与正方形A8CO有公共点A.

2CE

(1)如图1,当点G在AD上，尸在AB上，求的值为多少；

>J2DG

CE

(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转a(0°<a<9O0),如图2,求不的值为

DG

多少；

⑶AB=8&，46=挈4。，将正方形A/石G绕A逆时针方向旋转a(0°<a<360°),

当C,G,E三点共线时，请直接写出QG的长度.

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图1图2

43.如图，在。ABCD中，。/平分NAOC,交AB于点F,BE〃。r交AD的延长线于点E.若

乙4=40°,求N4BE的度数.

44.(1)发现：如图①所示，在正方形ABC。中，E为4。边上一点，将△AEB沿BE翻折

到△BEF处，延长E/交C。边于G点.求证：4BFG出4BCG；

(2)探究：如图②，在矩形ABCO中，E为AD边上一点,且AO=8,AB=6,将AAEB

沿BE翻折到ABE尸处，延长E尸交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且F”

CH,求AE的长.

(3)拓展：如图③，在菱形46co中，AB=6,E为。。边上的三等分点，ZD=60°.将

△4QE沿4E翻折得到△AFE,直线所交8C于点P,求尸C的长.

A

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2022年全国中考数学真题分类汇编专题12：四边形

参考答案与试题解析

一.选择题（共18小题）

1.如图，菱形A8CO的对角线AC与8。相交于点O,E为A。的中点，连接OE,NABC

【解答】解：•・•四边形48co是菱形，NABC=60°,

；・B0=D0,480=30°,AC1BD,AB=ADt

；・BO=2V5，

：.AO=^BO=2,

：,AB=2AO=4,

•・•£为AD的中点,ZAOD=90°,

・・・。七=夕。=2,

故选：C.

2.如图，四边形ABC。的内角和等于（）

C.360°D.540°

【解答】解：四边形48CZ）的内角和为360°.

故选：C.

3.如图，正方形ABCO的面积为3,点E在边CD上，且CE=1,/A8E的平分线交A。

于点尸，点M,N分别是BE,B尸的中点，则MN的长为（）

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V6—A/2

C.2-V3

【解答】解：连接七兄如图:

-------------------------C

•・•正方形4BCO的面积为3,

：.AB=BC=CD=AD=次，

VCE=1,

/.DE=V3—1,lanNEBC=鲨=%=坐,

・・・NE8C=30°,

：・NABE=/ABC-NEBC=60°，

户平分NA8E,

AZABF=|zAB£：=30a,

：.DF=AD-AF=y/3-\,

，DE=DF,/XOM是等腰直角三角形，

：,EF=V2DE=y/2x（V3-1）=V6-V2,

•；M,N分别是BE,8尸的中点,

，MN是ABE尸的中位线，

故选：D.

4.如图，在菱形48CO中，对角线AC,5。相交于点O,下列结论中错误的是（）

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D

A.AB=ADB.AC1BDC.AC=BDD.ZDAC=ZBAC

【解答】解：•・•四边形ABC。是菱形，

/.ZBAC=ZDAC,AB=AD,ACLBD,

故4、B、。正确，无法得出4c=30,

故选：C.

5.正多边形的每个内角为108°,则它的边数是（）

A.4B.6C.7D.5

【解答】解：方法一：•・•正多边形的每个内角等于108°,

・•・每一个外角的度数为180°-108°=72°,

・•・边数=360°+72°=5,

方法二：设多边形的边数为〃，

由题意得，（n-2）*180°=108°・〃，

解得〃=5,

所以，这个多边形的边数为5.

故选：D.

6.一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,则这个正多边形是（）

A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

【解答】解：•・•一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,

・•・设这个外角是£,则内角是叙。,

根据题意得：x+3x=180,

解得：x=45,

360°+45°=8（边），

故选：C.

7.如图，在边长为1的菱形A8CO中，ZABC=60°,动点E在AB边上（与点4,8均

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不重合），点尸在对角线AC1上，CE与8尸相交于点G,连接AG,DF,若A/=8巴则

下列结论错误的是（）

A.DF=CEB.ZBGC=120°

C.AF?=EG・ECD.AG的最小值为‘一

3

【解答】解：•・•四边形ABC。是菱形，N48C=60°,

Z.ZBAD=120°，BC=AD,/OAC=2/34。=60°，

:・/DAF=/CBE,

•：BE=AF,

:.△AOF9XBCE(SAS),

:・DF=CE,/BCE=NADF,故4正确，不符合题意；

'：AB=AD,ZBAF=ZDAF,AF=AF,

.,.△BAF^ADAF(SAS),

：.ZADF=NAB尸，

:.NABF=NBCE,

・・・NBGC=180°-(NGBC+NGCB)=180°・NCBE=120°,故8正确，不符合题

尽:

・：NEBG=NECB,NBEG=NCEB,

：.4BEGs»CEB,

•BEEG

••,

CEBE

:・B*=CEXEG,

'：BE=AFt

••・4/^=EG・EC,故C正确，不符合题意；

以8C为底边，在8C的下方作等腰△O8C,使NOBC=/OC8=30°,

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VZBGC=120°,BC=1,

・••点G在以O为圆心，。8为半径的圆上运动，

连接40，交。。于G,此时4G最小，AO是8c的垂直平分线，

•：OB=OC,ZB0C=120°,

：.ZBCO=30°,

・・・N4CO=90°,

AZOAC=30°,

：・OC=导,

：,AO=2OC=竽，

・・・AG的最小值为AO-OC=等,故。错误，符合题意.

故选：D.

8.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若

图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是（）

A.4B.8C.12D.16

【解答】解：由题意可得，

小正方形的边长为3・1=2,

J小正方形的周长为2X4=8,

故选：B.

9.如图，。为正方形ABCO对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若A8=2,则OE

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的长度为（）

E

B

V6

A.一B.V6C.2V2D.2V3

2

【解答】解；•・•四边形ABC。为正方形，44=2,

AAC=2V2,

•••0为正方形ABCD对角线AC的中点，l\ACE为等边三角形,

・・・NAOE=90°,

：.AC=AE=2^2,AO=V2,

/.OE=V2xV3=V6.

故选：B.

10.要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两条对角线是否相等

B.度量两个角是否是90°

C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等

D.测量两组对边是否分别相等

【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形：更不能判定为矩形,

故选项A不符合题意;

B、度量两个角是否是90°,不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项3不

符合题意;

C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符

合题意:

。、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项。不符合题意;

故选：C.

11.如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则N1的度数是（）

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A.40°B.60°C.80°D.100°

【解答】解：•・•菱形的对边平夕亍，

・••由两直线平行，内错角相等可得/I=80°.

故选：C.

12.如图，四边形4BCD是菱形，N£MB=60°,点E是。A中点，尸是对角线4c上一点,

且NOE/=45°,则4F：尸C的值是（）

【解答】解：连接。8,交AC于点。，连接。E,

•・•四边形ABCD是菱形，

AZDAC=|ZD/4^=3O°,ACA-BD,OD=AC=2AO,AB=AD,

,.'N"A8=6(T,

•••△A8Z)是等边三角形，

:.08=AO,

VZAOD=90°,点E是D4中点，

：,OE=AE=DE=^AD,

：.]^OE=AE=DE=a,

：.AD=BD=2a,

OD=』BD=a,

在Rl/^AOD中，AO=y/AD2-DO2=J(2d)2-a2=

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：,AC=2AO=2V3a,

•：EA=EO,

・・・NEAO=NEOA=30°,

：.ZDE0=ZEACH-ZE0A=6Q°,

VZDEF=45°,

ZOEF=ZDEO-NDEF=15°,

・•・NEFO=/EOA-NOEF=15°,

；・NOEF=NEFO=15°,

：.OE=OF=a,

.'.AF=AO+OF=V5a+a,

：.CF=AC-AF=V3a-a,

AF>/3a+aV3+1厂

:.—=-p-----=T=—=2+V3>

CFyJ3a-a6一1

13.如图，在oABC。中，已知A8=12,AO=8,NABC的平分线BM交CD边于点M,则

OM的长为（）

A.2B.4C.6D.8

【解答】解：•・•四边形ABC。是平行四边形，

：.CD=AB=\2,8C=AO=8,AB//CD,

JNABM=NCMB,

•・・8M是NABC的平分线，

JZABM=NCBM,

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:・/CBM=/CMB,

.\MC=BC=S,

：.DM=CD-MC=12-8=4,

故选：B.

14.如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（)

【解答】解：<5-2）X1800=540°,

故选：C.

15.如图，在矩形48co中，AD>AB,点、E,尸分别在40,8c边上，EF//AB,AE=AB,

A尸与相交于点0,连接0C.若5尸=2CR则0C与政之间的数盘关系正确的是（）

A.20C=y/5EFB.\[S0C=2EFC.20C=V3EFD.0C=EF

【解答】解：过点O作O/7JL6C于”，

•・•在矩形48co中，EF//AB,AE=AB,

，四边形48FE是正方形，

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：.0H=^EF=3BF=BH=HF,

，：BF=2CF,

:・CH=EF=20H,

：,OC=V5OH,

即2OC=炳EF,

故选：A.

16.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形A48,

其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

【解答】解：由题意可知：AB//CD,AD//BC,

・•・四边形ABCD为平行四边形，

:・AD=BC,

故选：D.

17.如图，在四边形A8CO中，ZA=ZB=90°,AD=\Ocm,BC=8cm,点P从点。出

发，以的速度向点4运动，点M从点8同时出发，以相同的速度向点C运动，当

其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为，（单位：$）,

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B.当，=5$时，四边形CDPM为平行四边形

C.当。D=PM时，t=4s

D.当CO=PM时，f=4s或6s

【解答】解：根据题意，可得QP=I,BM=t,

*.*AD=10c/n>BC=8c，n,

：.AP=lO-t,CM=8-Z,

当四边形ABMP为矩形时，AP=BM,

即10-r=r,

解得f=5,

故A选项不符合题意；

当四边形CQPM为平行四边形，DP=CM,

即/=87,

解得/=4,

故B选项不符合题意；

当CO=PM时，分两种情况：

①四边形CDPM是平行四边形，

此时CM=PD,

即87r

解得1=4,

②四边形CQ尸M是等腰梯形，

过点M作MG_LA。于点G,过点。作CH_LA。于点〃，如图所示:

则NMGP=NC77O=90°,

•:PM=CD,GM=HC,

:•丛MGPmACHD(HL),

：・GP=HD,

第23页共56页

9：AG=AP+GP=10-什T尸,

又•：BM=t,

・・・[0-什・（尸X

解得，=6,

综上，当CD=PM时，/=4s或6s,

故C选项不符合题意，。选项符合题意,

故选：D.

18.如图，将平行四边形A8CO沿对角线3。折叠，使点A落在E处.若/1=56°,Z2

=42°,则N4的度数为（）

C.110°D.111°

【解答】解：•・•四边形A8C。是平行四边形,

J.AB//CD,

:./ABD=/CDB,

由折叠的性质得：ZEBD=ZABD,

:.ZABD=/CDB=NEBD,

•；N1=NCDB+NEBD=56°,

AZABD=ZCDB=2S°,

AZA=180°-N2-NABO=180°-42°-28°=110°,

故选：C.

二.填空题（共19小题）

19.如图，矩形A8CO的对角线相交于点。，过点。的直线交AO,BC于点、E,F,若AB

=3,8c=4,则图中阴影部分的面积为6

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ED

RFC

【解答】解：•・•四边形ABC。是矩形，4B=3,

：.OA=OC,AB=CD=3,AD//BC,

:.NAEO=/CFO；

又•・,ZAOE=ZCOF,

在△AOE和△CO尸中，

Z.AEO=乙CFO

OA=OC,

LAOE=Z.COF

：,△AOEg△CO尸，

,,SAAOE-S4COF,

・'•s明的=SAAO/S公BOF^S八COD=S^AO/S&BOF+S&COD=SABCD；

11

VSABCD=扣C・CO=x4x3=6,

・'・S阴影=6・

故答案为6.

20.如图，在oABCQ中，AD=10,对角线AC与5。相交于点O,AC+BD=22,则△8OC

的周长为21.

【解答】解：:四边形4BCO是平行四边形，

，4O=OC=%C,BO=OD=^BD,AD=BC=[0,

VAC+BD=22,

:.OC+BO=11,

/.4BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21.

故答案为：21.

21.如图所示，在oABCO中，AC,BD交于点O,BO=a,BC=b,则且=i2a+d

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AD

B

【解答】解：因为四边形A8CD为平行四边形,

所以BO=0D,

所以位=0C-0D=BC-BO-0D=-2a+b.

故答案为：-2a+b.

22.图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图

②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,月图③镶嵌得到图④，

将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中NA8C的度数是」0°.

图①图②图③图④

E

VZBAD=ZBAE=ZDAE,ZBAD+ZBAE+ZDAE=360°,

ZBAD=ZBAE=ZDAE=120°，

'：BC//AD,

：.ZABC=180°-120°=60°,

故答案为：60.

23.如图，将△ABC沿着BC方向平移得到石凡只需添加一个条件即可证明四边形4BEO

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是菱形，这个条件可以是AB=AD（答案不唯一）.（写出一个即可）

【解答】解.：这个条件可以是AB=AD,理由如下：

由平移的性质得：AB//DE,AB=DE,

・•・四边形ABE。是平行四边形，

又.・・A8=4。，

・•・平行四边形4BEO是菱形，

故答案为：AB=4O（答案不唯一）.

24.如图.四边形ARCD为菱形，，延长RC到区在/OUE内作射钱

使得NECM=30°,过点。作。尸_LCM,垂足为尸.若。尸=遍，则BD的长为，、石_（结

果保留根号）.

【解答】解：如图，连接AC,交B。于点从

由菱形的性质得NAOC=N4BC=80°,ZDCE=80°,NO”C=90°,

又・・・NECM=30°,

Z.ZDCF=50°,

VDF±CA/,

AZCFD=90°,

AZCDF=40°,

又・・•四边形ABC£＞是菱形,

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平分N4DC,

AZHDC=40°,

在△CQH和△©£＞尸中，

"HD=Z.CFD

乙HDC=^FDC，

DC=DC

：.△CDH^ACDF(AAS),

：.DH=DF=V6,

：.DB=2DH=2V6.

故答案为：2n.

25.如图，CO是△48C的角平分线，过点。分别作AC,8C的平行线，交8C于点E,交

AC于点尸.若NAC8=60°,CD=4®则四边形CED-的周长是16.

:.四边形CEDF是平行四边形,

,:CD是△ABC的角平分线，

:・/FCD=/ECD,

•：DE//AC,

：・ZFCD=NCDE,

：./ECD=NCDE,

:・CE=DE,

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，四边形CED尸是菱形,

/.CD±EF,ZECD=|ZACB=3O°，OC=5CD=2V3,

在RtZXCOE中，

:.四边形CEDF的周长是4CE=4X4=16,

故答案为：16.

26.如图，在正六边形4BCOE尸中，M,N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个：

①BM=EN；②NFAN=NCDM；③AM=DN；④NAMB=NDNE.能使四边形AMDN

是平行四边形的是（D@@（填上所有符合要求的条件的序号）.

解：①连接A。，交3E于点0

图1

•・•正六边形A8CDE/中，ZBAO=ZABO=ZOED=ZODE=60°,

JXAOB和△OO£是等边三角形，

：.OA=OD,OB=OE,

又•：BM=EN,

：・OM=ON,

・•・四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意；

②•：/FAN=/CDM,ZCDA=ZDAF,

：・40AN=/0DM,

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：.AN//DM,

又・.・NAON=NZX)M,OA=OD,

：.AAON^ADOM(ASA),

:.AN=DM,

・•・四边形AMQN是平行四边形，故②符合题意；

③•：AM=DN,AB=DE,NABM=NDEN,

•♦.△ABM与△OEV不一定全等，不能得出四边形AMON是平行四边形，故③不符合题

意；

④•：4AMB=/DNE、4ABM=4DEN,AB=DE,

:.zMBM0ADEN(AAS),

：.AM=DNf

VZAMB+ZAMN=180°,NDNM+NDNE=180°,

・•・NAMN=/DNM,

：,AM//DN,

・•・四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意.

故答案为：①

27.如图，在矩形48C。中，对角线AC5。相交于点O,点E是边4。的中点，点尸在

15

对角线AC上，且AF=M，连接比若AC=lO,则）=七一

【解答】解：在矩形48CO中，AO=OC=^AC,AC=BO=10,

'：AF=^AC,

：.AF=^AO,

・•・点尸为40中点,

又•：点、E为边AO的中点,

...£产为△AOQ的中位线,

：.EF=\OD=%£>=1.

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故答案为：j.

28.如图，菱形ABC。的对角线AC,B。相交于点O,点E在0B上,连接4E,点尸为

CO的中点，连接OF.若AE=BE,OE=3,04=4,则线段OF的长为2的.

AO=CO=4,BO=DO,

：-AE=y/AO2+E02=79+16=5,

••8E=AE=5,

，B0=8,

:,BC=7B02+CO2=,64+16=4V5,

：点?为。。的中点，BO=DO,

・・・0尸=聂。=2遥，

故答案为：2V5.

29.如图，正方形A8CO中，点E、尸分别在边BC、CO上，AE=AFtZE4F=30°,则

ZAEB=600；若△AE尸的面积等于1,则AB的值是_V5_.

【解答】解：:四边形ABC。是正方形,

・・・AB=A。，NBAO=NB=ND=90°.

在RtAABE和RtAADF中,

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(AB=AD

lAE=AFf

：.RtAABE^Rl/\ADF(HL).

：.ZBAE=ZDAF.

:.NBAE=1(NBAD-ZEAF)

=1(90°-30°)

=30。.

・・・NAEB=60°.

故答案为：60.

1

VSAAEF=・x4EXAFXsinZE4F=1,

1。

A-xAE?Xsin3O°-1.

2

即］XAE2X1=1.

：.AE=2.

在RtZXABE中，

VcosZBAE=器，

・・・A8=cos300XAE

=*X2

=A/3.

故答案为：A/3.

30.在矩形ABC。中，AB=9,4D=12,点E在边CD上,且CE=4,点P是直线BC上

的一个动点.若△APE是直角三角形，则社的长为与*或6.

【解答】解：若aAPE是直角三角形，有以下三种情况：

B

图1

第32页共56页

AZAED+^CEP=90Q,

•.•四边形4BCD是矩形，

AZC=ZD=90°,

，NCEP+NCPE=90。,

：./AED=NCPE,

：,AADESAECP,

*：BC=AD=\2t

531

・・・8P=12-*芋

②如图2,N%E=90°,

---------------------------\D

图2

VZDAE+ZBAE=ZBAE+ZBAP=90°,

:"DAE=4BAP,

•・・NO=NAB尸=90°,

・•・AADEs丛ABP,

③如图3,NAPE=90°,设则PC=12・x,

图3

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同理得：△ABPS/XPCE,

ABBP“9x

--=—,即-----=一,

PCCE12-X----4

AXI=X2=6,

：・BP=6,

3115

综上，8P的长是一或一或6.

34

故答案为：：或1或6.

31.正六边形的一个外角的度数为3°.

【解答】解：•・•正六边形的外角和是360。，

・•・正六边形的一个外角的度数为：360°+6=60°,

故答案为：60.

32.如图，在RtZXABC中，NBAC=90°,48=3,BC=5,点P为8C边上任意一点，连

接以，以外，PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ长度的最小值为

【解答】解：VZBAC=90°,48=3,BC=5,

：,AC=y/BC2-AB2=V52-32=4,

•・•四边形APCQ是平行四边形，

：.PO=QO,CO=AO=2t

〈PQ最短也就是P。最短,

，过O作8c的垂线OP',

VZACB=ZPrCO,ZCP'0=NC4B=90°,

:•△CABsXCP'O,

第34页共56页

cO0

--=P-/

BC1

4B

。

2止

-

5一3

6

O尸-

5

・•・则尸。的最小值为20P=y,

故答案为：装.

33.如图，矩形A8CZ）的对角线AC,B。相交于点0,DE//AC,CE//BD.若4C=10,则

四边形0CED的周长是20.

.••四边形0CED是平行四边形，

：.0C=DE,0D=CE,

•・•矩形的对角线AC,8。相交于点。，

：.OC=^AC=5,OD=\BD,BD=AC,

：,0C=0D=5,

：・OC=OD=CE=DE,

・