【名师伴你行】2021届高考文科数学二轮复习提能专训7-不等式与线性规划

提能专训(七)不等式与线性规划一、选择题1．(2022·淄博一中模拟)不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)答案：C解析：eq\f(x－1,2x＋1)≤0等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12x＋1≤0，,2x＋1≠0，))即－eq\f(1,2)＜x≤1，所以不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，故选C.2．(2022·宜春二模)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数xA．(－2,1)B．(0,2)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)答案：A解析：∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故选A.3．(2022·昆明第一次摸底)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y－1≥0，,x－2y＋2≥0，))则z＝x＋3y的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：满足题中所给约束条件的可行域如图：由图可知，z＝x＋3y经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))时z取最小，且zmin＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝2，故选B.4．(2022·辽宁三校联考)变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1，,x－y≥2，,3x＋y≤14，))若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是()A．{－3,0} B．{3，－1}C．{0,1} D．{－3,0,1}答案：B解析：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易知直线z＝ax＋y与x－y＝2或3x＋y＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a＝1或－a＝－3，∴a＝－1或a＝3.故选B.5．(2022·郑州质检二)设实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,y－x≤2，,y≥1，))则x2＋y2的取值范围是()A．[1,2] B．[1,4]C．[eq\r(2)，2] D．[2,4]答案：B命题意图：本题主要考查线性规划、两点间的距离公式等基础学问，意在考查考生的运算求解力量和数形结合力量．解析：如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．6．(2022·上海奉贤二模)下列命题正确的是()A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋eq\f(1,sin2x)≥4B．若a＜0，则a＋eq\f(4,a)≥－4C．若a＞0，b＞0，则lga＋lgb≥2eq\r(lga·lgb)D．若a＜0，b＜0，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2答案：D解析：当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错；若a＜0，则a＋eq\f(4,a)≤－4，B错；由于lga，lgb可以小于零，C错；由a＜0，b＜0，所以eq\f(b,a)，eq\f(a,b)都大于零，D正确．7．(2022·山东威海一模)函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)＞0的解集为()A．{x|x＞2或x＜－2} B．{x|－2＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|0＜x＜4}答案：C解析：∵f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b为偶函数，∴b－2a＝0，即b＝2a，∴f(x)＝ax2－4a.∴f′(x)＝2ax.又∵f(x)在(0，＋∞)单调递增，∴a＞0.由f(2－x)＞0，得a(x－2)∵a＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0.8．(2022·四川凉山二诊)设集合An＝{x|(x－1)(x－n2－4＋lnn)＜0}，当n取遍区间(1,3)内的一切实数，全部的集合An的并集是()A．(1,13－ln3) B．(1,6)C．(1，＋∞) D．(1,2)答案：A解析：∵n∈(1,3)，∴n2＋4－lnn＞1.∴An＝{x|(x－1)(x－n2－4＋lnn)＜0}＝{x|1＜x＜n2＋4－lnn}．令g(n)＝n2＋4－lnn，则g′(n)＝2n－eq\f(1,n)，当n∈(1,3)时，g′(n)＞0，∴g(n)为增函数，且g(n)∈(5,13－ln3)．∴A1∪A2∪…∪An＝(1,13－ln3)．9．(2022·北京房山期末统考)设a＞0，b＞0.若eq\r(3)是3a与32b的等比中项，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8B．4C．1D.eq\f(1,4)答案：A解析：由题意可知，3＝3a32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.由于a＞0，b＞0，所以eq\f(2,a )＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝eq\f(a,b)＋eq\f(4b,a)＋4≥2eq\r(\f(a,b)·\f(4b,a))＋4＝8，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(4b,a)，即a＝2b＝eq\f(1,2)时取“＝”．10．(2022·安徽合肥二检)在平面直角坐标系中，点P是由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≥1))所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))|的最小值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(2),2)D．1答案：A解析：在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得eq\o(Q′O,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，则|eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))|＝|eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(Q′O,\s\up6(→))|＝|eq\o(Q′P,\s\up6(→))|≥|eq\o(P′P,\s\up6(→))|≥|eq\o(BA,\s\up6(→))|，其中P′，B分别为点P，点A在直线2x＋y＝0上的投影，如图：由于|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(|0＋1|,\r(12＋22))＝eq\f(\r(5),5)，因此|eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))|min＝eq\f(\r(5),5)，故选A.11．已知a>0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3，))若z＝2x＋y的最小值为eq\f(3,2)，则a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案：A解析：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3))所表示的可行域如下图中阴影部分，联立x＝1与y＝a(x－3)得点A(1，－2a)，作直线l：z＝2x＋y，则z为直线l在y轴上的截距，当直线l经过可行域上的点A(1，－2a)时，直线l在y轴上的截距最小，此时，z取最小值，即zmin＝2×1＋(－2a)＝2－2a＝eq\f(3,2)，解得a＝eq\f(1,4)，故选A.12．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值是()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案：B解析：约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m))确定的区域如图中阴影部分，即△ABC的边与其内部区域，分析可得函数y＝2x与边界直线x＋y＝3交与点(1,2)．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件，即y＝2x图象上存在点在阴影部分内部，则必有m≤1，即实数m的最大值为1，故选B.13．设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O到直线的距离为eq\r(3)，则△AOB的面积S的最小值为()A.eq\f(1,2)B．2C．3D．4答案：C解析：由题意知，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,n)))，O到直线的距离d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))＝eq\r(3)，即m2＋n2＝eq\f(1,3).由于eq\f(1,3)＝m2＋n2≥2mn，所以mn≤eq\f(1,6)，eq\f(1,mn)≥6当且仅当m＝n＝eq\f(\r(6),6)时取等号，此时△AOB的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(1,m)×eq\f(1,n)≥eq\f(1,2)×6＝3，所以△AOB面积的最小值为3，故选C.14．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝3，PB＝2，PC＝1，设M是底面△ABC内一点，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是三棱锥M－PAB，三棱锥M－PBC，三棱锥M－PCA的体积，若f(M)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，x，y))，且eq\f(1,x)＋eq\f(a,y)≥8，则正实数a的最小值为()A．1 B．2C．2eq\r(2) D．4答案：A解析：依题意，eq\f(1,2)＋x＋y＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2×1＝1，即x＋y＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(a,y)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))(x＋y)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋a＋\f(y,x)＋\f(ax,y)))≥2(1＋a＋2eq\r(a))＝2(eq\r(a)＋1)2，由题设2(eq\r(a)＋1)2≥8，解得a≥1，故正实数a的最小值为1.二、填空题15．(2022·济南模拟)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤3x－2，,x－2y＋1≤0，,2x＋y≤8，))则eq\f(y,x)的最大值是________．答案：2命题意图：本题主要考查二元一次不等式组的解集和斜率公式，考查线性规划学问．解析：二元一次不等式组表示的区域如图阴影部分所示，eq\f(y,x)表示阴影部分内一点与原点连线的斜率，在点A，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝8，,y＝3x－2))的交点(2,4)处，eq\f(y,x)取最大值2.16．(2022·沈阳质量检测)定义运算：xy＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xxy≥0，,yxy＜0，))例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．答案：4解析：依题意知，当x2(2x－x2)≥0，即0≤x≤2时，f(x)＝x2的最大值是22＝4；当x2(2x－x2)＜0，即x＜0或x＞2时，f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1＜0.因此，函数f(x)的最大值是4.17．(2022·皖南八校联考)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(2)，,y≤2，,x≤\r(2)y，))则z＝eq\f(2x＋y－1,x－1)的取值范围是________．答案：(－∞，1]∪[2eq\r(2)＋4，＋∞)解析：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝eq\f(2x＋y－1,x－1)＝2＋eq\f(y＋1,x－1)的取值范围转化为点(x，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为(eq\r(2)，1)，则点(1，－1)与(eq\r(2)，1)所在直线的斜率为2eq\r(2)＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z的取值范围为(－∞，－1]∪[2eq\r(2)＋4，＋∞)．18．(2022·云南第一次检测)已知a＞0，b＞0，方程为x2＋y2－4x＋2y＝0的曲线关于直线ax－by－1＝0对称，则eq\f(3a＋2b,ab)的最小值为________．答案：7＋4eq\r(3)解析：该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，由题意得，直线ax－by－1＝0经过圆心，则2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1，所以eq\f(3a＋2b,ab)＝eq\f(3,b)＋eq\f(2,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,b)＋\f(2,a)))(2a＋b)＝eq\f(6a,b)＋eq\f(2b,a)＋7≥2eq\r(\f(6a,b)·\f(2b,a))＋7＝7＋4eq\r(3)(当且仅当a＝2－eq\r(3)，b＝2eq\r(3)－3时等号成立)．19．(2022·江苏南通期末)给出以下三个关于x的不等式：①x2－4x＋3＜0；②eq\f(3,x＋1)＞1；③2x2＋m2x＋m＜0.若③的解集非空，且满足③的x至少满足①和②中的一个，则m的取值范围是________．答案：[－1,0)解析：由①解得x∈(1,3)，由②解得x∈(－1,2)，则①和②的并集为(－1,3)，依据题意，可得③的解集是(－1,3)的子集，令f(x)＝2x2＋m2x＋m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜－\f(m2,4)＜3，,Δ＞0，,f－1≥0，,f3≥0，))解得m∈[－1,0)．20．(2022·北京顺义一模)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋4≥0，,4x－y－4≤0，,x≥0，,y≥0，))若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为8，则ab的最大值为________．答案：2解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，由已知，得－eq\f(a,b)＜0，且纵截距最大时，z取到最大值，故当直线l过点B(2,4)时，目标函数取到最大值，即2a＋4b＝8，因a＞0，b＞0，由基本不等式，得2a＋4b＝8≥4eq\r(2ab)，即ab≤2(当且仅当2a＝4b＝4，即a＝2，b＝1时取“＝”)，故ab的最大值为2.21．已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))解析：由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，得ab＋c＝abc，则c＝eq\f(ab,ab－1)＝eq\f(1,1－\f(1,ab))>1，又a＋b＝ab≥2eq\r(ab)，ab≥4，得eq\f(1,ab)≤eq\f(1,4)，∴1－eq\f(1,ab)≥eq\f(3,4)，∴c≤eq\f(4,3)，故c∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))).22．设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)取得最小值．答案：－2解析：∵a＋b＝2且b>0，∴b＝2－a>0，∴a<2.当0<a<2时，则有|a|＝a，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝eq\f(1,2a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(1,2a)＋eq\f(2－b,b)＝eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)－1，另一方面，2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)＋2＝eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)＋eq\f(5,2)≥2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＋eq\f(5,2)＝eq\f(9,2)，∴eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)≥eq\f(9,4)，∴eq\f(1,2a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(1,2a)＋eq\f(2,b)－1≥eq\f(9,4)－1＝eq\f(5,4)，当且仅当eq\f(b,2a)＝eq\f(2a,b)，即b＝2a且a＋b＝2时，即当3a＝2时，eq\f(1,2a)＋eq\f(a,b)取得最小值eq\f(5,4)，此时a＝eq\f(2,3)，当a<0时，则有|a|＝－a，eq\f(1,2|a|)＋eq\f(|a|,b)＝－eq\f(1,2a)－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2a)－eq\f(2－b,b)＝－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)＋1，另一方面2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)－\f(2,b)))＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)－\f(2,b)))＝－eq\f(1,2)－eq\f(2a,b)－eq\f(b,2a)－2＝－eq\f(2a,b)－eq\f(b,2a)－eq\f(5,2)≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2a,b)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a))))－eq\f(5,2)＝2－eq\f(5,2)＝－eq\f(1,2)，当且仅当－eq\f(b,2a)＝－eq\f(2a,b)时，由于a<0，b>0，即当b＝－2a时，由于a＋b＝2，解得a＝－2，b＝4，上式取等号，∴－eq\f(1,2a)－eq\f(2,b)＋1≥－eq\f(1,2)＋