《优化探究》2022届高三数学人教A版理科一轮复习提素能高效训练-第7章-立体几何-7-6

A组考点基础演练一、选择题1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中点为M，则|CM|等于()A.eq\f(\r(53),4)B.eq\f(53,2)C.eq\f(\r(53),2) D.eq\f(\r(13),2)解析：设M(x，y，z)，则x＝eq\f(3＋1,2)＝2，y＝eq\f(3＋0,2)＝eq\f(3,2)，z＝eq\f(1＋5,2)＝3，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))，|CM|＝eq\r(2－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋3－02)＝eq\f(\r(53),2).故选C.答案：C2．(2021年茂名调研)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.eq\f(62,7) B.eq\f(63,7)C.eq\f(60,7) D.eq\f(65,7)解析：由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7＝2t－μ，,5＝－t＋4μ，,λ＝3t－2μ.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(33,7)，,μ＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))答案：D3.如图所示，已知平行六面体OABC­O1A1B1C1，点G是上底面O1A1B1C1的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OO1,\s\up6(→))＝c，则用a，b，c表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))为()A.eq\f(1,2)(a＋b＋2c) B.eq\f(1,2)(2a＋b＋c)C.eq\f(1,2)(a＋2b＋c) D.eq\f(1,2)(a＋b＋c)解析：eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\o(O1G,\s\up6(→))＝eq\o(OO1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，故选A.答案：A4．(2021年东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，则λ的值为()A．±eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(6),6)C．－eq\f(\r(6),6) D．±eq\r(6)解析：eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，cos120°＝eq\f(λ＋λ,\r(1＋2λ2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，得λ＝±eq\f(\r(6),6).经检验λ＝eq\f(\r(6),6)不合题意，舍去，∴λ＝－eq\f(\r(6),6).答案：C5．设OABC是四周体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))解析：如图所示，取BC的中点E，连接AE.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG1,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．答案：A二、填空题6．(2021年南昌模拟)已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，用eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))＝________.解析：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)．答案：eq\f(1,2)(b＋c－a)7．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a与2b－a相互垂直，则a与b的夹角为________．解析：由于a与2b－a相互垂直，则a·(2b－a)＝0，即2a·b－|a|2＝0，所以2|a||b|cosa，b－|0|2＝0，则4eq\r(2)cosa，b－4＝0，则cosa，b＝eq\f(\r(2),2)，所以a与b的夹角为45°.答案：45°8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________．解析：设eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，则eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))2－eq\f(2,3).∴当λ＝eq\f(4,3)时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值为－eq\f(2,3).此时，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))，即Q点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))三、解答题9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．设E是棱DD1上的点，且eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))，试用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(EO,\s\up6(→)).解析：eq\o(EO,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→)).10.如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．B组高考题型专练1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则kA．－1 B.eq\f(4,3)C.eq\f(5,3) D.eq\f(7,5)解析：由于(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2－b2＋(2－k)a·b＝0，即4k－5＋(2－k)×(－1)＝0，解得k＝eq\f(7,5).故选D.答案：D2.如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|＝|OC|，且∠AOB＝∠AOC，则eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(CB,\s\up6(→))夹角θ的余弦值为()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)解析：设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.由已知条件∠AOB＝∠AOC，且|b|＝|c|，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|cos∠AOC－|a||b|cos∠AOB＝0，得cosθ＝0.答案：A3．(2021年西安联考)已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq\r(29)且λ>0，则λ＝________.解析：λa＋b＝(4，－λ＋1，λ)，所以|λa＋b|＝eq\r(16＋－λ＋12＋λ2)＝eq\r(2λ2－2λ＋17)＝eq\r(29)，化简整理得λ2－λ－6＝0，解得λ＝－2或λ＝3，又λ>0，所以λ＝3.答案：34．(2021年深圳联考