【全程复习方略】2020年数学文(广西用)课时作业：第九章-第四节空间的角

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十六)一、选择题1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1D与BC1所成的角为QUOTE,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE2.(2021·宁波模拟)已知正四周体A-BCD,设异面直线AB与CD所成的角为α,侧棱AB与底面BCD所成的角为β,侧面ABC与底面BCD所成的角为γ,则()(A)α>β>γ (B)α>γ>β(C)β>α>γ (D)γ>β>α3.平面α的斜线与α所成的角为30°,则此斜线和α内全部不过斜足的直线所成的角的最大值为()(A)30° (B)60° (C)90° (D)150°4.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则BD与平面ABC所成角的正切值为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)1 (D)QUOTE5.如图,ABCD-A1B1C1D1是正方体,E,F分别是AD,DD1的中点,则平面EFC1B和平面BCC1(A)2QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE6.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成角的余弦值为()(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE二、填空题7.(2021·南宁模拟)已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,AC=BD=1,CD=2,异面直线AB与CD所成角的余弦值等于.8.(2021·西安模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB19.(力气挑战题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等,则直线AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值等于三、解答题10.(2021·宜春模拟)△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.P在平面ABC的射影为AB的中点D.(1)求证:AB与PC不垂直.(2)当∠APC=60°时,①求三棱锥P-ABC的体积;②求二面角P-AC-B的正切值.11.(2021·贵州模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD=QUOTEAB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.12.(力气挑战题)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E,F,G分别是PA,PB,BC的中点.(1)求证:EF⊥平面PAD.(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小.(3)若M为线段AB上靠近A的一个动点,问当AM长度等于多少时,直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于QUOTE?答案解析1.【解析】选B.连结B1C,有B1C∥A∵A1D与BC1所成的角为QUOTE,∴B1C⊥BC1,∴长方体ABCD-A1B1C1D1为正方体.取B1D1的中点M,连结C1M,BM,∴C1M⊥平面BB1D1D,∴∠C1BM为BC1与平面BB1D1D所成的角.∵AB=BC=2,∴C1M=QUOTE,BC1=2QUOTE,∴sinC1BM=QUOTE=QUOTE.2.【解析】选B.如图,取底面BCD的中心为点O,连结AO,BO,易知∠ABO=β,取BC的中点E,连结AE,OE,易知∠AEO=γ,易知0<β<γ<QUOTE,延长BO交CD于F,则BF⊥CD,又AO⊥CD,∴CD⊥平面ABF,∴CD⊥AB,即α=QUOTE,∴α>γ>β.3.【解析】选C.因斜线和α内全部不过斜足的直线为异面直线,故最大角为90°.【方法技巧】求与角有关的取值范围问题解题策略一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题;二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊状况求得最值或范围.4.【解析】选B.设等腰直角△ABC的直角边长为1.如图,在平面ADC中,过D作DE⊥AC,交AC于点E.连结BE,由于二面角B-AD-C为直二面角,所以BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,又DE∩BD=D,因此AC⊥平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC,故∠DBE就是BD与平面ABC所成角,在Rt△DBE中,易求tanDBE=QUOTE,故选B.5.【思路点拨】为了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一个面内取一点,过该点向另一个面引垂线.(这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤)从图形特点看,可过E作平面BCC1的垂线.【解析】选A.过E作EH⊥BC,垂足为H.过H作HG⊥BC1,垂足为G.连结EG.∵平面ABCD⊥平面BCC1,而EH⊥BC,∴EH⊥平面BCC1,EG是平面BCC1的斜线,HG是斜线EG在平面BCC1内的射影.∵HG⊥BC1,∴EG⊥BC1,∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角.设正方体棱长为1,在Rt△BCC1中,sinC1BC=QUOTE=QUOTE,在Rt△BHG中,sinC1BC=QUOTE,∴HG=QUOTE×QUOTE=QUOTE.而EH=1,在Rt△EHG中,tanEGH=QUOTE=2QUOTE故二面角E-BC1-C的正切值等于2QUOTE.6.【解析】选C.连结AC,BD交于O,连结EO,则EO∥SD,∴∠AEO为异面直线SD与AE所成角.设AB=a,则EO=QUOTE,AO=QUOTEa,AE=QUOTEa,∴cosAEO=QUOTE.7.【解析】由题知|QUOTE|2=(QUOTE+QUOTE+QUOTE)2=|QUOTE|2+|QUOTE|2+|QUOTE|2=6,QUOTE·QUOTE=QUOTE·(QUOTE+QUOTE+QUOTE)=QUOTE·QUOTE,即|QUOTE|·|QUOTE|cos<QUOTE,QUOTE>=|QUOTE|2,得cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE,异面直线AB与CD所成角的余弦值为QUOTE.答案:QUOTE8.【解析】如图,取BC中点E,连结DE,AE,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1,则AE=QUOTE,DE=QUOTE,tanADE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴∠ADE=60°.答案:60°9.【思路点拨】先作出AC1与平面ABB1A1【解析】取A1B1的中点D,连结C1D,AD.∵ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴平面A1B1C1⊥平面ABB1A1.又△A1B1C1为正三角形,∴C1D⊥A1B1,∴C1D⊥平面ABB1A1,故∠C1AD为直线AC1与平面ABB1A1所成的角.设侧棱与底面边长均为a,则AC1=QUOTEa,DC1=QUOTEa,∴sinC1AD=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【变式备选】已知正三棱锥S-ABC的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE与平面SBC所成的角的余弦值为.【解析】过A作AO垂直于平面SBC于O,由于S-ABC为正三棱锥,且侧棱长与底面边长相等,∴O为正△SBC的中心,连结CO并延长交BS于E点,∴∠AEO即为AE与平面SBC所成的角.设三棱锥棱长为a,∴cosAEO=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.【解析】(1)连结CD,若AB⊥PC,则AB⊥CD,CD是线段AB的垂直平分线,则AC=BC,这与AC≠BC冲突.故AB与PC不垂直.(2)①由勾股定理,∠ACB是直角,D是斜边AB的中点,∴CD=AD,PA=PC,△PAC为正三角形,PC=AC=3,CD=QUOTE,PD=QUOTE,VP-ABC=QUOTE×QUOTE×4×3×QUOTE=QUOTE.②取AC的中点E,连结PE,DE,则∠PED就是所求二面角的平面角,由于DE=2,故所求角的正切值为QUOTE.【变式备选】(2021·重庆模拟)如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,P为BC边的中点,SB与平面ABCD所成的角为45°,且AD=2,SA=1.(1)求证:PD⊥平面SAP.(2)求二面角A-SD-P的大小.【解析】(1)∵SA⊥底面ABCD,∴∠SBA是SB与平面ABCD所成的角,∴∠SBA=45°,∴AB=SA=1,易求得,AP=PD=QUOTE.又∵AD=2,∴AD2=AP2+PD2,∴AP⊥PD.∵SA⊥底面ABCD,PD⊂平面ABCD,∴SA⊥PD.∵SA∩AP=A,∴PD⊥平面SAP.(2)设Q为AD的中点,连结PQ,由于SA⊥底面ABCD,且SA⊂平面SAD,则平面SAD⊥平面PAD.∵PQ⊥AD,∴PQ⊥平面SAD.过Q作QR⊥SD,垂足为R,连结PR,由三垂线定理可知PR⊥SD,∴∠PRQ是二面角A-SD-P的平面角.简洁证明△DRQ∽△DAS,则QUOTE=QUOTE.∵DQ=1,SA=1,SD=QUOTE,QR=QUOTE·SA=QUOTE.在Rt△PRQ中,∵PQ=AB=1,∴tanPRQ=QUOTE=QUOTE.∴二面角A-SD-P的大小为arctanQUOTE.11.【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,∴平面AEC⊥平面PDB.(2)设AC∩BD=O,连结OE,由(1)知AC⊥平面PDB于O,∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,∴O,E分别为DB,PB的中点,∴OE∥PD,OE=QUOTEPD.又∵PD⊥底面ABCD,∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO.在Rt△AOE中,OE=QUOTEPD=QUOTEAB=AO,∴∠AOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.12.【解析】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD.∵E,F分别是PA,PB的中点,∴EF∥AB,∴EF⊥平面PAD.(2)过G作GH∥AB交AD于H,连结EH,则EH∥PD.∵EF∥AB,AB∥HG,∴EF∥HG,HG是所成二面角的棱.∵HG∥EF,∴HG⊥平面PAD,∴DH⊥HG,EH⊥HG,∴∠EHA是锐二面角的平面角,等于60°.(3)过M作MK⊥平面EFG于K,连结KF,则∠KFM即为MF与平面EFG所