【名师一号】2022届高三数学一轮总复习基础练习：第七章-立体几何7-1-

第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图时间：45分钟分值：100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1．(2022·陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4π B．3πC．2π D．π解析依题意，知所得几何体是一个圆柱，且其底面半径为1，母线长也为1，因此其侧面积为2π×1×1＝2π，故选C.答案C2．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析观看三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A—BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形，故选D.答案D3．已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线．故选C.答案C4．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1A．4 B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D.eq\r(3)解析依题意得，该几何体的侧视图是边长分别为2和eq\r(3)的矩形，因此其侧视图的面积为2eq\r(3)，选B.答案B5．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D形成三棱锥B—ACD，则其侧视图的面积为()A.eq\f(12,5) B.eq\f(12,25)C.eq\f(72,25) D.eq\f(144,25)解析由题意知正视图的高为eq\f(12,5)，即为侧视图的高，俯视图的高为eq\f(12,5)，即为侧视图的底面边长，结合侧视图可知侧视图的面积是S＝eq\f(1,2)×eq\f(12,5)×eq\f(12,5)＝eq\f(72,25).答案C6．(2022·四川卷)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高)()A．3 B．2C.eq\r(3) D．1解析由俯视图知该三棱锥的底面积S底＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，由侧视图知该三棱锥的高h＝eq\r(3).所以V三棱锥＝eq\f(1,3)S底×h＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1，故选D.答案D二、填空题7．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为______，面积为______cm2.解析由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是一个长为4cm，宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.答案矩形88．用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．解析由题意可知卷成的圆锥的母线长为r，设卷成的圆锥的底面半径为r′，则2πr′＝πr，所以r′＝eq\f(1,2)r，所以圆锥的高h＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)r))2)＝eq\f(\r(3),2)r.答案eq\f(\r(3),2)r9．(2022·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．解析由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC.故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).答案2eq\r(2)三、解答题10．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．解这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．依据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为eq\r(3)，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)π×22＋eq\f(1,2)π×(1＋2)×2＋eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝eq\f(11π,2)＋3eq\r(3).11．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示．由于eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)x.所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2(0<x<H)．(2)由于－eq\f(2πR,H)<0，所以当x＝eq\f(2πR,\f(4πR,H))＝eq\f(H,2)时，S圆柱侧最大．故当x＝eq\f(H,2)，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1．一个几何体的三视图外形都相同、大小均相等，那么这个几何体不行以是()A．球 B．三棱锥C．正方体 D．圆柱解析球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且外形相同、大小相等；三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图可以为外形相同、大小相等的正方形；圆柱的正视图、侧视图均为矩形，俯视图为圆．答案D2．如图所示，E，F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADDA1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．解析由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1答案②③3．(2022·皖北协作区联考)空间中任意放置的棱长为2的正四周体ABCD.下列命题正确的是________．(写出全部正确的命题的编号)①正四周体ABCD的正视图面积可能是eq\r(2)；②正四周体ABCD的正视图面积可能是eq\f(2\r(6),3)；③正四周体ABCD的正视图面积可能是eq\r(3)；④正四周体ABCD的正视图面积可能是2；⑤正四周体ABCD的正视图面积可能是4.解析对于四周体ABCD，如图：当光线垂直于底面BCD时，正视图为△BCD，其面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，③正确；当光线平行于底面BCD，沿CO方向时，正视图为以BD为底，正四周体的高AO为高的三角形，则其面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(2\r(6),3)，②正确；当光线平行于底面BCD，沿CD方向时，正视图为图中△ABE，则其面积为eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)×eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(\r(3),3)))2)＝eq\r(2)，①正确；将四周体放入正方体中，如上右图，光线垂直于正方体正对我们的面时，正视图是正方形，其面积为eq\r(2)×eq\r(2)＝2，并且此时正视图面积最大，故④正确，⑤不正确．答案①②③④4．(2021·广东中山阶段考试)如图，在三棱柱P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示．(1)证明：AD⊥平面PBC；(2)在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．解(1)证明：由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，而AD⊂平面PAC，所以BC⊥AD.由三视图得，在△PAC中，PA＝AC＝4，D为PC中点，所以AD⊥PC，又BC⊥AD，所以AD⊥平面P