2025年人教版八年级数学寒假预习 第09讲 三角形的中位线（1个知识点+4大考点举一反三+过关测试）

第09讲三角形的中位线模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测1.探索并证明三角形中位线定理；

2.利用中位线的性质计算。

知识点：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。考点一：与三角形中位线有关的求解问题例1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE，若OE=2cm，则AD的长为（

）A．2cm B．4cm C．8cm【变式1-1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，DE是△ABC的中位线，若BC=10，则DE的长是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【变式1-2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形ABCD，已知对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD=6，点E，F，G，H分别依次为四边形的边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为（

）A．24 B．12 C．62 【变式1-3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF=4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为．考点二：三角形中位线与三角形面积问题例2.（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，且S△ABC=10，则△ADCA．4 B．5 C．6 D．8【变式2-1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，E是AC的中点，D在AB上且AD=2BD，连接BE，CD相交于点F，则S△BCFS

【变式2-2】（2023·吉林长春·一模）如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．若BA′：A′C＝2：1，且△DBA′的面积为4，则△ABC的面积为．【变式2-3】（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知△ABC的面积为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，⋯，依此类推，第2013个三角形的面积为（

）A．12011 B．12012 C．14考点三：与三角形中位线有关的证明

例3.（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图1，如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE．（不需证明）．(1)如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；(2)如图3，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，点E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．【变式3-1】（23-24八年级下·山东滨州·期中）（1）如图①，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）如图②，在四边形ABCD中，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：MN与EF互相平分．【变式3-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=BD，点M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，连接MN，交BD于点E，交AC于点F，Q是MN的中点，连接PQ．

(1)求证：PQ⊥MN；(2)判断△OEF的形状，并说明理由．【变式3-3】（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=1(2)如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，并说明理由．考点四：三角形中位线的实际应用例4.（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】任务如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．

测量工具皮尺

皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）；测角仪

测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小．

小明的测量及求解过程测量过程（1）如图2，水池外选点C，用皮尺测得AC=am,（2）分别在AC，BC上用皮尺测得CM=a

求解过程由测量可知：∵AC=am,BC=bm∴点M是AC的中点，点N是BC的中点，∴MN是△ABC的______∵MN=cm∴AB=______m．(1)把小明的求解过程补充完整；(2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是；(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．

【变式4-1】（23-24八年级下·青海海东·期末）如图，小康想测量池塘两端A、B的距离，他采用了如下方法：在AB的一侧选择一点C，连接AC、BC，再分别找出AC、BC的中点D、E，连接DE，现测得DE=46米，则A、B之间的距离为米．【变式4-2】（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD=3cm【变式4-3】（23-24八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点．求证：________________．证明：过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．（3）实践应用如图3，点B和点C被池塘隔开，在BC外选一点A，连接AB,AC，分别取AB,AC的中点D,E，测得DE的长度为9米，则B,C两点间的距离为________________．

一、单选题1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF=35cm，则点B距离地面的高度为（

A．80cm B．70cm C．60cm 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE=15m，那么A，BA．20m B．24m C．30m4．（23-24八年级下·福建南平·单元测试）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=8，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE=4DF，若∠AFC=90°，则AC的长度是（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形BEFD的周长为（

）A．14 B．12 C．10 D．86．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）如图，在▱ABCD中，AD=6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（

）A．4 B．3 C．2 D．不确定7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，若CD=2EF=4，BC=42，则∠C等于（

A．30° B．45° C．60° D．75°8．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2A．12 B．1 C．329．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（

）A．11 B．10 C．9 D．810．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，△ABC中，∠BAD=∠CAD，BE=CE，AD⊥BD，DE=32，AB=4，则AC的长为（

A．6 B．32 C．7 11．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（

A．3 B．23 C．4 二、填空题12．（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则▱ABCD的周长为．13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=20cm，△OAB14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，△ABC的周长为16，连接△ABC三边中点构成第一个△A1B1C1，再连接△A

第09讲三角形的中位线模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理（吃透教材）

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测1.探索并证明三角形中位线定理；

2.利用中位线的性质计算。

知识点：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。考点一：与三角形中位线有关的求解问题例1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE，若OE=2cm，则AD的长为（

）A．2cm B．4cm C．8cm【答案】B【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键；根据题意可得O是BD的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解．【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，所以对角线AC、BD互相平分，即O是BD的中点，又E是AB的中点，所以OE是△ABD中位线，所以OE∥所以AD=2OE=4cm故选：B．【变式1-1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，DE是△ABC的中位线，若BC=10，则DE的长是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知DE是△ABC的中位线，BC=10，根据中位线定理即可求得DE的长．【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=10，∴DE=1故选：B．【变式1-2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形ABCD，已知对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD=6，点E，F，G，H分别依次为四边形的边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长为（

）A．24 B．12 C．62 【答案】B【分析】本题考查了三角形中位线的性质，在△ABC中，根据点E，F为中点可得EF=12AC【详解】解：根据题意，在△ABC中，点E，F为AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=1同理，在△ADC中，GH∥AC，GH=1在△ABD中，EH∥BD，EH=1在△BCD中，FG∥BD，FG=1∵四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+EH=1∵AC=BD=6，∴四边形EFGH的周长为6+6=12，故选：B．【变式1-3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF=4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为．【答案】3【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到AD=DC，根据三角形中位线定理计算得到答案．【详解】解：∵BC=10,BF=4，∴FC=BC−BF=10−4=6，∵AB=BC,BD平分∴AD=DC，∵E为AF的中点，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=1故答案为：3．考点二：三角形中位线与三角形面积问题例2.（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，且S△ABC=10，则△ADCA．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】延长BD交AC于E，利用“ASA”证明△ABD≌△AED得到BD=DE，S△ABD=S【详解】解：延长BD交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADE=90°，在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∴△ABD≌△AEDASA∴BD=DE，S△ABD∴S△CBD=S∴S△ADC故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，添加辅助线构造全等三角形求图形的面积是解答的关键．【变式2-1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在△ABC中，E是AC的中点，D在AB上且AD=2BD，连接BE，CD相交于点F，则S△BCFS

【答案】35【分析】取CD中点G可证得△BDF≌△EGF，进一步推出CF=3DF，【详解】解：取CD中点G，则EG是△ACD中位线，∴EG=1∵AD=2BD，∴BD=∵∠DFB=∠EFG,∠BDF=∠EGF∴△BDF≌△EGF，∴DF=FG=设SΔBDF=1，则S∴SΔ故答案为35

【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键．【变式2-2】（2023·吉林长春·一模）如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．若BA′：A′C＝2：1，且△DBA′的面积为4，则△ABC的面积为．【答案】12【分析】连结AA′，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．可得DE∥BC，且DE=12BC，AA′⊥DE，根据BA′：A′C＝2：1，可得S△BDA′：S△EA′C=BA':A'C=2:1，由SΔDBA'=4，S△EA′C=12SΔDBA'=2，由S△BDA′+S△EA′C=6=12BC⋅A'F，而S△ADE=S△A′DE【详解】解：连结AA′，∵将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．∴DE∥BC，且DE=12BC，AA′⊥∴S△BDA′=12BA'⋅A'∵BA′：A′C＝2：1，∴S△BDA′：S△EA′C=12BA'⋅∵SΔDB∴S△EA′C=12∵S△BDA′+S△EA′C=12BA'⋅A'而S△ADE=S△A′DE=12∴S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC=4+3+2+3=12．故答案为：12．【点睛】本题考查三角形面积，折叠性质，中位线性质，掌握三角形面积求法，折叠性质，中位线性质，利用等高三角形面积比等于底的比来运算是解题关键．【变式2-3】（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知△ABC的面积为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，⋯，依此类推，第2013个三角形的面积为（

）A．12011 B．12012 C．14【答案】D【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积=14S【详解】解：如图：过点A作AG⊥DE于G，交BC于H，则AG=GH，∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，∴DE=12BC，DF=12∵S△ABC=∴S同理：第三个三角形的面积==1第四个三角形的面积=14第三个三角形面积……，∴第2013个三角形的面积为14故选：D．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键．考点三：与三角形中位线有关的证明

例3.（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图1，如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME=∠CNE．（不需证明）．(1)如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；(2)如图3，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，点E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．【答案】(1)△OMN为等腰三角形；(2)△AGD是直角三角形，证明见解析【分析】（1）取BD的中点H，连接HE、HF，证明HF、HE分别是△ABD、△BCD的中位线，得到HF∥AB，HE∥CD，HF=12AB，HE=（2）连接BD，取BD的中点H，连接HF，【详解】（1）解：△OMN是等腰三角形；证明如下：如图，取BD的中点H，连接HE、HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴HF、HE分别是△ABD、△BCD的中位线，∴HF∥AB，HE∥CD，∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠HFE=∠HEF，∵HF∥AB，∴∠HFE=∠ONM，∴∠ONM=∠OMN，∴OM=ON，∴△OMN是等腰三角形；（2）解：△AGD为直角三角形，证明如下：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HF，

∵F是AD的中点，∴HF∥AB，∴∠1=∠3，同理，HE∥CD，∴∠2=∠EFC，∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠1=∠2，∴∠3=∠EFC=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=1∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形．【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰三角形和直角三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键．【变式3-1】（23-24八年级下·山东滨州·期中）（1）如图①，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）如图②，在四边形ABCD中，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：MN与EF互相平分．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．（1）连接AC，根据“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”可得EF∥AC，EF=12AC，GH∥AC（2）连接ME、EN、NF、MF，结合三角形中位线的性质可证明四边形MENF是平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论．【详解】证明：（1）连接AC，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF为△ABC的中位线,，∴EF∥AC，同理可得，∴GH为△ADC的中位线，∴GH∥AC，∴GH∥EF且∴四边形EFGH是平行四边形；（2）如下图，连接ME、EN、NF、MF，

∵M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，∴ME∥AB且ME=12AB∴ME∥NF且∴四边形MENF是平行四边形，∴MN与EF互相平分．【变式3-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=BD，点M、P、N分别是边AB、BC、CD的中点，连接MN，交BD于点E，交AC于点F，Q是MN的中点，连接PQ．

(1)求证：PQ⊥MN；(2)判断△OEF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△OEF是等腰三角形．理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理：（1）根据三角形中位线定理得到PM=PN，则由三线合一定理可得PQ⊥MN；（2）根据三角形中位线定理得到PM∥AC，PN∥BD，则∠PMN=∠OFE，∠OEF=∠PNM．再由PM=PN，得到∠PMN=∠PNM，则∠OFE=∠OEF．即可得到OE=OF，即【详解】（1）证明：连接PM，∵点M，P分别是边AB，∴PM为△ABC的中位线，∴PM=1同理可知PN=1又∵AC=BD，∴PM=PN．∵Q是MN的中点，∴PQ⊥MN．

（2）解：△OEF是等腰三角形．理由如下：∵点M，P分别是边AB，∴PM为△ABC的中位线，∴PM∥AC，同理可得PN∥∴∠PMN=∠OFE，∠OEF=∠PNM．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∴∠OFE=∠OEF．∴OE=OF，即△OEF是等腰三角形．【变式3-3】（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=1(2)如图2，探究线段AB、AC、EF之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)EF=1【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质．（1）先根据AE⊥BP,得∠ABD=∠ADB,再根据角平分线的定义得出∠BAE=∠DAE,进而得出∠ABE=∠ADE,所以AB=AD,根据等腰三角形的三线合一,推出BE=ED，根据三角形的中位线定理即可解决问题.（2）延长AC交BE的延长线于P，根据角平分线得到∠BAE=∠PAE得出∠ABE=∠APE,根据两角和为90°,证明AB=AP，根据等腰三角形的“三线合一”，推出BE=PE，根据三角形的中位线定理即可解决问题.【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE，又∵BE⊥AE于点E，∴∠BEA=∠DEA=90°，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴E是BD的中点，又∵点F是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=1（2）EF=证明如下：如图2中，延长AC交BE的延长线于P.∵AE⊥BP,∴∠AEP=∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠PAE,∴∠ABE=∠APE,∴AB=AP,∵AE⊥BP,∴BE=PE,∵F是BC的中点,∴EF是△BCP中位线∴EF=1考点四：三角形中位线的实际应用例4.（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】任务如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．

测量工具皮尺

皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）；测角仪

测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小．

小明的测量及求解过程测量过程（1）如图2，水池外选点C，用皮尺测得AC=am,（2）分别在AC，BC上用皮尺测得CM=a

求解过程由测量可知：∵AC=am,BC=bm∴点M是AC的中点，点N是BC的中点，∴MN是△ABC的______∵MN=cm∴AB=______m．(1)把小明的求解过程补充完整；(2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是；(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．

【答案】(1)见解析(2)三角形的中位线等于第三边的一半(3)示意图见解析，AB=【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征．（1）根据三角形中位线的性质即可解答；（2）三角形的中位线等于第三边的一半；（3）用测角仪在点A处测出∠BAP=90°，在射线AP上找一点G，用测角仪测出∠AGB=30°，然后用皮尺测量出BG=cm【详解】（1）解：∵AC=am,BC=bm∴点M是AC的中点，点N是BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∵MN=cm∴AB=2cm（2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离，依据是：三角形的中位线等于第三边的一半；（3）解：如图，

∵∠BAP=90°,∠AGB=30°,BG=cm，∴AB=1【变式4-1】（23-24八年级下·青海海东·期末）如图，小康想测量池塘两端A、B的距离，他采用了如下方法：在AB的一侧选择一点C，连接AC、BC，再分别找出AC、BC的中点D、E，连接DE，现测得DE=46米，则A、B之间的距离为米．【答案】92【分析】本题考查了三角形的中位线定理．根据中位线定理可得：AB=2DE，即可求解．【详解】解：∵点D、E分别是AC、BC的中点，DE=46米，∴AB=2DE=92米．故答案为：92【变式4-2】（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD=3cm【答案】6【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解．【详解】解：∵点C，D分别是∴CD=1∴AB=2CD=6cm故答案为：6．【变式4-3】（23-24八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点．求证：________________．证明：过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．（3）实践应用如图3，点B和点C被池塘隔开，在BC外选一点A，连接AB,AC，分别取AB,AC的中点D,E，测得DE的长度为9米，则B,C两点间的距离为________________．

【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE∥BC，DE=1【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；（2）过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，证明△ADE≌△CFE，再证四边形（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE∥BC，DE=1证明：∵点D,E分别是AB,AC的中点，∴BD=AD，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠F∴△ADE≌∴AD=CF，DE=∴CF∥BD，CF=∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF=BC，又∵DE=1∴DE∥BC，DE=1故答案为：DE∥BC，DE=1（3）∵点D,E分别是AB,AC的中点，DE=9米，∴DE=12BC故答案为：18米．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．一、单选题1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个△ABC，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若EF=35cm，则点B距离地面的高度为（

A．80cm B．70cm C．60cm 【答案】B【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理即可解决问题．【详解】解：∵E、F分别为AB、AC的中点，EF=35cm∴BC=2EF=70cm∴点B距离地面的高度为70cm故选：B．2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠PFE的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】D【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得EP是△ABD的中位线，FP是△BCD的中位线，推出EP=12AD，FP=12【详解】解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴EP是△ABD的中位线，FP是△BCD的中位线，∴EP=12AD∵AD=BC，∴EP=FP，∴∠PFE=∠PEF=30°，故选：D．3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE=15m，那么A，BA．20m B．24m C．30m【答案】C【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键．根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：∵OA，OB的中点分别是点D，∴AB=2DE=30m故选：C．4．（23-24八年级下·福建南平·单元测试）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=8，F是线段DE上一点，连接AF、CF，DE=4DF，若∠AFC=90°，则AC的长度是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先由三角形中位线定理得到DE=4，再由DE=4DF，求出EF=3，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AC=2EF=6．【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1∵DE=4DF，∴DF=1∴EF=DE−DF=3，∵∠AFC=90°，点E是AC的中点，∴AC=2EF=6，故选：D．5．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形BEFD的周长为（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】C【分析】本题考查了三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理、线段中点可得EF=12AB=BD=2,DF=12【详解】解：在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴EF=1∴四边形BEFD的周长为BD+BE+EF+DF=2+3+2+3=10，故选：C．6．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）如图，在▱ABCD中，AD=6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为（

）A．4 B．3 C．2 D．不确定【答案】B【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．由平行四边形的对边相等的性质求得BC=AD=6，然后利用三角形中位线定理求得MN=1【详解】解：如图，在平行四边形ABCD中，BC=AD=6．∵M，N分别为BE，∴MN是△EBC的中位线，∴MN=1故选：B．7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，若CD=2EF=4，BC=42，则∠C等于（

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】连接BD，证明出EF是△ABD的中位线，得到BD=2EF=4，然后证明出△BDC是等腰直角三角形，进而求解即可．此题考查了三角形中位线的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．【详解】连接BD，∵E、F分别是AB，AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴BD=2EF=4，∵CD=2EF=4，BC=4∴B∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠C=45°．故选：B．8．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AC=2A．12 B．1 C．32【答案】B【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等角对等边，勾股定理．先根据勾股定理求出AB=AC2+BC2=6，根据三角形的中位线定理得出DE【详解】解：在Rt△ABC中，AC=2由勾股定理得：AB=A∵BF平分∠ABC∴∠ABF=∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，∴∠ABF=∴∠EFB=∴EF=BE=2，∴DF=DE−EF=1，故选：B．9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=1【详解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC=B∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=1∴四边形EFGH的周长=EH+G