2025年人教版七年级数学寒假复习 专题01 有理数（6重点串讲+15考点提升+过关检测）

专题01有理数考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升提升专练：真题感知+精选专练，全面突破知识点1：用正、负数表示具有相反意义的量具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义；②有数量.【补充说明】1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的.2）在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3）具有相反意义的量必须是同类量，如亏损30元与上升10米就不是具有相反意义的量；3）与一个量具有相反意义的量不止有一个，即具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与盈利100元是相反意义的量有很多，如亏损50元、亏损150元、亏损200元等；4）常见的具有相反意义的量：前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北，收入与支出等.知识点2：有理数的分类有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.例：0.53（分数形式：53100），1.333333…（分数形式：43），4，整数3（分数形式：3有理数分类：【易错点】带“非”字有理数分类时忽律0.知识点3：数轴数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.数轴的画法：1）画一条直线；2）在这条直线上任取一点作为原点，这点表示0；3）确定正方向：通常规定直线上向右为正方向，画上箭头；4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…知识点4：相反数相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.2）一个有理数有且只有一个相反数；3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.【补充】0是唯一一个相反数等于本身的数.知识点5：绝对值绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即知识点6：有理数比较大小考点剖析【考点1】用正、负数表示具有相反意义的量1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）东、西为两个相反方向，如果+4m表示一个物体向东运动4m，那么−2m表示2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）人体正常体温平均为36.5°C，如果某温度高于36.5°C，那么高出的部分记为正；如果温度低于36.5°C，那么低于的部分记为负，国庆假期间某同学在家测的体温为38.3°C3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如图所示是某用户微信的账单情况，+41.00元表示收款41.00元，则−5.50元表示．4．（2024七年级上·全国·专题练习）根据正数或负数的意义填空：（1）如果收入20元记作+20元，那么支出100元记作元；（2）如果水位上升2米时水位变化记作+2米，那么水位下降2米时水位变化记作米；（3）如果向南走20米记作−20米，那么向北走70米记作米．【考点2】0的意义5．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（

）①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数．A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（

）A．0℃是一个确定的温度 B．海拔0mC．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示7．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有个．①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．【考点3】有理数的分类8．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中：3，−7，−23，5.6，0，−8正数集合：{____________________…}；负数集合：{____________________…}；整数集合：{____________________…}；分数集合：{____________________…}．9．（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的集合里．0.3，−21，π3，0.6，−57，0，−3.1，215，分数集合：{____________________________________…}；负有理数集合：{____________________________________…}；非负整数集合：{____________________________________…}．10．（24-25七年级上·广东潮州·阶段练习）把下列各数填入相应的括号内．−12，0.618，−3.1415，2022，−32，(1)正分数：｛

}(2)非负整数：｛

}(3)负有理数：｛

}(4)非负数：｛

}【考点4】用数轴上的点表示有理数11．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“<”连接起来：−−3，−22，0<<<．12．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，点A，B在数轴上，点C表示−3.5，点D表示−2．(1)点A表示_____，点B表示_____；(2)在数轴上表示出点C和点D；(3)用“<”把点A，B，C，D表示的数连接起来．13．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知AB=6，BC=2，如图所示，设点p=a+b+c，该轴的原点为O．(1)若点A所表示的数是−1，则点B所表示的数是，点C所表示的数是；(2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是，此时p的值为；(3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值．14．（2024七年级上·全国·专题练习）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．操作一：(1)折叠纸面，使表示1的点与表示−1的点重合，则表示−2的点与表示___________的点重合．操作二：(2)折叠纸面，使表示−1的点与表示3的点重合，解答以下问题：①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数．②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数．【考点5】数轴上两点之间的距离15．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A到原点的距离为6，则点A表示的数是．16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知有理数a、b，其中数a在如图的数轴上的对应点为A，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．(1)a=________，b=________．(2)比较b和−2的大小：________．17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上标出的所有点中，相邻任意两点间的距离都相等，已知点A表示−16，点G表示8．(1)表示原点的是点______，点C表示的数是______；(2)数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离．18．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知A，B，P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是A,B的“k倍点”，记作PA,B=k．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为−2，点B表示的数为1，则P是A,B的“2倍点”，记作如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题：(1)PB,A(2)若点C在数轴上，且CA,B=1，则点(3)若D是数轴上一点，且DA,B=2，求点【考点6】根据点在数轴的位置判断式子正负19．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（填序号）．①a+b=a+b；②a−b=b−a；③(b−1)(a−1)>020．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①a−1b−1>0；②a−1b+1<0；③a+1b+1【考点7】根据点在数轴的位置进行化简21．（23-24七年级上·山东济宁·期末）a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，则a−c−a+b22．（23-24七年级上·江西抚州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：c−b+a−b23．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，以下结论中；①abc>0②c−a<0③a+b+c>0④aa+【考点8】化简多重符号24．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题：（1）−−2（2）+−（3）−−（4）−−（5）−−问：①当+5的前面有2024个负号时，化简后的结果是________；②当−5的前面有2025个负号时，化简后的结果是________；由①②你能总结出什么规律？【考点9】相反数的应用25．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）若a与b互为相反数，c、d互为倒数，则2019(a+b)−2020cd的值是多少？26．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图是一个长方体的展开图，若将这个展开图折叠成一个长方体后，相对面上的两个数字互为相反数，求xy−z的值．27．（23-24七年级上·广西来宾·期中）若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m=2（1）填空：a+b=______；cd=______；m=______．（2）求a+b4m【考点10】化简绝对值28．（24-25七年级上·山西大同·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且a>b，则a−b=_____，a+b=_____，a+c=29．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，a,b,c是数轴上A,B,C三个点所对应的实数．(1)化简：c2(2)计算：aa30．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】【提出问题】两个有理数a、b满足a、b同号，求aa【解决问题】解：由a、b同号，可知a、b有两种可能：①当a，b都正数；②当①若a、b都是正数，即a>0，b>0，有a=a②若a、b都是负数，即a<0，b<0，有a=−a，b=−b，aa+b【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)两个有理数a、b满足a、b异号，求aa(2)已知a=5，b=9，且a<b，求【考点11】绝对值的几何意义31．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离．(1)对于有理数a，如果a=5，那么a(2)a=a−0，表示有理数例如：−7与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作−7−6或6−−7那么，对于有理数b：①b−3可以看作b和________在数轴上对应的点之间的距离；②b+8可以看作b和________在数轴上对应的点之间的距离；③若b−3=b+8，请画出数轴并用数形结合思想求32．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC=3−1，A，C之间的距离表示为：AC=3−−2=3+2．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA=x−−2利用数轴探究下列问题：(1)x+2+x−1的最小值是_____，此时(2)请按照（1）问的方法思考：x+3+x−1+(3)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为100m，已知E，F，G，H四个小区各有2个，1个，2个，2个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M33．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道x的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的表距离示为a−b，即AB=a−b．例如，在数轴上，表示−4和−2的点的距离为AB=【问题解决】（1）x−2表示数轴上数x与（填数字）之间的距离；（2）若点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为−2，则CD=（用含x的代数式表示）；【关联运用】（3）运用一：若x−2+x+4=10，则x（4）运用二：代数式x−2+x+4的最小值为（5）运用三：代数式x−3−x+4的最大值为（6）运用四：已知动点A、B、C分别从数轴−2、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点O，线段OA，OB，OC的中点分别为P，M，N，若【考点12】绝对值非负性的应用34．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若x−32+y+5=0，则x=35．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若|x−3|+|y−4|=0，则x=，y=．36．（24-25七年级上·江西赣州·期中）当x=时，−|x−2|+2024的值最大．37．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）x+2+1有最值，为【考点13】比较有理数的大小38．（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小：−45−2，−−5−−4（填“>”“39．（2024七年级上·浙江·专题练习）把0.67，35，67.67%，23，0这五个数按照从大到小的顺序排列后，最大的数是，最小的数是40．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较大小：−20052004【考点14】与有理数有关的新定义问题41．（24-25七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=(1)计算−3⊙(2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b．(3)当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=−c？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．42．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b=a−b.例如：−1⊙3=−1−343．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为POQ．例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则POQ=(1)A、B两点表示的数如图2所示．①A、B两点绝对距离为______；②若C为数轴上一点（不与点O重合），且3AOB=AOC(2)M、N为数轴上的两点（点M在点N左边），且线段MN=2，若MON=1，求出点M44．（2024七年级上·北京·专题练习）定义：已知点A、B在数轴上分别表示有理数x、y，A、B两点到原点的距离之和叫做两点之间的原点距，记作d，容易知道原点距d=x+y．例如：有理数2，−5(1)若A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1，则点B代表的数字为___________；(2)若A点代表的数字为xx>0，B点代表的数字为2−x，则AB45．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．若规定A、B两点之间的距离为AB，即当AC=2BC时，我们称点C是【A，B】的美好点．例如：如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离AC是2，到点B的距离BC是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离AD是1，到点B的距离BD是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为−7，点N所表示的数为2．(1)点E，F，G表示的数分别是−3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是______；写出【N，M】美好点H所表示的数是______．(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以3个单位每秒的速度向左运动．请你写出当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？46．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．(1)若点A表示数−4，点B表示数5，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为________；(2)点A表示数−5，点B表示数25，P为数轴上一点；①若点P在点B的右侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是________；②若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是________．【考点15】与数轴有关的动点问题47．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C表示的数为3，点B与点C之间的距离为2，点A与点B之间的距离为6．【问题提出】（1）点A表示的数是________，点B表示的数是________；【问题探究】（2）动点P，Q分别同时从点A，C处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点M在点A和点P之间，且点A到点M的距离与点M到点P的距离相等，点N在点C和点Q之间，且点C到点Q之间的距离是点C到点N之间距离的4倍，当运动时间为tt>0时，用含t的代数式表示点M，N【问题解决】（3）在（2）的条件下，点M到点Q之间的距离是否与t的大小有关？若有关，用含t的代数式表示点M到点Q之间的距离；若无关，请求出点M到点Q之间的距离．48．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC=40，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）．(1)点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）；(2)当t=________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？(3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得mAP+5BP−3CP为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．49．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______；(2)受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生（0岁）；你若是我现在这么大，我就87岁啦！”则爸爸的年龄是______岁．（在图2中标出分析过程）②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要13年才出生；你若是我现在这么大．我就119岁啦！”则爷爷的年龄是______岁．（画出示意图展示分析过程）50．（24-25七年级上·吉林·期中）阅读材料：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，当点A在点B的左侧时，我们把数轴上A，B两点之间的距离AB表示为b−a．如3−1可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离．探索：若点A，B在数轴上对应的数分别为−2，6．(1)A，B两点之间的距离是________；(2)点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点A对应的数为________（用含t的代数式表示）；2秒后A，B两点间距离为______；(3)点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求t秒后A，B两点间距离．（用含t的代数式表示）51．（24-25七年级上·广东深圳·期中）若定义新运算：a∗b=1−3ab，如5∗−1=5−3×5×−1=20，请利用此定义计算：A．−61 B．−59 C．59 D．6152．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）请你利用所学知识判断，下列叙述错误的是（

）A．正负数是表示在生活中互为相反的方向上数量发生改变需要产生的计数方式；B．表示正负数时前面的符号代表方向，是人为规定的，后面的数字代表数量；C．0没有相反数；D．互为相反数的量在不同的情况下，可以互换表示．53．（24-25七年级上·河南信阳·期中）甲、乙两人同时从相距1500米的两地出发（如图），如果两人步行速度都是每分钟50米，10分钟后两人相距多少米？下列选项中错误的是（

）A．2500米 B．1500米 C．1000米 D．500米过关检测一、单选题1．（24-25七年级上·全国·期中）−3=（

A．13 B．3 C．−3 D．2．（24-25七年级上·重庆·期中）若M=x+2+3，N=x−4A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，13．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列化简计算正确的是（）A．−(−3)=−3 B．−|−3|=3C．−−3−2=−二、填空题4．（2024·陕西·模拟预测）若点A在数轴上表示的数是−3，将点A向右平移2个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是．5．（2024·江西·模拟预测）若x+82+y−7=0，则代数式6．（2023·江苏镇江·模拟预测）已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，a=1，则a2−7．（2024·宁夏银川·一模）银川某天四个时刻的气温分别是−1℃，2℃，0℃，−9℃8．（2024·上海·模拟预测）实数中绝对值最小的数是三、解答题9．（2024·河北邢台·模拟预测）按要求完成下列各题(1)在数轴上表示下列各数：−−3，−−4，1.5，(2)用“<”将（1）题中的各数连接起来；(3)a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简a−c−10．（2024·河北沧州·模拟预测）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B村，然后向西骑行9km(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在图中数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置；(2)若摩托车每1km

专题01有理数考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升提升专练：真题感知+精选专练，全面突破知识点1：用正、负数表示具有相反意义的量具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义；②有数量.【补充说明】1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的.2）在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3）具有相反意义的量必须是同类量，如亏损30元与上升10米就不是具有相反意义的量；3）与一个量具有相反意义的量不止有一个，即具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与盈利100元是相反意义的量有很多，如亏损50元、亏损150元、亏损200元等；4）常见的具有相反意义的量：前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北，收入与支出等.知识点2：有理数的分类有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.例：0.53（分数形式：53100），1.333333…（分数形式：43），4，整数3（分数形式：3有理数分类：【易错点】带“非”字有理数分类时忽律0.知识点3：数轴数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可.数轴的画法：1）画一条直线；2）在这条直线上任取一点作为原点，这点表示0；3）确定正方向：通常规定直线上向右为正方向，画上箭头；4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…知识点4：相反数相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的.性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数.2）一个有理数有且只有一个相反数；3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.【补充】0是唯一一个相反数等于本身的数.知识点5：绝对值绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即知识点6：有理数比较大小考点剖析【考点1】用正、负数表示具有相反意义的量1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）东、西为两个相反方向，如果+4m表示一个物体向东运动4m，那么−2m表示【答案】这个物体向西运动2m【分析】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，其中一个用正数表示，则另一个量用负数表示；据此即可求解．【详解】解：∵+4m表示一个物体向东运动4m，∴−2m表示一个物体向西运动2m故答案为：这个物体向西运动2m．2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）人体正常体温平均为36.5°C，如果某温度高于36.5°C，那么高出的部分记为正；如果温度低于36.5°C，那么低于的部分记为负，国庆假期间某同学在家测的体温为38.3°C【答案】+1.8【分析】本题考查了正数和负数的意义，根据题意，38.3℃高于36.5°【详解】解：38.3−36.5=1.8∴体温为38.3°C应记为故答案为：+1.8．3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）手机移动支付给生活带来便捷．如图所示是某用户微信的账单情况，+41.00元表示收款41.00元，则−5.50元表示．【答案】付款5.50元【分析】本题考查的是正负数的应用，收款额和付款额是具有相反意义的量，如果用正数表示收款额，就可以用负数表示付款额．【详解】解：由题意可得：−5.50元表示付款5.50元．故答案为：付款5.50元4．（2024七年级上·全国·专题练习）根据正数或负数的意义填空：（1）如果收入20元记作+20元，那么支出100元记作元；（2）如果水位上升2米时水位变化记作+2米，那么水位下降2米时水位变化记作米；（3）如果向南走20米记作−20米，那么向北走70米记作米．【答案】−100−2+70【分析】本题主要考查了正负数的实际应用．（1）根据题意收入为正，则支付为负填写即可．（2）根据题意水位上升为正，则水位下降为负填写即可．（3）根据题意向南走为负，在向北走为正填写即可．【详解】解：（1）如果收入20元记作+20元，那么支出100元记作−100元，故答案为：−100．（2）如果水位上升2米时水位变化记作+2米，那么水位下降2米时水位变化记作−2米．故答案为：−2（3）如果向南走20米记作−20米，那么向北走70米记作+70米．故答案为：+70【考点2】0的意义5．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（

）①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答．【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确；②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误；③0可以表示特定的意义，如0℃，故③正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误，综上所述：正确的有①③，共2个，故选：B．6．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（

）A．0℃是一个确定的温度 B．海拔0mC．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示【答案】B【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键．【详解】A．0℃是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意；B．海拔0m表示与海平面一样的高度‌C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意；D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意；故选：B．7．（2024七年级上·山东青岛·专题练习）下列关于“0”的说法正确的有个．①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数．【答案】4【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数．依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解．【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确；0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确；0是自然数，故③正确；存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误；0既是整数也是偶数，故⑤正确；故答案为：4．【考点3】有理数的分类8．（24-25七年级上·河南平顶山·期中）所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中：3，−7，−23，5.6，0，−8正数集合：{____________________…}；负数集合：{____________________…}；整数集合：{____________________…}；分数集合：{____________________…}．【答案】见解析【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类解答即可，熟练有理数的分类是解此题的关键．【详解】解：正数集合：{3，5.6，15，1负数集合：{−7，−23，整数集合：{3，−7，0，15…}；分数集合：{−23，−814，9．（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的集合里．0.3，−21，π3，0.6，−57，0，−3.1，215，分数集合：{____________________________________…}；负有理数集合：{____________________________________…}；非负整数集合：{____________________________________…}．【答案】0.3，0.6，−57，−3.1，215，2.3%；−21，−【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类填写即可求解．【详解】解：分数集合：{0.3，0.6，−57，−3.1，2负有理数集合：{−21，−57，非负整数集合：{0，10，…}；10．（24-25七年级上·广东潮州·阶段练习）把下列各数填入相应的括号内．−12，0.618，−3.1415，2022，−32，(1)正分数：｛

}(2)非负整数：｛

}(3)负有理数：｛

}(4)非负数：｛

}【答案】(1)0.618,26.5(2)2022,0,⋯(3)−(4)0.618,2022,26.5【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的概念是解题关键．（1）根据正分数的定义求解即可得；（2）根据非负整数的定义（包括0和正整数）求解即可得；（3）根据负有理数的定义（小于0的有理数）求解即可得；（4）根据非负数的定义（包括0和正数）求解即可得．【详解】（1）解：正分数：0.618,26.5%（2）解：非负整数：2022,0,⋯．（3）解：负有理数：−1（4）解：非负数：0.618,2022,26.5%【考点4】用数轴上的点表示有理数11．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把各数用“<”连接起来：−−3，−22，0<<<．【答案】见解析．【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“<”号连接起来即可．【详解】解：−−3=3，−22把−−3，−22，0，如图，∴−−2.512．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，点A，B在数轴上，点C表示−3.5，点D表示−2．(1)点A表示_____，点B表示_____；(2)在数轴上表示出点C和点D；(3)用“<”把点A，B，C，D表示的数连接起来．【答案】(1)−1，3(2)见解析(3)−3.5<−1<【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上比较有理数大小，对于（1）观察数轴可得答案；对于（2），在数轴上画出即可；对于（3），根据数轴上各点得位置可得答案．【详解】（1）点A表示−1，点B表示3；故答案为：−1,3；（2）如图所示，（3）观察数轴可知−3.5<−1<−213．（24-25七年级上·广西南宁·期中）用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知AB=6，BC=2，如图所示，设点p=a+b+c，该轴的原点为O．(1)若点A所表示的数是−1，则点B所表示的数是，点C所表示的数是；(2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是，此时p的值为；(3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值．【答案】(1)5，7(2)5，5(3)2或−22【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，掌握相关结论即可．（1）由数轴可知：点B所表示的数是−1+6=5；根据BC=2，可得点C所表示的数是5+2=7；（2）由题意得点A所表示的数是−3，则点B所表示的数是3，可求出点C所表示的数是3+2=5；即可求解；（3）由题意得点C所表示的数是4或−4，分类讨论即可求解；【详解】（1）解：∵点A所表示的数是−1，AB=6，由数轴可知：点B所表示的数是−1+6=5；∵BC=2，∴点C所表示的数是5+2=7；故答案为：5，7；（2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数，AB=6，∴点A所表示的数是−3，则点B所表示的数是3，点C所表示的数是3+2=5；p=a+b+c=5，故答案为：5，5；（3）解：∵数轴上点C到原点的距离为4，∴点C所表示的数是4或−4；当点C所表示的数是4时，点B所表示的数是4−2=2，点A所表示的数是2−6=−4，∴p=−4+2+4=2；当点C所表示的数是−4时，点B所表示的数是−4−2=−6，点A所表示的数是−6−6=−12，∴p=−12−6−4=−22；综上所述，p的值为2或−22．14．（2024七年级上·全国·专题练习）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图．操作一：(1)折叠纸面，使表示1的点与表示−1的点重合，则表示−2的点与表示___________的点重合．操作二：(2)折叠纸面，使表示−1的点与表示3的点重合，解答以下问题：①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数．②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数．【答案】(1)2(2)①−3，②5.5【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点．（1）根据表示1的点与表示−1的点重合，可得其中点为原点，则−2与2重合；（2）根据表示−1的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解．【详解】（1）解：∵表示1的点与表示−1的点重合，∴折痕经过原点，∴表示−2的点与表示2的点重合．故答案为：2；（2）解：∵表示−1的点与表示3的点重合，∴−1+3−(−1)∴折痕经过表示1的点，①1−(5−1)=−3，∴点D表示的数为−3；②A:1−9B:1+9∴A，B两点表示的数分别为−3.5，5.5．【考点5】数轴上两点之间的距离15．（24-25七年级上·河北保定·期中）在数轴上点A到原点的距离为6，则点A表示的数是．【答案】±6【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，分点A在原点左边和右边两种情况求解即可．【详解】解：∵数轴上的点A到原点的距离是6，∴当点A在原点左边时，点A表示的数为−6；当点A在原点右边时，点A表示的数为6；综上所述，点A表示的数为±6，故答案为：±6．16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知有理数a、b，其中数a在如图的数轴上的对应点为A，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．(1)a=________，b=________．(2)比较b和−2的大小：________．【答案】(1)2，−3(2)b<−2【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，有理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）从数轴得出A所对应的数是2，即可作答．（2）两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，即可作答．【详解】（1）解：∵数a在如图的数轴上的对应点为A，∴a=2，∵b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3．∴b=−3，故答案为：2，−3；（2）解：由（1）得b=−3，∵−2=2,−3=3∴b<−2，故答案为：b<−2．17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，数轴上标出的所有点中，相邻任意两点间的距离都相等，已知点A表示−16，点G表示8．(1)表示原点的是点______，点C表示的数是______；(2)数轴上有两点M，N，点M到点E的距离为4，点N到点E的距离是3，求点M，N之间的距离．【答案】(1)E，−8(2)1或7【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上的两点之间的距离，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．（1）先求出相邻任意两点间的距离为4，再结合数轴即可得解（2）分两种情况：当M、N在点E的同侧时，当M、N在点E的异侧时，分别画出图形，利用数轴上两点间的距离公式计算即可得解．【详解】（1）解：8−−16÷6=4，故相邻任意两点间的距离为∴表示原点的数为E，点C表示的数为−8；（2）解：如图：当M、N在点E的同侧时，MN=4−3=1或MN=−3−−4=1如图，当M、N在点E的异侧时，MN=4−−3=7或MN=3−综上所述，点M，N之间的距离为1或7．18．（24-25七年级上·湖南邵阳·期中）已知A，B，P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是A,B的“k倍点”，记作PA,B=k．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为−2，点B表示的数为1，则P是A,B的“2倍点”，记作如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题：(1)PB,A(2)若点C在数轴上，且CA,B=1，则点(3)若D是数轴上一点，且DA,B=2，求点【答案】(1)4(2)2(3)3或11．【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键．（1）根据新定义，求得PA、PB即可求解；（2）根据新定义得到点C为AB的中点，进而求解即可；（3）根据新定义分两种情况：点D在线段AB上和点D在线段AB的延长线上，分别求解即可．【详解】（1）解：由数轴知，PA=−1−−3∴PB=4PA，则PB,A故答案为：4；（2）解：∵点C在数轴上且CA,B∴CA=CB，则点C为AB的中点，∴点C表示的数为−1+52故答案为：2；（3）解：因为D是数轴上一点，且DA,B=2，所以因为点A表示的数为−1，点B表示的数为5，所以AB=5−−1当点D在点A，B之间时，点D表示的数为−1+2当点D在点B的右边时，点D表示的数为−1+2×6=11．所以点D表示的数为3或11．【考点6】根据点在数轴的位置判断式子正负19．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（填序号）．①a+b=a+b；②a−b=b−a；③(b−1)(a−1)>0【答案】①②④【分析】此题主要考查数轴上的有理数性质，熟练掌握，即可解题．首先根据数轴上的有理数判定−1<a<0<1<b，然后逐一判定即可．【详解】由题意，得−1<a<0<1<b∴a+b>0，a−b<0，a−1<0，b−1>0，a+1>0①a+b=a+b②a−b=b−a③(b−1)(a−1)<0，错误；④(b−1)(a+1)>0，正确；故答案为：①②④．20．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式中：①a−1b−1>0；②a−1b+1<0；③a+1b+1【答案】①④/④①【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数的乘法法则．根据表示数a，b的点在数轴上的位置可确定a，b与1，−1的大小关系，从而确定a−1，b−1，a+1，b+1的符号，进而根据有理数的乘法法则判断各式子的符号，即可解答．【详解】由数轴可得：b<−1，0<a<1，∴a+1>0，a−1<0，b+1<0，b−1<0，∴a−1b−1a−1b+1a+1b+1a+1b−1∴正确的式子是①④．故答案为：①④【考点7】根据点在数轴的位置进行化简21．（23-24七年级上·山东济宁·期末）a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，则a−c−a+b【答案】b+c/c+b【分析】本题考查的是利用数轴判断代数式的符号，整式的加减运算，熟练的化简绝对值是解本题的关键．先判断a−c<0，a+b<0，再化简绝对值，合并同类项即可．【详解】解：由数轴可得a<−1<c<0<b<1∴a−c<0，a+b<0，∴a−c−故答案为：b+c．22．（23-24七年级上·江西抚州·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简：c−b+a−b【答案】−2a【分析】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．根据a、b、c在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并．【详解】解：∵−2<a<−1<0<b<1<2<c，∴c−b>0,a−b<0,a+c>0，∴c−b=c−b−=c−b−a+b−a−c=−2a．故答案为：−2a．23．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，以下结论中；①abc>0②c−a<0③a+b+c>0④aa+【答案】③/④【分析】本题考查了数轴上表示数，根据数轴分别判断a，b，c，c−a的正负，然后逐项排除即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．【详解】根据数轴可判断：a<0，b>0，c>0，c−a>0，则①abc<0，故①②c−a>0，故②③a+b+c>0，故③④aa+故答案为：③④．【考点8】化简多重符号24．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题：（1）−−2（2）+−（3）−−（4）−−（5）−−问：①当+5的前面有2024个负号时，化简后的结果是________；②当−5的前面有2025个负号时，化简后的结果是________；由①②你能总结出什么规律？【答案】（1）2；（2）−15；（3）−4；（4）3.5；（5）5；①5；②【分析】本题考查化简多重符号，熟练掌握相反数的定义，负号的个数奇负偶正，是解题的关键：（1）（2）（3）（4）（5）根据相反数的定义，化简多重符号即可；①②根据负号的个数，求解即可，根据结果，总结出规律即可．【详解】解：（1）−−2（2）+−（3）−−（4）−−（5）−−①当+5的前面有2024个负号时，化简后的结果是5；②当−5的前面有2025个负号时，化简后的结果是−5；总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身．【考点9】相反数的应用25．（23-24七年级上·宁夏吴忠·期末）若a与b互为相反数，c、d互为倒数，则2019(a+b)−2020cd的值是多少？【答案】−2020【分析】本题考查了相反数，倒数，代数式求值，根据题意得到a+b=0，cd=1，代入式子即可求出结果．【详解】解：∵a与b互为相反数，c、d互为倒数，∴a+b=0，cd=1，2019(a+b)−2020cd=2019×0−2020×1=−2020．26．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图是一个长方体的展开图，若将这个展开图折叠成一个长方体后，相对面上的两个数字互为相反数，求xy−z的值．【答案】−1【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图和求代数式的值，利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数字互为相反数，即可求出x、y、z的值，从而求代数式的值，解题的关键是注意正方体为空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【详解】由题意：x与−3互为相反数，x=3y与1互为相反数，y=−1，z与2互为相反数，z=−2,∴xy−z=3×−127．（23-24七年级上·广西来宾·期中）若a,b互为相反数，c,d互为倒数，m=2（1）填空：a+b=______；cd=______；m=______．（2）求a+b4m【答案】（1）0；1；±2（2）1【分析】（1）根据相反数、倒数、绝对值的意义，即可求解；（2）将（1）中的结果代入代数式，即可求解．【详解】（1）a,b互为相反数，c,d互为倒数，m=2∴a+b=0,cd=1,m=±2，故答案为：0；1；±2；（2）由（1）得a+b=0,cd=1,m=±2，原式=0+4−3×1=0+4−3=1．【点睛】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义，熟练掌握相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义是解题的关键．【考点10】化简绝对值28．（24-25七年级上·山西大同·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且a>b，则a−b=_____，a+b=_____，a+c=【答案】b−a；−a−b；−a−c；b−c；b−c【分析】本题考查了数轴上点的特点，绝对值的性质，掌握数轴上点的位置确定式子的符号，绝对值的化简是解题的关键．根据数轴上点的位置可得a<c<0<b，a>【详解】解：根据数轴上有理数a、b、c位置可得a<c<0<b，a>∴a−b<0,a+b<0,a+c<0,b−c>0，∴a−b=b−a，a+b=−a−b，a+c=−a−c∴c−故答案为：b−a；−a−b；−a−c；b−c；b−c．29．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，a,b,c是数轴上A,B,C三个点所对应的实数．(1)化简：c2(2)计算：aa【答案】(1)3b(2)−1【分析】本题主要考查了数轴上的点，绝对值的性质，平方根和立方根，对于（1），根据数轴上的点的位置判断a−b>0,c>0,b−c<0,a+b<0，再去掉绝对值和根号，然后计算；对于（2），根据数轴可知a<0,b<0,c>0，再去掉绝对值计算即可．【详解】（1）由数轴可知，a−b>0,c>0,b−c<0,a+b<0，∴=c−a+b+a+b+b−c=3b；（2）∵a<0,b<0,c>0∴a30．（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】【提出问题】两个有理数a、b满足a、b同号，求aa【解决问题】解：由a、b同号，可知a、b有两种可能：①当a，b都正数；②当①若a、b都是正数，即a>0，b>0，有a=a②若a、b都是负数，即a<0，b<0，有a=−a，b=−b，aa+b【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)两个有理数a、b满足a、b异号，求aa(2)已知a=5，b=9，且a<b，求【答案】(1)0(2)14或4【分析】（1）由a、b异号分2种情况讨论：①a>0，b<0；②（2）利用绝对值的代数意义，以及a小于b，求出a与b的值，再代入代数式计算即可求解；本题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】（1）解：∵a、b异号，∴分2种情况讨论：①a>0，b<0，则有a=a∴aa②a<0，b>0，则有a=−a∴aa综上，aa+b（2）解：∵a=5，b∴a=±5，b=±9，∵a<b，∴a=±5，b=9，当a=−5，b=9时，a+b=−5+9=4；当a=5，b=9时，a+b=5+9=14；综上，a+b的值为4或14．【考点11】绝对值的几何意义31．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴是数形结合思想的重要载体，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，而一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离．(1)对于有理数a，如果a=5，那么a(2)a=a−0，表示有理数例如：−7与6在数轴上对应的点之间的距离可以记作−7−6或6−−7那么，对于有理数b：①b−3可以看作b和________在数轴上对应的点之间的距离；②b+8可以看作b和________在数轴上对应的点之间的距离；③若b−3=b+8，请画出数轴并用数形结合思想求【答案】(1)A，D(2)①3；②−8；③数轴见详解，b=−【分析】本题考查了绝对值的意义，在数轴上表示有理数以及数轴两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）化简绝对值，得a=±5，即可作答．（2）①依题意，b−3可以看作b和3在数轴上对应的点之间的距离；②b+8可以看作b和−8在数轴上对应的点之间的距离；③依题意作出数轴，再运用数形结合思想，即可作答．【详解】（1）解：∵a=5∴a=±5，∴a可能对应下面数轴上的点A或点D．故答案为：A，D；（2）解：依题意，①b−3可以看作b和3在数轴上对应的点之间的距离；故答案为：3；②b+8=∴b+8可以看作b和−8在数轴上对应的点之间的距离；故答案为：−8；③∵b−3=∴b和3在数轴上对应的点之间的距离等于b和−8在数轴上对应的点之间的距离如图：此时3−b=b+8，∴b=−532．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC=3−1，A，C之间的距离表示为：AC=3−−2=3+2．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA=x−−2利用数轴探究下列问题：(1)x+2+x−1的最小值是_____，此时(2)请按照（1）问的方法思考：x+3+x−1+(3)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为100m，已知E，F，G，H四个小区各有2个，1个，2个，2个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校，聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M【答案】(1)3，−2≤x≤1(2)5，1(3)1200米【分析】（1）由x+2+x−1=x−−2+x−1可知式子x+2+x−1表示x到−2（2）同理（1）解答即可；（3）以其中一点F为原点，一个单位表示200建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示−200，0，200，400，设点M表示的数为x，可得所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为2x+200+2x+2x−200+x−400本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键．【详解】（1）解：∵x+2+∴式子x+2+x−1表示x到−2和到可知当x在−2和1之间时，距离之和最小，最小值为1−−2=3，此时x的取值范围故答案为：3，−2≤x≤1；（2）解：∵x+3+∴式子x+3+x−1+x−2表示x分别到−3、可知当x在1的位置时，距离之和最小，最小值为2−−3=5，此时x的值是故答案为：5，1；（3）解：如图，以其中一点F为原点，一个单位表示200建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示−200，0，200，400，设点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为2x+200当x=0时，即点M与点F重合时，该距离之和最小，最小值为2×200+2×200+400=1200，∴汇合地点M的位置在F点时，所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值为1200米．33．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道x的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的表距离示为a−b，即AB=a−b．例如，在数轴上，表示−4和−2的点的距离为AB=【问题解决】（1）x−2表示数轴上数x与（填数字）之间的距离；（2）若点C为数轴上一点，它所表示的数为x，点D在数轴上表示的数为−2，则CD=（用含x的代数式表示）；【关联运用】（3）运用一：若x−2+x+4=10，则x（4）运用二：代数式x−2+x+4的最小值为（5）运用三：代数式x−3−x+4的最大值为（6）运用四：已知动点A、B、C分别从数轴−2、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒．原点为点O，线段OA，OB，OC的中点分别为P，M，N，若【答案】（1）2；（2）x+2；（3）4或−6；（4）6；（5）7；（6）m=2，k=92；或m=2【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键．（1）根据绝对值的意义作答即可；（2）根据绝对值的意义作答即可；（3）分类讨论x的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可；（4）分类讨论x的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可；（5）分类讨论x的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可；（6）根据运动情况，用含t的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出PM和MN的长度，套入mPM−MN=k分析出m的值后即可求得k的值．【详解】（1）解：由题意可得：x−2表示数轴上数x与2之间的距离；故答案为：2；（2）解：CD=x−故答案为：x+2；（3）解：根据题意可得：x−2和x+4表示x与2的距离和x与−4的距离的和，x−2+当x>2时，则：x−2+x+4=10，解得：x=4；当−4≤x≤2时，则−x+2+x+4=6≠10，不符合题意；当x<−4时，则：−x+2−x−4=10，解得：x=−6；故答案为：4或−6；（4）解：x−2+当x>2时，则：x−2+x+4=2x+2>6，当−4≤x≤2时，则−x+2+x+4=6，当x<−4时，则：−x+2−x−4=−2x−2>6，∴−4≤x≤2时，x−2+x+4的最小值为故答案为：6；（5）解：∵x−3−x+4表示x与3的距离和x与∴当x>3时，则：x−3−x+4当−4≤x≤3时，则−x+3−x+4∴−7≤−2x−1≤7，当x<−4时，则−x+3−−x−4∴综上x−3−x+4的最大值为：故答案为：7；（6）解：∵动点A、B、C分别从数轴−2、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，设时间为t，∴点A可表示为：−2+2t，点B可表示为：3+4t，点C可表示为：4+8t，∴OA的中点P为：−2+2t2=t−1，OB的中点M为：32+2t，OC的中点∵A在B的左边，B在C的左边，∴P在M的左边，M在N的左边，∴PM=32+2t−(t−1)=t+∴mPM−MN=mt+∴m−2=0时，mPM−MN的值与t无关，即m=2，∴k=mPM−MN=5∴m=2，k=9【考点12】绝对值非负性的应用34．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若x−32+y+5=0，则x=【答案】3−5【分析】本题考查了非负数的性质，解得关键是掌握非负数的性质．根据题意得到：x−3=0，y+5=0，即可求解．【详解】解：∵x−32∴x−3=0，y+5=0，解得：x=3，y=−5，故答案为：3，−5．35．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若|x−3|+|y−4|=0，则x=，y=．【答案】34【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，求出x、y的值即可．【详解】解：∵|x−3|+|y−4|=0，∴x−3=0，y−4=0，∴x=3，y=4．故答案为：3；4．36．（24-25七年级上·江西赣州·期中）当x=时，−|x−2|+2024的值最大．【答案】2【分析】本题考查了绝对值的意义，根据−|x−2|≤0，若使−|x−2|+2024有最大值，则|x−2|应为0即可．【详解】解：∵−|x−2|≤0，∴要使得−|x−2|+2024的值最大，则需满足−|x−2|=0，即x=2．故答案为：2．37．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）x+2+1有最值，为【答案】小1【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据a≥0【详解】解：∵x+2∴x+2+1≥1∴x+2+1有最小值，为故答案为：小，1．【考点13】比较有理数的大小38．（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小：−45−2，−−5−−4（填“>”“【答案】><【分析】本题考查比较有理数大小，根据负数小于0，0小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行比较即可．【详解】解：∵45∴−4∵−−5∴−−5故答案为：>，<．39．（2024七年级上·浙江·专题练习）把0.67，35，67.67%，23，0这五个数按照从大到小的顺序排列后，最大的数是，最小的数是【答案】67.67%0【分析】本题考查的是有理数大小比较，解决有关小数、百分数、分数之间的大小比较，一般都把分数、百分数化为小数再进行比较，即可得出答案．【详解】解：35=0.6，67.67%=0.6767，∵0<0.6<0.6∴0<3最大的数是67.67%，最小的数是0．故答案为：67.67%，0．40．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较大小：−20052004【答案】−【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是先将其拆分成整数加或减一个分数，然后再进行比较．先变形−20052004=−1+(−【详解】解：∵−20052004=−1+(−1∴−【考点14】与有理数有关的新定义问题41．（24-25七年级上·福建厦门·期中）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b=(1)计算−3⊙(2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b．(3)当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=−c？若是，则说明理由；若不是，则举例说明．【答案】(1)8(2)−2b(3)不一定，举例见解析【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据题中的新定义计算即可得到答案；（2）根据a、b在数轴上的位置判断正负进行化简即可；（3）根据题意进行举例即可．【详解】（1）解：−3⊙（2）解：根据题意可得a+b<0,a−b>0，故a⊙b=a+b（3）解：不一定，a⊙b=a⊙c时，即a+b+当a=6,b=5,c=4时，a⊙b=a⊙c=12此时，等式成立，但b≠c,b≠−c，故不一定有b=c或者b=−c．42．（24-25七年级上·宁夏固原·阶段练习）对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b=a−b.例如：−1⊙3=−1−3【答案】4【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算“⊙”的定义计算即可．【详解】解：2⊙(−2)=|2−(−2)|=|4|=443．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为POQ．例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则POQ=(1)A、B两点表示的数如图2所示．①A、B两点绝对距离为______；②若C为数轴上一点（不与点O重合），且3AOB=AOC(2)M、N为数轴上的两点（点M在点N左边），且线段MN=2，若MON=1，求出点M【答案】(1)①2；②7或−7(2)−1.5或−0.5【分析】本题主要考查了数轴和绝对值的有关内容，关键在于理解绝对距离的定义．（1）①根据绝对距离的定义，直接计算即可；②根据题意，可计算出CO=7，则点C表示的数为7或−7；（2）设点M所表示的数为x，则点N所表示的数为x+2，||MON||=1=|MO−NO|=||x|−|x+2||；注意，如果M、N的符号相同，则||MON||=2不符合题意，因此点M在点O左边，点N在点O右边，然后计算求解即可．【详解】（1）解：①A、B两点绝对距离为||AOB||=|AO−BO|=|1−3|=2；故答案为：2；②根据题意得，||AOC||=3||AOB||=6，则||AOC||=|AO−CO|=|1−CO|=6，解得CO=7或−5(−5舍去），因此，点C表示的数为7或−7；（2）解：设点M所表示的数为x，则点N所表示的数为x+2，||MON||=1=|MO−NO|=||x|−|x+2||；根据题意，x<0，x+2>0，则|−x−(x+2)|=1，即|−2x−2|=1，解得x=−1.5或−0.5；因此，点M所表示的数为−1.5或−0.5．44．（2024七年级上·北京·专题练习）定义：已知点A、B在数轴上分别表示有理数x、y，A、B两点到原点的距离之和叫做两点之间的原点距，记作d，容易知道原点距d=x+y．例如：有理数2，−5(1)若A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1，则点B代表的数字为___________；(2)若A点代表的数字为xx>0，B点代表的数字为2−x，则AB【答案】(1)±2(2)2或2x−2【分析】本题考查了绝对值以及数轴，解题的关键是：读懂题中给出的原点距的定义，并能利用原点距结合绝对值来解决问题．（1）根据原点距的定义，可得出点B代表的数字的绝对值，从而得出结论；（2）结合原点距的定义，分2−x≥0与2−x<0两种情况考虑，即可得出结论．【详解】（1）解：设B点代表的数字为b，∵A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1，∴有1+b=3∴b=±2（2）当2−x≥0，即0<x≤2时，有：AB之间的原点距=x当2−x<0，即x>2时，有：AB之间的原点距=x故AB之间的原点距为2或2x−2．45．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．若规定A、B两点之间的距