【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-7

第十章10.7第七课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案D解析设失败率为p，则成功率为2p，分布列为ξ01Pp2p由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，∴2p＝eq\f(2,3).2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a(eq\f(2,3))i，i＝1,2,3，则a的值是()A.eq\f(17,38)B.eq\f(27,38)C.eq\f(17,19)D.eq\f(27,19)答案B解析1＝p(ξ＝1)＋p(ξ＝2)＋p(ξ＝3)＝a[eq\f(2,3)＋(eq\f(2,3))2＋(eq\f(2,3))3]解得a＝eq\f(27,38).3．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k)(k＝1,2，…)．则P(2<ξ≤4)等于()A.eq\f(3,16)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16)D.eq\f(5,16)答案A解析P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).二、填空题4．设随机变量X的概率分布为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P＝(|X－3|＝1)＝________.答案eq\f(5,12)解析eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，解得m＝eq\f(1,4)，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).5．随机变量η的分布列如下：η123456P0.2x0.350.10.150.2则①x＝________；②P(η>3)＝________；③P(1<η≤4)＝________.答案①0②0.45③0.456．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的分布列为________．解析ξ可能取的值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15)，又P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(2,4)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,30)，∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(7,15)－eq\f(1,30)＝eq\f(3,10).∴ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,5)eq\f(7,15)eq\f(3,10)eq\f(1,30)7.盒中装有8个乒乓球，其中6个新的，2个旧的，从盒中任取2个来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数ξ是一个随机变量，请填写以下ξ的分布列.ξ234P答案ξ234Peq\f(1,28)eq\f(3,7)eq\f(15,28)解析“ξ＝2”表示用完放回后盒中只有2个旧球，所以在取球时已经将原来2个旧球全部取出，∴P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,)2,C\o\al(2,)8)＝eq\f(1,28).“ξ＝3”表明原来2个旧球只取1个，∴P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,)6C\o\al(1,)2,C\o\al(2,)8)＝eq\f(3,7).“ξ＝4”表明原来2个旧球1个不取．∴P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(2,)6,C\o\al(2,)8)＝eq\f(15,28).三、解答题8．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．解析本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ听从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.它的可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(22,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(1,35).所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(22,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)9.某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．对于C，因犯难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1,2).同样也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f(1,3).在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)．解析随机变量X的分布列是X123Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)10.有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元、20元、30元、40元、50元．从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列．解析ξ的可能取值为30,40,50.P(ξ＝30)＝eq\f(1,C\o\al(3,)5)＝eq\f(1,10)，P(ξ＝40)＝eq\f(C\o\al(2,)3,C\o\al(3,)5)＝eq\f(3,10)，P(ξ＝50)＝eq\f(C\o\al(2,)4,C\o\al(3,)5)＝eq\f(3,5)，分布列为ξ304050Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)11.从一批含有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的可能性相同，在下列三种状况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列：(Ⅰ)每次取出的产品都不放回此批产品中；(Ⅱ)每次取出的产品都马上放回此批产品中，然后再取出一件产品；(Ⅲ)每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．解析(Ⅰ)随机变量X的取值为1,2,3,4，且有P(X＝1)＝eq\f(10,13)，P(X＝2)＝eq\f(3,13)×eq\f(10,12)＝eq\f(5,26)，P(X＝3)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,12)×eq\f(10,11)＝eq\f(5,143)，P(X＝4)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,12)×eq\f(1,11)×eq\f(10,10)＝eq\f(1,286)，∴X的分布列为X1234Peq\f(10,13)eq\f(5,26)eq\f(5,143)eq\f(1,286)(Ⅱ)Y的取值为1,2,3，…，n，…且P(Y＝1)＝eq\f(10,13)，P(Y＝2)＝eq\f(3,13)×eq\f(10,13)，P(Y＝3)＝eq\f(3,13)×eq\f(3,13)×eq\f(10,13)，……，P(Y＝n)＝(eq\f(3,13))n－1×eq\f(10,13)，(n＝1,2,3……)∴Y的分布列为Y123…n…Peq\f(10,13)eq\f(3,13)×eq\f(10,13)(eq\f(3,13))2×eq\f(10,13)…(eq\f(3,13))n－1×eq\f(10,13)…(Ⅲ)Z的取值为1,2,3,4且P(Z＝1)＝eq\f(10,13)，P(Z＝2)＝eq\f(3,13)×eq\f(11,13)＝eq\f(33,132)P(Z＝3)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,13)×eq\f(12,13)＝eq\f(72,133)，P(Z＝4)＝eq\f(3,13)×eq\f(2,13)×eq\f(1,13)×eq\f(13,13)＝eq\f(6,133)，∴Z的分布列为Z1234Peq\f(10,13)eq\f(33,132)eq\f(72,133)eq\f(6,133)12.某争辩机构预备进行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线老师参与，使有不同版本教材的老师人数如下表所示：版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(1)从这50名老师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的老师发言，设使用人教A版的老师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析(1)从50名老师中随机选出2名的方法数为Ceq\o\al(2,50)＝1225.选出2人使用版本相同的方法数为Ceq\o\al(2,20)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,10)＝350.故2人使用版本相同的概率为：P＝eq\f(350,1225)＝eq\f(2,7).(2)∵P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(3,17)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(60,119)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,35))＝eq\f(38,119)，∴ξ的分布列为ξ012Peq\f(3,17)eq\f(60,119)eq\f(38,119)13.亚洲联合馆(一)与欧洲联合馆(一)分别位于上海世博展馆的A片区与C片区：其中亚洲联合馆(一)包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆等6个展馆；欧洲联合馆(一)包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆等4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆(一)与欧洲联合馆(一)中的10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆(一)的展馆的个数，写出X的分布列并求X的数学期望．解析(1)旅游团从亚洲联合馆一与欧游联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为Ceq\o\al(4,10)＝210，记大事A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必需再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是Ceq\o\al(2,8)＝28，所以P(A)＝eq\f(28,210)＝eq\f(2,15).(2)依据题意可知X可能的取值为0,1,2,3,4.X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(4,10))＝eq\f(1,210)，X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(24,210)，X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(90,210)，X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(3,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(80,210)，X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,6),C\o\al(4,10))＝eq\f(15,210).所以X的分布列为：X01234Peq\f(1,210)eq\f(24,210)eq\f(90,210)eq\f(80,210)eq\f(15,210)X的数学期望为EX＝0×eq\f(1,210)＋1×eq\f(24,210)＋2×eq\f(90,210)＋3×eq\f(80,210)＋4×eq\f(15,210)＝eq\f(252,105).拓展练习·自助餐1．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解析(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X的分布列为：X－32510P0.020.080.180.72(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥eq\f(14,5)，又n∈N，得n＝3，或n＝4.所以P＝Ceq\o\al(3,4)×0.83×0.2＋Ceq\o\al(4,4)×0.84＝0.8192.故所求概率为0.8192.2．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列．(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为Ceq\o\al(3,10)，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,7)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为大事A.“恰好取出1件一等品和2件三等品”为大事A1，“恰好取出2件一等品”为大事A2，“恰好取出3件一等品”为大事A3.由于大事A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,40)，P(A2)＝P(X＝2)＝eq\f(7,40)，P(A3)＝P(X＝3)＝eq\f(1,120)，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,40)＋eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(31,120).3．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则连续进行．求抽取次数ξ的分布列和数学期望．解析(1)记大事A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，所以P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(1,5).(2)ξ可取1,2,3,4.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,4))＝eq\f(3,20)，P(ξ＝4)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,6))·eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(1,5))·eq\f(C\o\al(1,1),C\o\al(1,4))·eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,3))＝eq\f(1,20)；故ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(3,20)eq\f(1,20)Eξ＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,20)＝eq\f(7,4).答：ξ的数学期望为eq\f(7,4