《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：3章末小结

第三章章末小结1.一元二次不等式的解法设a>0,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1<x2,对于一元二次不等式ax2+bx+c>0.若Δ=b2-4ac>0,则其解集为{x|x>x2或x<x1};若Δ=0,则其解集为{x|x≠-};若Δ=b2-4ac<0,则其解集为对于一元二次不等式ax2+bx+c<0,若Δ=b2-4ac>0,则其解集为

;若Δ=b2-4ac≤0,则其解集为若a<0,则先将a转化为正数,再用上述规律求解.2.线性规划(1)在直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示Ax+By+C=0某侧全部点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式Ax+By+C≥0表示区域时则包括边界,把边界画成实线.(2)画二元一次不等式表示的平面区域常接受“直线定界,特殊点定域”的方法,特殊地,当C≠0时,常把原点(0,0)作为测试点.

(3)在求z=ax+by的最值时,确定要留意线性目标函数z=ax+by中b的符号,若b>0,当直线过可行域且在y轴上的截距最大时,z值最大,在y轴上的截距最小时,z值最小;若b<0,当直线过可行域且在y轴上的截距最小时,z值最大,在y轴上的截距最大时,z值最小.(4)求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的格式与步骤:①查找线性约束条件,线性目标函数;②画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,即作出可行域;③在可行域内求目标函数的最优解.3.基本不等式(1)两个重要不等式假如a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号);

假如a,b∈(0,+∞),那么

≥(当且仅当a=b时取等号).

(2)两个重要不等式的常见变形①a2+b2≥

;

②ab≤

;

③ab≤()2;

④()2≤

;

⑤+≥2(a,b同号);

⑥≥

≥

≥

(a,b>0).

(3)两个重要的结论①x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值),那么当x=y时,x+y有最小值2;

②x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),那么当x=y时,xy有最大值

.

在利用基本不等式求最值时,确定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件,即每项都是正值,和或积是定值,全部的等号能同时取得.而二定这个条件是对不等式进行奇异拆分、组合、添加系数等使之变成可用基本不等式的形式的关键.三相等,指等号成立时的参数取值存在,若不存在,则此时无最值;假如要多次用基本不等式求最值,必需保证多次取等号的全都性.4.不等式的综合问题(1)不等式恒成立问题①判别式法:ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔

,ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔

.

②转化法:f(x)>0恒成立⇔f(x)min>0;

f(x)<0恒成立⇔f(x)max<0.

③分别参数法:f(x)-a>0恒成立(a为参数)⇔a<f(x)min.不等式的证明方法有:比较法、综合法、分析法、反证法等.其中比较法是证明不等式的最基本方法,在证明过程中是作差还是作商,完全因题而异,需要具体问题具体分析.(2)解不等式应用题的基本步骤:①阅读理解材料,即审题:要求要领悟问题的实际背景,确定题目中量与量之间的关系,初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路,明确解题方向.②建模:即依据分析,把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确定下一步的努力方向.③求解:依据建立的数学模型和题目要求,争辩与结论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.④结论:依据上面得到的理论参数值,结合题目要求得出问题的结论.(3)不等式的应用格外广泛,它贯穿于整个高中数学的始终,它与各个章节的学问都能很好地融合在一起,不等式的应用可体现在以下几个方面:①求函数的定义域、值域和最大、最小值问题;②推断函数的单调性及单调区间;③利用不等式争辩方程根的分布以及根的个数;④解决生活中的一些优化问题.题型一:不等式性质及应用有下列5个命题:①若ax>b,则x>;②若a2x-1>a2y-1,则x>y;③若>,则vx>μy;④若a>b,c<d,abcd≠0,则>;⑤若<<0,则ab<b2.其中正确的为.(填上你认为正确的命题编号)

【方法指导】利用不等式的性质进行逐个推断即可,在利用性质时确定要留意每共性质成立的条件.【解析】①若a≤0,则不成立;②成立;③只有当vy>0时才成立;④如3>-2,-6<-3,但<,故不正确;⑤∵<<0,∴ab>0,∴ab·<ab·,即b<a.又b<0,∴b2>ab,故正确.故其中正确的有②⑤.【答案】②⑤【小结】本题主要考查不等式性质及应用,推断不等式是否成立,除了利用不等式学问(如比较法)进行推理外,还要擅长举反例来说明命题的错误.另外,还可以用特殊值法更快捷地解决问题,本题要求同学精确     把握学问,正确解题,不要因一个小题而导致整个大题错.题型二:一元二次不等式及其解法已知函数f(x)=则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是().A.[-1,-1]B.(-∞,1]C.(-∞,-1]D.[--1,-1]【方法指导】由于给出的f(x)是一个分段函数,因此,要求对f(x+1)中的x+1进行争辩,进而将所求不等式转化为不等式组来解.【解析】由题意得或所以或即x<-1或-1≤x≤-1,故不等式的解集是,从而选C.【答案】C【小结】本题以分段函数为背景,考查分类争辩思想及一元一次不等式和一元二次不等式的解法,故按x+1<0,x+1≥0的不同状况分别代入不同的解析式,将不等式转化为两个不等式组求解.本题解题关键是将不等式中f(x+1)用x表示出来,而同学在进行分类争辩时,易被卡住,要找到对参数分类争辩的缘由,确定好分类标准,层次清楚地求解.题型三:线性规划问题实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为.

【方法指导】目标函数中含有确定值,可以考虑确定值的几何意义,也可通过观看确定值内的代数式的符号作出推断.【解析】(法一)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=·,即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得B点坐标为(7,9),明显点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.(法二)由图可知,阴影区域内的点都在直线x+2y-4=0的上方,明显此时有x+2y-4>0,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为一般的线性规划问题.明显当直线经过点B时,目标函数取得最大值,zmax=21.【答案】21【小结】解决这类问题时需充分把握目标函数的几何含义,在几何含义的基础上加以处理,即方法一的处理方法.另外,方法二是在充分争辩可行域的基础上对问题作出等价处理,针对本题,也不失为一种好方法.题型四:实际应用题制造甲、乙两种烟花,甲种烟花每枚含A药品3g、B药品4g、C药品4g,乙种烟花每枚含A药品2g、B药品11g、C药品6g.已知每天原料的使用限额为A药品120g、B药品400g、C药品240g.甲种烟花每枚可获利2元,乙种烟花每枚可获利1元,问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大?【方法指导】依据题意,设出未知数,理清变量间的关系,进而可得到线性约束条件,列出目标函数求解.【解析】设每天生产甲种烟花x枚,乙种烟花y枚,获利为z元,则作出可行域如图所示.目标函数为:z=2x+y.作直线l:2x+y=0,将直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点A且与原点的距离最大.此时z=2x+y取最大值.解方程组得答:每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚,能使利润总额达到最大.【小结】本题是线性规划的实际应用问题,关键是要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所争辩的目标函数,通过数形结合解答问题.考纲要求“会从实际情景中抽象出一些简洁的二元线性规划问题,并加以解决”,这是考纲对实际力气考查的要求,所以应娴熟把握实际问题中线性规划问题的解法.其一般步骤是:①分析题意设出未知量;②列出线性约束条件;③利用数形结合进行求解;④作答.题型五::基本不等式及其应用设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是(A.2B.4C.2【方法指导】对代数式2a2++-10ac+25c2进行化简【解析】2a2++-10ac+=(a-5c)2+a=(a-5c)2+ab++a(a-b)+≥0+2+2=当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1,即a=2b=5c=时等号成立,此时2a2++-10ac+【答案】B【小结】本题的解题关键是对代数式2a2++-10ac+25c2进行化简,观看代数式可知,其中有两个分式和,而代数式中没有毁灭ab与a(a-b)的形式,需依据已知条件配凑出来题型六::不等式恒成立问题已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.【方法指导】要使f(x)≥a恒成立,易知只需a≤f(x)min即可,这样就将题目转化为求f(x)最值的问题,明显这里要争辩对称轴x=a与区间[-1,+∞)的关系.【解析】f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为x=a,①当a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)=2a+3要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a<-1②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.综上所述,所求a的取值范围为[-3,1].【小结】解不等式的恒成立问题,通常是利用转化的思想,借助函数方程思想及函数图象,求得函数的最值,然后变成解不等式问题,即若x∈[a,b]时,f(x)≥c恒成立,只要求得在[a,b]上f(x)的最小值f(x)min.解不等式f(x)min≥c即可;若x∈[a,b]时,f(x)≤c恒成立,只要求得在[a,b]上f(x)的最大值f(x)max,解不等式f(x)max≤c即可.对这类问题的解题方法不熟是解题的障碍点.1.(2021年·北京卷)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2.求得m的取值范围是().A.(-∞,) B.(-∞,)C.(-∞,-) D.(-∞,-)【解析】如图,要使可行域存在,必有m<1-2m,由于可行域上存在y=x-1直线上的点,所以需要边界点(-m,1-2m)在直线y=x-1上