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文档简介
定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法我们用换元法计算不定积分时,没有考虑原变量x与新变量t的取值范围,如果用换元法计算定积分,原积分变量x与新变量t的变化区间会有所不同,即积分区间会随之改变,而且我们还必须要求新的积分区间应该是唯一的,这就要求代换函数x=φ(t)具有连续导数且反函数有单调性.我们用下面的定理介绍这个方法.定理1
设f(x)在[a,b]上连续,函数x=φ(t)满足(1)φ(α)=a,φ(β)=b;(2)φ(t)在[α,β]或[β,α]上具有连续导数且值域为[a,b],则有(5-4)可以看出:我们只要计算在新的积分变量下,新的被积函数在新的积分区间的积分值,从而避免了积分后新变量要代回到原变量的麻烦.一、定积分的换元法证如果∫f(x)dx=F(x)+c,则∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F[φ(t)]+c,于是一、定积分的换元法(1)定积分的换元与不定积分的换元的不同之处在于:定积分在换元之后,积分上、下限也要作相应的变换,即“换元必换限”,并且换元之后不必回代;(2)由φα=a,φβ=b确定的α,β,可能α>β,也可能α<β.但对新变量t的积分来说,一定是α对应于x=a的位置,β对应于x=b的位置.注意一、定积分的换元法【例1】一、定积分的换元法【例2】一、定积分的换元法
可以看出,这时由于没有进行变量代换,积分区间不变,计算更简便【例3】一、定积分的换元法【例4】一、定积分的换元法【例5】一、定积分的换元法
一、定积分的换元法【例7】一、定积分的换元法【例8】一、定积分的换元法【例9】一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法设u=u(x),v=v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,则(uv)′=u′v+uv′.即uv′=(uv)′-u′v.等式两端取x由a到b的积分,即得(5-5)或写为.(5-6)式(5-5)或式(5-6)称为定积分的分部积分法.由不定积分和定积分的分部积分公式可看出,定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法类似,只要注意计算定积分的积分上限与积分下限原函数值的差即可.【例10】二、定积分的分部积分法【例11】二、定积分的分部积分法
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