2024-2025学年山西省晋中市部分学校九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年山西省晋中市部分学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四1．（3分）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝x2+5 D．y＝2x﹣72．（3分）如图，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．若∠A＝20°（）A．10° B．20° C．30° D．40°3．（3分）榫卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的一种结构方式．它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯结构加固物件，这是其中一种榫，其俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定5．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到新的函数图象的表达式为（）A．y＝2（x+3）2+6 B．y＝2（x+3）2﹣6 C．y＝2（x﹣3）2﹣6 D．y＝2（x﹣3）2+66．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列结论中，错误的是（）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小7．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点（方格纸中小正方形的顶点）上，则tanB的值为（）A． B． C． D．28．（3分）如图，在小孔成像的实验中，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为50cm．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时（）A．25cm B．50cm C．100cm D．150cm9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象和二次函数y＝kx2﹣bx的图象可能是（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+3，其中﹣2≤x≤t+2，当且仅当x＝﹣2时；当x＝1时，函数取得最小值（）A．﹣1≤t＜2 B．﹣1≤t＜0 C．2≤t＜4 D．t≥﹣1二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根分别为a，b，则a+b的值为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数，k＞0，x＞0）的图象上，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为2．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接CE．若AB＝2，则△CBE的面积为．14．（3分）《在故宫，看见龙》栏目展示了一系列中国古代文物中的“龙”，晨旭同学用这些图片做成了四个大小一样，洗匀后，扣在桌面上，记下结果后放回，搅匀后再随机抽取一张．明嘉靖黄地矾红彩海水云龙纹盖罐清康熙青花龙纹瓶明宜德青花矾红彩海水龙纹碗清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶15．（3分）如图，P是线段AB上的一动点（不与点A，B重合），分别以PA，连接CD．若AB＝4，则四边形ABCD面积的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程16．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．（2）计算：tan45°+2sin30°﹣3cos60°．17．（7分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（单位：km/h）与所用时间t（单位：h），其中60≤v≤120．（1）求平均速度v关于所用时间t的函数表达式，并写出t的取值范围．（2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙地18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（8，0），C（11，4）（网格中每个小正方形的边长为1）．（1）以点B为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出△ABC的位似图形△A1BC1和△A2BC2，使得画出的图形与△ABC的相似比为1：2．（2）在（1）的作图下，连接A1C2和A2C1：①直接写出四边形A1C2A2C1的形状．②求四边形A1C2A2C1的面积．19．（7分）如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示．（1）请在网格中画出它的左视图和俯视图．（2）如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加个同样大小的小正方体．20．（7分）图1、图2分别是某种型号的阅读支架的实物图与示意图．如图2，AB表示底座，BC表示支架杆（望向面板中心N的视线ON与水平线OM的夹角∠MON），且视线ON与面板CD成直角．此时测得BC＝15cm，DC＝24cm，∠ABC＝37°．（1）填空：∠BCD＝；（2）求支架上方边界D距离桌面的高度．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）21．（9分）阅读与思考阅读以下材料，并按安求完成相应的任分．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tan15°时，可构造如图所示的图形．在Rt△ACB中．∠C＝90°，设AC＝x，延长CB至点D，连接AD，易知∠D＝15°，任务．（1）请根据上面的步骤，tan15°＝．（2）请类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，请你直接写出tanA的值．22．（12分）综合与实践某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，这种水杯的日销售量y（个）与销售单价x（元）（1）求y与x的函数关系式．（2）当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）因原材料价格发生变动，该种水杯的进价变为m元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．在实际销售过程中，求m的最小值．23．（13分）综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的表达式．（2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积．（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，请说明理由．

2024-2025学年山西省晋中市部分学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CBAADCBDCA一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四1．（3分）下列函数关系式中，y一定是x的二次函数的是（）A．y＝ax2+bx+c B． C．y＝x2+5 D．y＝2x﹣7【解答】解：当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，则A不符合题意；y＝不符合二次函数的定义；y＝x2+8符合二次函数的定义，则C符合题意；y＝2x﹣7不符合二次函数的定义，则D不符合题意；故选：C．2．（3分）如图，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．若∠A＝20°（）A．10° B．20° C．30° D．40°【解答】解：在Rt△ABC中，D是边AB的中点．∴CD＝AB＝AD，∴∠DCA＝∠A＝20°，故选：B．3．（3分）榫卯，是一种中国传统建筑、家具及其他器械的一种结构方式．它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯结构加固物件，这是其中一种榫，其俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：该几何体的主视图是：．故选：A．4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定【解答】解：Δ＝（﹣m）2﹣4×4×（﹣1）＝m2+4∵m2≥0，∴Δ＝m2+4＞0．∴关于x的一元二次方程x5﹣mx﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）将二次函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到新的函数图象的表达式为（）A．y＝2（x+3）2+6 B．y＝2（x+3）2﹣6 C．y＝2（x﹣3）2﹣6 D．y＝2（x﹣3）2+6【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象先向右平移8个单位长度，再向上平移6个单位长度2+7，故选：D．6．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列结论中，错误的是（）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小【解答】解：A、∵a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，故A不符合题意；B、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣4）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x＝4，故B不符合题意；C、∵y＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣6，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），故C符合题意；D、∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣7）2﹣2，∴当x＞8时，y随x的增大而减小，故D不符合题意；故选：C．7．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点（方格纸中小正方形的顶点）上，则tanB的值为（）A． B． C． D．2【解答】解：如图：设每一个小正方形的边长为1，在Rt△ABD中，AD＝3，∴tanB＝＝＝，故选：B．8．（3分）如图，在小孔成像的实验中，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为50cm．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的一半时（）A．25cm B．50cm C．100cm D．150cm【解答】解：如图，AA′与BB′交于点O，由题意可得AB∥A′B′，∴△AOB∽△A'OB'，∵蜡烛焰AB是像A'B'的一半，∴AB到光屏与A'B'到光屏的距离比值为1：2，设蜡烛与光屏之间水平距离为xcm，根据题意可得＝，解得：x＝150，经检验，x＝150是原方程的解，则蜡烛与光屏之间水平距离为150cm．故选：D．9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象和二次函数y＝kx2﹣bx的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、∵二次函数y＝kx2﹣bx的图象过点（0，4），∴选项A不可能；B、由一次函数图象可知，b＜0，由二次函数图象可知，k＞0＞0，b＞0，故选项B不可能；C、由一次函数图象可知，b＜7，由二次函数图象可知，k＞0＜5，b＜0，故选项C可能；D、由一次函数图象可知，b＜0，由二次函数图象可知，k＜8＜0，b＞3，故选项D不可能；故选：C．10．（3分）已知二次函数y＝（x﹣1）2+3，其中﹣2≤x≤t+2，当且仅当x＝﹣2时；当x＝1时，函数取得最小值（）A．﹣1≤t＜2 B．﹣1≤t＜0 C．2≤t＜4 D．t≥﹣1【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2+8的对称轴为直线x＝1，∴当x＝﹣2或x＝4时函数值相等，∵﹣2≤x≤t+2，当且仅当x＝﹣3时，∴t+2＜4，即t＜2，又∵当且仅当x＝1时，函数取得最小值，∴t+2≥7，即t≥﹣1，∴﹣1≤t＜3，故选：A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）关于x的一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两个根分别为a，b，则a+b的值为﹣3．【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数，k＞0，x＞0）的图象上，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为24．【解答】解：∵点A在反比例函数y＝（k为常数，x＞0）的图象上，∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAB＝|k|，∵△OAB的面积为2，∴|k|＝2，∵k＞0，∴k＝7．故答案为：4．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接CE．若AB＝2，则△CBE的面积为．【解答】解：∵正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，∴BE＝AB＝BC＝2，∠ABE＝∠EBC＝45°，如图，过点E作EF⊥BC于点F，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF＝BE＝，∴△CBE的面积＝BC•EF＝＝．故答案为：．14．（3分）《在故宫，看见龙》栏目展示了一系列中国古代文物中的“龙”，晨旭同学用这些图片做成了四个大小一样，洗匀后，扣在桌面上，记下结果后放回，搅匀后再随机抽取一张．明嘉靖黄地矾红彩海水云龙纹盖罐清康熙青花龙纹瓶明宜德青花矾红彩海水龙纹碗清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶【解答】解：用A、B、C、D分别表示黄地矾红彩海水云龙纹盖罐、青花矾红彩海水龙纹碗．画树状图为：共有16种等可能的结果，其中她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的结果数为1，所以她两次都抽到“清乾隆白色地套红色玻璃双龙赶珠瓶”的概率＝．故答案为：．15．（3分）如图，P是线段AB上的一动点（不与点A，B重合），分别以PA，连接CD．若AB＝4，则四边形ABCD面积的最小值是3．【解答】解：过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，∵△ADP和△BCP是等边三角形，∴KP＝APBP，CP＝BP，∴KT＝KP+TP＝AB＝2．设AP＝2m，则BP＝4﹣2m，∴AK＝KP＝m，BT＝PT＝2﹣m，∴DK＝AK＝mBT＝8﹣m．∴S△ADK＝m•m2，S△BCT＝（2﹣m）（4﹣m2﹣7m+2，S梯形DKTC＝（m+2﹣．∴S四边形ABCD＝m2+m2﹣2m+2＝m2﹣7m+4＝2+6．∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为6．故答案为：3．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程16．（10分）（1）解方程：x2﹣2x﹣8＝0．（2）计算：tan45°+2sin30°﹣3cos60°．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣4）（x+7）＝0，x﹣4＝6或x+2＝0，∴x6＝4，x2＝﹣2；（2）原式＝1+2×﹣3×＝2﹣＝．17．（7分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（单位：km/h）与所用时间t（单位：h），其中60≤v≤120．（1）求平均速度v关于所用时间t的函数表达式，并写出t的取值范围．（2）若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时24分至11时（含10时24分与11时）之间到达乙地【解答】解：（1）设v与t的函数关系式为v＝，将（4，60）代入v＝得，解得k＝240，∴v与t的函数表达式为v＝，∵60≤v≤120，∴t的取值范围为2≤t≤4；（2）当t＝时，v＝，当t＝3时，v＝，∴客车平均速度v的范围为80千米/小时≤v≤100千米/小时．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（8，0），C（11，4）（网格中每个小正方形的边长为1）．（1）以点B为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出△ABC的位似图形△A1BC1和△A2BC2，使得画出的图形与△ABC的相似比为1：2．（2）在（1）的作图下，连接A1C2和A2C1：①直接写出四边形A1C2A2C1的形状．②求四边形A1C2A2C1的面积．【解答】解：（1）如图，△A1BC1和△A3BC2即为所求．（2）①由题意得，A1C2∥AC∥A2C2，A5C1＝A2C8＝，∴四边形A3C2A2C6为平行四边形．由勾股定理得，AB＝，BC＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，即C1C2⊥A5A2，∴四边形A1C3A2C1为菱形．②由题意得，＝5，＝，∴A1A8＝10，C1C2＝3．∵四边形A1C2A4C1为菱形，∴四边形A1C2A2C1的面积为A1A5•C1C2＝＝25．19．（7分）如图，这是由5个同样大小的小正方体搭成的几何体，其从正面看到的形状如图所示．（1）请在网格中画出它的左视图和俯视图．（2）如果让该几何体变成一个长方体，那么至少需要添加7个同样大小的小正方体．【解答】解：（1）如图所示．（2）由题意得，该几何体变成一个3×2×8的长方体时，∴至少需要添加个3×2×2﹣5＝7（个）同样大小的小正方体．故答案为：8．20．（7分）图1、图2分别是某种型号的阅读支架的实物图与示意图．如图2，AB表示底座，BC表示支架杆（望向面板中心N的视线ON与水平线OM的夹角∠MON），且视线ON与面板CD成直角．此时测得BC＝15cm，DC＝24cm，∠ABC＝37°．（1）填空：∠BCD＝112°；（2）求支架上方边界D距离桌面的高度．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【解答】解：（1）过点N作NE∥OM，过点C作CF∥OM，由题意得：OM∥AB，∴OM∥EN∥CF∥AB，∴∠MON＝∠ONE＝15°，∵∠ONC＝90°，∴∠CNE＝∠ONC﹣∠ONE＝75°，∵EN∥CF，∴∠ENC＝∠NCF＝75°，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝37°，∴∠BCD＝∠DCF+∠BCF＝112°，故答案为：112°；（2）过点D作DH⊥CF，垂足为H，垂足为G，在Rt△DCH中，CD＝24cm，∴DH＝CD•sin75°≈24×0.97＝23.28（cm），在Rt△BCG中，BC＝15cm，∴CG＝BC•sin37°≈15×0.8＝9（cm），∴支架上方边界D距离桌面的高度＝23.28+9+7.5≈32.8（cm），∴支架上方边界D距离桌面的高度约为32.6cm．21．（9分）阅读与思考阅读以下材料，并按安求完成相应的任分．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如：在计算tan15°时，可构造如图所示的图形．在Rt△ACB中．∠C＝90°，设AC＝x，延长CB至点D，连接AD，易知∠D＝15°，任务．（1）请根据上面的步骤，tan15°＝2﹣．（2）请类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值．（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，请你直接写出tanA的值．【解答】解：（1）由题知，设AC＝x（x＞0），延长CB至点D，连结AD，∵∠ABC＝30°，AB＝BD，∴∠D＝∠DAB＝15°．在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝6x，∴BC＝＝x，∴CD＝2x+x．在Rt△ACD中，tanD＝＝＝2﹣，即tan15°＝2﹣，故答案为：6﹣；（2）延长CB到点D，使BD＝BA，∵∠ABC＝45°，AB＝DB，∴∠D＝∠DAB＝22.5°．令AC＝x，则BC＝x，∴AB＝＝x，所以BD＝AB＝x，则CD＝CB+DB＝x+x，在Rt△ACD中，tanD＝＝＝﹣1，即tan22.5°＝﹣1；（3）如图3，在Rt△BDC中，∴∠BDC＝7∠A，∵，∴tan∠BDC＝＝，设BC＝x，CD＝8x，∴BD＝AD＝＝x，∴AC＝CD+AD＝2x+x，∴tanA＝＝＝﹣3．22．（12分）综合与实践某商家销售一批具有中国传统文化意义的水杯，已知每个水杯的成本为20元，当地物价部门规定，这种水杯的日销售量y（个）与销售单价x（元）（1）求y与x的函数关系式．（2）当水杯的销售单价为多少时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）因原材料价格发生变动，该种水杯的进价变为m元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变．