2022年高考数学-专题26平面向量应用含答案

2022年高考数学-专题26平面向量应用

一、关键能力

理解平面向量数量积的含义及其物理意义；会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；

会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

二、教学建议

从近三年高考情况来看,本讲一直是高考中的一个热点内容.预测2022年高考将考查向量

数量积的运算、模的最值、夹角的范围.题型以客观题为主，试题难度以中档题为主，有时也会

与三角函数、解析几何交汇出现于解答题中.

三、自主梳理

1.向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下方面：

⑴证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减

法的意义.

⑵证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件：

Ra=46(或My?—x2yi=0)

⑶证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用

向量垂直的条件：♦6=0：或乂*2+乂/=0).

a'b

(4)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式弥56=国商_.

⑸向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐标系，

把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题.

2.向量在物理中的应用

数学中对物理背景问题主要研究下面两类：

(1)力向量

力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同,但力是具有大小和方

向的量,在不计作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力.

⑵速度向量

速度向量是具有大小和方向的向量，因而.可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合

速度.

四、高频考点+重点题型

例1T（判断点的位置）

（2021•济南市・山东师范大学附中）设尸为AABC所在平面上一点,且满足

PA+2PC=相通（m>0）,若八43P的面积为2,则△A6C面积为.

【答案】3

【解析】

1・2—tn——1.2.1—2.

由已知条件可得+=（机>0）,令尸O=+则可得=从而可

得。为AC上靠近。的三等分点，由历=葭丽，得而〃而，从而有

2

山郎=SJBD=-S.C=2,进而可求得答案

【详解】

解：因为用+2斤=相而（m>0）,

1—.2—•m—-

所以+§尸C=］AB（加>0）,

__1_9__1__1—2__2__

令尸上PA+—PC,贝1］一尸。一一PA=-PC——PD,

333333

1—.?—•

所以3AO=§OC,所以。为AC上靠近C的三等分点，

因为丽=］而，所以而〃通，

2

所以SJBP=S.ABD=~=2,

所以Sac=3,

故答案为：3

对点训练1.（2021•上海普陀区-高三二模）如图，在△A8C中，C=|,AC=y/3,BC=\,若

O为△ABC内部的点且满足卷+焉+禽=6,则网:阿：|囚=.

b

【答案】4:2:1

【解析】

根据已知的向量关系先分析出ZBOC=AAOB=ZAOC=120°,然后通过设NOC8=6,根据相

似三角形以及正弦定理找到网，函冈的关系，从而可求解出阿：|词：|因的结果.

【详解】

OAOBOCAOAOBOC

因为可,国+国=，所以网=国+同，

OBOC

所以1=1+1+211・cos'网］因,

OBOC1得离＞=120。

所以8s,扇'同＞二一5’所以I。蛆。4

即/BOC=120°,同理可知：ZBOC=ZAOB=ZAOC=120°,

不妨设/OCB=6,所以/OBC=60。一"

又因为。=5,AC=>/3,8c=1,所以A3=2,N/SC=60。，

所以/0%=60。_（60。_6）=6,所以/04^=180。_120。_g=60。_氏

所以aAOB〜△80C,所以铁=黑，所以QAOC=OB2；

BCOBOC

在3OC中,==

sinZBOC~sinZOCB~sinZOBC

1OBOC2出

所以sin120。=mZ=sin（60。-’所以°§二亍而氏

OBAB

又在aAOB中,

sinZOAB~s\nAAOB

OB2

所以丽询二茅旃，所以。人告4J3疝他叫,

2出4、八sin0c

所以一^-sin0=-^-sin（60。—。）,所以§小（60。-。）='

OBsin0OB

又因为工=5m（60。_6［所以元=2,

nA

又因为0400=082,所以斤二4,

V-XK-X

所以便|:|丽阿=4:2:1.

故答案为：4:2:1.

B

例1-2（两条直线垂直）

在△48C中，已知AB=AC=5,宓=6,M是边4C上靠近点A的一个三等分点,试问：在线段BM（端

点除外）上是否存在点E使得PC1BM?

【答案】线段加上不存在点。使得，C_L8断

【解析】［思路分析］本题是存在性问题,解题时利用共线向量，把向量滋的坐标设出，从而得

到加坐标,然后根据垂直关系,利用数量积为零得到问题的答案.

解：以8为原点,宓所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

•:AB=AC=5,BC=6,

「•8(0,0)J(3,4),C(6,0),

则%=(3,-4).

•••点附是边NC上靠近点A的一个三等分点,

(1,一3,

砺=(4,-).

*5

假设在8附上存在点夕使得PC1BM,

设赤=/I威且0</<1,

即雄=A防=A(4,1)=(4A,1A),

二雄=雄+赤=(-6,0)+(4A-A)=(4A-6-4).

J0

'/POLBM,：盖.雄=0,

88

得4(44—6)+-X-A=0,

oo

27

解得A=-

zo

27

丁A=宝£/(0.1),..・线段刚上不存在点户使得PC.LBM.

zo

对点训练1.(2021•江苏苏州市)我们知道，”有了运算，向量的力量无限”.实际上,通过向

量运算证明某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多

了.下面请用向量的方法证明“三角形的三条高交于一点”.已知AZ),BE,。/是AABC的三

条高,求证：AO,BE,CF相交于一点.

【答案】证明见解析.

【解析】

结合向量的数量积即可证明.

【详解】

如图，设小>口8七=〃，则钢_L而，HBLAC

71ABC=HA（lJC-HB）=0®

HBAC=71B（71C-71A）=O®

①-②得：麻•（丽-丽）=0,即麻.丽=0

故亚，丽，即SLAB,又C「_LAB

所以C,尸，”三点共线，

所以A。，BE,C77相较于一点.

例1-3（求线段的长）

（2021•济南市•山东省实验中学）在平面四边形力8⑦中，胫44a2/，对角线/IC与劭交

于点EE是8D的中点，且e=2应7；若AC=3,求劭的长.

【答案】4拉；

【解析】因为AC=3,所以AE=2,

又因为E是劭的中点,所以/=J（几十八），

所以|荏（二；（丽+而『

即网2=；（而+研=；（|研+阿+2相珂

所以16=4?+（20）2+2x4x2夜xcosNZMB,

解得：cos4DAB=———,

4

在△A3。中，利用余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2xABxADxcos/DAB

22

=4+(2>/2)-2X4X2>/2X=32

所以BD=46.

例1-4(证明角相等)

△48。是等腰直角三角形，NB=90。，。是边死的中点,BE1AD,垂足为E延长BE交4C于F,

连接班求证：4ADB=Z.FDC.

【答案】

［解析】如图,8为原点,8c所在直线为x轴建立直角坐标系，设3(0,2),C(2,0)，则0(1,0)，芥

(2,-2).

设赤=4宓

则赤=或+赤=(0,2)+(24,-2%)=(2儿2-2A).

又法=(-1,2),赤_1_汝・••赤・苏=0,

2

-2A+2(2-2A)=0,・•・A=~

0

赤=(|,|),赤=次一砺=(|,|).

又数（1,0）,IcosNA蚌二•1=当，

|丁|•陶5

赤•历亚

cosZFDC=————

I赤I・应I5

又匕ADB、NFDCeB,n）,AAADB=^FDC.

例1-5（判断证明三角形形状）

（2021•宁夏银川市・银川一中高三其他模拟（理））若。为aAH?所在平面内任意一点，且

满足元•（丽+元-2砺）=0,则△4/C的形状为.（填：等腰三角形、等边三角形、直

角三角形、等腰直角三角形）

【答案】等腰三角形

【解析】

取8C的中点。，根据平面向量的线性运算计算方+OC-2。（=24万,从而于是

AB=AC.

【详解】取8C中点。，连接4）,贝IJ赤+反=2而，又历-函=而，

OB+OC-2OA=2OD-2OA=2AD,丁BC*（OB+OC-2OA）=0,2BC.AD=0,

・二元，而；=「•△ABC的形状是等腰三角形.

故答案为：等腰三角形.

对点训练1.（2021•四川省内江市第六中学）已知非零向量而与正满足

（券+缁）阮=0,且而2=彷而则为（）

A.等腰非直角三角形B.直角非等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】0

【解析】

由而2=福而推出相配=0,由;溪j+缁）配=0推出I而l=l正I，则可得答案.

【详解】

由而2=而•丽，得丽•（丽一丽）=。，得福•（丽+册）=0,得福./=（），

所以A8_LAC,

所以"-映+婆-又匹=0

|\AB\\AC\\AC\

所以-1通|+|衣|=0,即|而|二|正l,

所以AABC为等腰直角三角形.

故选：C

例1-6(向量与三角恒等变换公式结合)

已知48c的坐标分别是4(3,0),8(0,3),C(cosa,sina).

⑴若I和=|南，求角a的值；

2sin2a4-sin2a

⑵若公.诙=—1,求-i+tana—的值•

【解析】⑴因为48,C的坐标分别是4(3,0),8(0,3),C(cosa,sina),

所以(cosa—3,sina),^C=(cosa,sina—3).

所以|尤7|=^/(cosa—3)2+(sina)2,

|南=y/(cos~a)2-|-(sin~a—3)2.

因为I成1=I选1,所以［(cosq_3)2+(sina)2=M(cosqy+(sina-3))即(cosa—

3)2+(sina)2=(cosa)2+(sina-3)2,

所以sina=cosa,所以tana=1,

n

所以a=4n+7~,〃£Z.

⑵由(1)知,(cosa—3,sina),"^C=(cosa,sina-3),

所以成・^=(cosa-3)cosa+sina•(sina-3)=1—3(sina+cosa)=-1.

2

所以sina+cosa=3,

所以(sina+cosa)2=1+2sinacosa=^3j.

5

所以2sinacosa=—9.

2sin2(7+sin2a2sin2a+2sinacosa5

所以1+tana=sina=2sinacosa=-9.

1+cosa

对点训练1.在△48C中，角48,C的对边分别为a",G且满足(/a—c)N-2?=

c~C^•可.

⑴求角8的大小；⑵若|罚一次|=机,求△48C面积的最大值.

【解析】(1)由题意得(隹a—c)cosB=bcosC.

根据正弦定理得(镜sinA-s'\nC)cos8=sinBoosC,

所以也sin74cos8=sin(C+5),

即/sinAcosB=sinA,因为/£(0,n),所以sinA>Q,

所以cos8=乎,又8W(0,n),所以B=-^.

⑵因为IN—7?|=yf6,所以|力|=y[6,即b=邓,

根据余弦定理及基本不等式得6=/I：/占心2%⑵/)/(当且仅当产6时

取等号)，

即acW3(2+R.

故△R8C的面积S=；acsin也

因此△彳比的面积的最大值为对|士^

考点二、向量与解析几何结合

例2T.已知48是半径为啦的。。上的两个点，罚・元=1,。0所在平面上有一点C满足

|罚+/-A|=1,则向量枳的模的取值范围是.

【解析】以0为原点，。所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,4啦,0).

由"=1,|罚|=|同=也

得N4Q8=卓于是《乎，乎,(^)入%

设C(x,y),则(x-|\^)+[_乎)=1

问题转为求圆，一处)+'一坐|?=1上一点到原点距离的取值范围，原点到圆心(|、在，坐

的距离为铜,圆的半径为1,••・I/I的取值范围为[^6-1.76+1].

【答案】[#-

例2-2.(2021•吉林吉林市•高三三模(文))已知A、8为平面上的两个定点，且|福卜2,该

平面上的动线段P。的端点P、Q,满足|丽|工5,罗.茄=6,而=-2AP.则动线段PQ所形成

图形的面积为()

A.36B.60C.72D.108

【答案】B

【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,根据网《5和茄.端=6,得到动点P在直线x=3上，且

-4<y<4,进而得到AP扫过的三角形的面积,再由而=-2AP，同理得到AQ扫过的三角形的

面积,两者求和即可.

【详解】

根据题意建立平面直角坐标系,如图所示：

则A(0,0),8(2,0),设P(x,y),

・・・Q=(x,y),AB=(2,0)；

由网45,得f+h25；

uuuimu

5l.APAB=6,

2x=6,x=3；

/.y2<16；

-4<y<4,

二动点P在直线x3上，且-4W”4,即线段⑺上,贝”国=8,

则心扫过的三角形的面积为Jx8x3=12,

设点2($,%)

\'AQ=-2AP,

・♦・&,%)=-2(乂y)=(-6,-2y),

•••V6,%=-2%

・•・动点。在直线x=-6上,fi-8<y<8,即线段MN上,则曲二16,

••・A。扫过的三角形的面积为《xl6x6=48,

,因此和为60,

故选：B.

对点训练1.已知平面上一定点0（2.0）和直线/：x=8,0为该平面上一动点，作PQ1/,垂足为

⑴求动点夕的轨迹方程；⑵若比为圆MV+（y-1）2=1的任一条直径，求无•赤的最值.

解析：⑴设P（x,y）,则。（8」）.

由（%南・（比一；南=0,

得I南2-力南2=0,

1

即（x—2）?+/—［（X—8）?=0,

22

化简得金+£=1.

161Z

22

XV

所以点夕在椭圆上,其方程为〃+*=1.

IDIZ

⑵因法•赤=（送一南•（肱■—施=（一走一南・（庐一南=麻一加=走一1,

2

X2v

P是椭圆市+石=1上的任一点,设P（*o,必），

1O1Z

则有4+冬=1,即此=16一”,又一0,1）,

16123

所以亦=必+（%一1）2=一；,一2%+17

1

=-7（K+3）2+20.

o

因心E[一2m,2，5],所以当y0=-3时,宓取得最大值20,故无•赤的最大值为19；

当必=2m时,正取得最小值为13—4第（此时照=0）,故走-曲的最小值为12-4^3.

考点三、向量在物理中的应用

例3.（2021・云南昆明市♦高三三模（理））两同学合提一捆书,提起后书保持静止,如图所示,

则”与鸟大小之比为

【答案】见

2

【解析】

物体处于平衡状态,所以水平方向的合力为0,然后可算出答案.

【详解】

物体处于平衡状态,所以水平方向的合力为0

一包「

所以同345。=园8s30。，所以卷=鬻|=去=*

1111

F2COS45°x/22

故答案为：业

2

对点训练1.（2021•全国高一课时练习）如图，重为1ON的匀质球，半径R为6cm,放在墙与均

匀的A8木板之间，A端锁定并能转动，3端用水平绳索8c拉住,板长钻=2（kvm与墙夹角为

a,如果不计木板的重量，则。为何值时,绳子拉力最小？最小值是多少？

A

【答案】。二60。时，j有最小值12N.

【解析】

-uu

设木板对球的支持力为利得到"’绳子的拉力为九化简得，利用三

角函数的基本性质和基本不等式,即可求解.

【详解】

如图所示，设木板对球的支持力为七则凡=也,

sina

1An-6

设绳子的拉力为f,又由AC=20cosa.a,

lari一

2

660

由动力矩等于阻力矩得JX20C°Sa=二区

N'a

sina・tan

22

f=--------------------=------------>---------------=_=12

所以20cosa.sina.tan^cosa(Jcosa)(cos£±l-cos£21，

224

当且仅当8sa=l-ca7a即cosa=g,即a=60°时，/有最小值12N.

对点训练2.【多选题】（2021•浙江高一期末）在水流速度为4石km/h的河水中，一艘船以

12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法

中，正确的是（）

A.这艘船航行速度的大小为126km/h

B.这艘船航行速度的大小为8石km/h

C.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150。

D.谟艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°

【答案】BD

【解析】

根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向

的夹角.

【详解】

设船的实际航行速度为V,,水流速度为匕，船的航行速度为匕，

根据向量的平行四边形法则可知：

匕=M=8百而/h,

设船的航行方向和水流方向的夹角为仇

19

所以3（180。一。）=1^=6,所以。=120?,

故选：BD.

2022年高考数学-专题26平面向量应用巩固训练

一、单项选择题

1.向量45满足同=1,帆|=&,(M+5)J_(2M—5),则向量值与B的夹角为()

A.45°B.60°C.90°D,120°

答案C

解析设向量〃与B的夹角为e.5),

/.(a-i-b)(2a-b)=2a2-b2+ab=2x\2-(yf2)2+\x>/2xcosO=O,^cos0=O,

・・・6w[0/],・・・6=90。.故选C.

2.已知点A,B,C在圆V+)7=1上运动,且AB±BC.若点P的坐标为(2,0),则|对+而+正|的最大

值为：)

A.6B.7C.8D.9

答案B

3.已知48,C是平面上不共线的三点.0为坐标原点,动点P满足加=；[(1—/)而+(1—乃加

+(1+24)•花],/l£R,则点P的轨迹一定经过()

A.ZUHC的内心B.△48C的垂心

C.△48。的重心D边的中点

答案C

解析取48的中点〃则2方=法+施

•・•赤=；[(1一人)加+(1-人)加+(1+2/1)两

・,•婷;[2(1-/1)加(14-24)^3=2加零，①

O0O

而"4^"+号4=1,：・p、c,。三点共线，

二点P的轨迹一定经过△/is。的重心.

4.已知在△48Cm,8C=#AC=2,点。为△?!宓的外心,若根届+）必则有序实数

对（X/）为（）

答案A

解析取力8的中点附和力。的中点N、连接OM,ON,则加JL施衣工加

成U办一勉=；励—（筋y能I=（J—，能—y^C

,南=就一根;而一（康）=（；一

由苏L施得（；一,宓一康・励=0,①

由加班得力赤一•*%・成=0,②

又因为宓=（选一施=能一2%・布+宓,

宓+宓一宓

所以成?-脑=③

2

1—2x+y=0,43

把③代人①、②得〉4+X—8尸。，解侍户目尸；

故实数对（XV）为低，I）.

5.在2ABC中，48=5J6=6,cos4=工0是XABC的内心,若?P=疵中施其中x,[0,1],

0

则动点夕的轨迹所覆盖图形的面积为()

A.-^C.4m0.672

答案B

解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,0C为邻边的平行四边形及

其内部,其面积为△80C的面积的2倍.

在△WB。中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

由余弦定理才=4+。2—26ccos4得a=7.

设△48。的内切圆的半径为广，则

；6csin>4=；(a+6+c)/,解得r=^^,

所以S△眦=；XaX〃=；X7X2^=4^.

故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2s△&%="四.

6.如图，已知平面四边形ABCD,AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点0.记/,=

如施/2=游,应仁选・赤则()D

A

A.A</2</3B.A</3</2(\/

C./3VA</2D./2V/、V/3

答案cBc

解析如图所示，四边形ABCE是正方形，尸为正方形的对角线的交点,易得A(KAF,而

90°,.\ZAOB与4COD为钝角，ZAOD与NBOC为锐角，根据题意/一/2=法・加一加-%=

滋•［法一亦=济・或=|游||法|-cosN加灰0,

A/i</2,同理仆人作AG1BD于G

又AB=AD、：.0鼠BG=GXOD,而OA<AF=FO.OC,

・・.|加|笳|<成||苏|,

而cosN/408=cosNC0ZKO,・•・笳・^>冼・近

即/i>/3.A/3</i</2.

二、多项选择题

7.已知向量〃;=(sinx,-G),3=(cosx,cos2x),函数/*)=2而i+百+1,下列命题,说法正确的

选项是()

A./(e一x)=2一/*)

B./仁-,的图像关于工=?对称

C.若0〈xv^v],则/(石)<〃”2)

D.若内,电，当£，则/(%)+/(々)>/(刍)

答案BD

解析函数/(x)=2sin(2x-?)+l,

A：当x=0时,/仁一[=/0=1,2—〃x)=2—〃0)=1+后故A错；

B：/^-x^=2sin(-2x)+l，当尤=：时,对应的函数值取得最小值为-1,所以B正确；

C:xG0,£时，,所以函数/(x)=2sin2x-g)+l在不单调，故C

错；

D：因为xw，所以，・••/(%)£[6+1,3],

又2(6+1)>3,即2/(力而n>/(x)1mxM,工2，七£,〃斗)+/(七)>/(王)恒成立，故D对;

故选：BD.

8.在△/48C中,7fe=c,%=a,而=6,在下列命题中，是真命题的为()

A.若A-»0,则为锐角三角形

B.若8•6=0,则△/宓为直角三角形

C.若身・6=c•"则△彳宓为等腰三角形

D.若(a+c—6)•(e+b—c)=0,则△4仍为直角三角形

答案BCD

解析①若a•力0,则N8"是钝角，△48。是钝角三角形，A错误；②若&"=0,则选

_1_成,/^8。为直角三角形,8正确您若&・6=°・6,6・(&-#=0,而・(减?一施=0,苏・(选

+或)=0,取4C的中点D,则法・肪=0,所以BA=BC,即△48C为等腰三角形,C正确；④若(a

2

+c-b)・(&+6—c)=0,则&2=(C—6)2,即6+4—4=26・G即2出||引=-cosA,由余弦

定理可得cos4=-cosA,即cos4=0,即彳=/，即。为直角三角形,D正确,综上真命题

为BCD.

三、填空题

9.在“宓中J8=2〃=6,或•宓=赤，点P是△被;所在平面内一点,则当班+电+宓取得

最小值时，赤-%=.

答案一9

解析•.•曲•能=|劭・|南・cosQ|珈2,

二.I渤•cosB=\"^A\=6,cL

・•・加施即公拳

以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，

则8(6,0),C(0,3),设P[x,y),

则赤+前+能=/+/+(%—6)2+y+x2+(y—3)2=3x2—12x+3y—6y+45=3[(x—2)2+(y

-1)2+10]

.♦.当x=2,y=1时,赤+磴+宓取得最小值，此时P(2,1),赤=(2,1),

此时赤•选=(2,1)■(-6,3)=-9.

10.平面上有三个点力(一2/),40,3c(x,y),若能，成Z则动点C的轨迹方程

答案：/=8x(xH0)

解析：由题意得疝=(2,一；,

选=(x,",又赤-L能•,•油・加=0,

即(2,一夕•(x,2=0,化简得:=8x(xH0).

11.已知|a|=2|b|#=0,且关于x的函数尸(x)V+a,6*在R上有极值,则向量a

与6

的夹角的范围是.

答案：停n

解析：设占与b的夹角为e.

f(x)=g父+；|a|f+a•bx.f(x)=?+|a|x+a•6.

.函数Hx)在R上有极值，，方程f+lalx+a。6=0有两个不同的实数根,

自2

即△=|e|2—4e■b>0.a•b<-

又・.・ai=2i=力o,

Q

八a-b411

‘c°s°即ege<-

~2

又「6£[0,n],・•・n.

12.已知A48C的顶点AE平面。，点RC在平面a异侧，且AB=2,AC=6，若A瓦AC与a

所成的角分别为2则线段3C长度的取值范围为_____.

36

答案/

解析

如图所示：

分别过反。作底面的垂线,垂足分别为名，6./“廿/

由已知可得，BB}=y/3,CC,=^,^,=1,AG=］.

22

配=函+瓯+配，

反2二网+而+录)2=时+而2+束2+2函年=3+瓯2+3+3二西2+艾而

卜福H阿忖麻旧阿卜1同，

.二当AB,AC所在平面与。垂直，且B,C在底面上的射影.G,在A点同侧时，8C长度最小,

此时瓯卜网—网=|-l=g,BC最小为崎1=5；

当AB,AC所在平面与。垂直，且aC在底面上的射影与，G，在A点异侧时，8C长度最大，此

时瓯卜河+照=|+1=|,8C最大为何

••・线段BC长度的取值范围为［,

故答案为：［«,屈］.

四、解答题y

13.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点4(1,0)和点8(—\

—BoAx

1,0),|%|=1,且/力仇=氏其中