【同步辅导】2021高中数学北师大版选修2-3学案：《排列》

第4课时排列1.理解排列、排列数的概念,把握排列数公式的推导,从中体会“化归”的数学思想.2.能用“树型图”写出一个排列中全部的排列;能用排列数公式计算.5月1日,小王、小刘、小赵等6名同学与李老师一起外出郊游.在游兴正浓之际,小王提议大家一起合影,把奇特的山水风景与老师、同学的身影一起发给班里的每一位同学.大家齐声叫好,并全都提议李老师排中间.小王说:“我与老师排在一起.”小刘说:“我不与小王排在一起.”而小赵说:“我要与小刘排在一起.”其他三位同学说:“我们任凭.”于是,大家排了队,合了影,兴奋极了.在回学校的路上,李老师提了一个问题:“我们7个人排队,刚才大家提出了各自的要求,那么,符合你们这些要求的排法共有多少种呢?”你能帮他们计算一下吗?问题1:排列的概念从n个元素中,任取m(m≤n)个元素,依据排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的.

说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按肯定的挨次排列.(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列挨次也相同.问题2:排列数的定义从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的的个数叫作从n个元素中取出m个元素的,用符号表示.

问题3:排列数公式及其推导由An2的意义:假定有排好挨次的2个空位,从n个元素a1,a2,…,an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,因此,全部不同的填法的种数就是排列数An2.由分步计数原理完成上述填空共有种填法,所以由此,求An3可以按依次填3个空位来考虑,∴An3=,求Anm以按依次填m个空位来考虑Anm=,得排列数公式如下:Anm=(m,问题4:阶乘的概念n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个不同元素的一个,这时Ann=.把正整数1到n的连乘积,叫作,表示,即Ann=,1.89×90×91×92×…×100可表示为().A.A10010B.A10011C.2.甲、乙、丙、丁四人轮番读同一本书,则甲首先读的支配方法种数为().A.24 B.12 C.6 D.33.若Anm=17×16×15×…×5×4,则n=,m=4.从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个?无限制条件的排列问题有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人.有限制条件的排列问题有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必需排在两端;(3)男女相间.利用排列数公式进行计算、化简或解方程解方程:3Ax3=2Ax+16个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是.

把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的挨次排列成一个数列.(1)43251是这个数列的第几项?(2)这个数列的第97项是多少?解方程:3A8x=41.四支足球队进行主客场制的足球竞赛,竞赛的总场次为().A.6 B.12 C.16 D.242.在数字1,2,3与符号“+”,“-”五个元素的全部全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是().A.6 B.12 C.18 D.243.有8人排成一排,甲、乙必需分别紧靠站在丙的两旁,排法共有种.

4.有5个人并排站成一排,假如甲必需在乙的右边,则不同的排法有多少种?(2021年·山东卷)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为().A.243 B.252 C.261 D.279考题变式(我来改编):第4课时排列学问体系梳理问题1:不同肯定的挨次一个排列问题2:全部排列排列数A问题3:n(n-1)n(n-1)n(n-1)(n-2)n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)n·(n-1)·(n-2)·…·(n-m+1)问题4:全排列n·(n-1)·(n-2)·(n-3)·…·2·1n的阶乘n!n!0!=1基础学习沟通1.C由题意知n=100,∴100-m+1=89,∴m=12.2.C甲在首位,相当于乙、丙、丁全排,即3!=3×2×1=6.3.1714由题易知n=17,又∵4=17-m+1,∴m=14.4.解:由于从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,分数的值各不相同,所以不同值的分数的个数等于从这五个数字中任取2个数字的排列数A52=5×4=重点难点探究探究一:【解析】(1)从7个人中选5个人来排列,有A75=7×6×5×4×3=2520(2)分两步完成,先选3人排在前排,有A73种方法;余下4人排在后排,有A44种方法,故共有A73·A44=5040种.事实上,本小题即为【小结】对于无限制条件的排列问题,常用直接法,即把符合条件的排列数直接列式计算.探究二:【解析】(1)(法一)(元素分析法)先排甲有6种,其余有A88故共有6·A88=241920(法二)(位置分析法)中间和两端有A83种排法,包括甲在内的其余6人有A66种排法,故共有A8(法三)(等机会法)9个人的全排列数有A99种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的排法总数是A99×69(法四)(间接法)A99-3·A88=6(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有A22·A7(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法,再将5名女生插空,有A55种方法,故共有A4【小结】本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排解法)、等机会法、插空法等常见的解题思路.探究三:【解析】由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=23,∴原方程的解为x=5或x=2[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确,应用Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!时,要留意隐含条件m,n∈N由排列数公式得:3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3x2-17x+10=0,解得x=5或x=23,∵x≥3,且x∈N+,∴原方程的解为x=5【小结】(1)解含排列数的方程和不等式时要留意排列数Anm中,m,n∈N+且m≤n这些限制条件,(2)公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)常用来求值,特殊是m,n均为已知时,公式Anm思维拓展应用应用一:720前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共A66=720应用二:(1)不大于43251的五位数有A55-(A44+A33+A22)(2)此数列共有120项,而以5开头的五位数恰好有A44=24个,所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项,即应用三:∵3·8∴x=6或x=13(舍去).即原方程的解为x=6.基础智能检测1.B相当于从4支球队中选出2支球队的排列,共有A42=122.B先排列1,2,3,有A33=6种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有A22=2种方法,共有12种方法3.1440把甲、乙、丙先排好,有A22种排法,把这三个人