【同步辅导】2021高中数学北师大版必修一导学案：《函数与方程》

第1课时同角三角函数的关系式1.能依据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系,理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1;sinxcosx=tanx2.能利用同角三角函数的基本关系解题,例如已知某个任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个.3.通过简洁运用,理解公式的结构及其功能,提高三角恒等变形的力量.“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”“分类”是由于同类之间有很多的共同点,彼此紧密联系.我们现在争辩的三角函数,如角的正弦、余弦、正切之间有什么联系?问题1:同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α=;tanα=;tanα·=1.

问题2:在上述问题中,“同角”的含义:(1)角相同;(2)角α是使得函数有意义的角,关系式都成立,与角的表达式.

问题3:常用的同角三角函数关系式中平方关系和商数关系的变形有哪些?1-cos2α=,1-sin2α=,

(sinα+cosα)2=1+,

(sinα-cosα)2=1-,

sinα=,cosα=.

问题4:同角三角函数关系式可以解决什么问题?利用这两个公式,可以由已知的个三角函数值求出同角的其余个三角函数值,还可以进行同角三角函数式的恒等变换,化简三角函数式或证明三角恒等式.

1.下列各项中可能成立的一项是().A.sinα=12且cosα=12 B.sinα=0且cosC.tanα=1且cosα=-1 D.α在其次象限时,tanα=-sin2.若cos(2π-α)=53,且α∈(-π2,0),则sin(π-α)=(A.-53 B.-23 C.-133.已知tanα=-3,则sinα-cos4.化简1-平方关系在求值中的应用已知-π2<x<0,sinx+cosx=15.求sinxcosx和sinx-cosx同角三角函数式的化简与证明(1)化简:1-(2)求证:cosx1-同角三角函数关系式的综合运用已知sinα+cosα=713,α∈(0,π),求tan若cosx-sinx=12,则cos3x-sin3x=化简:1-已知sinθcosθ=38,求sinθ+cosθ的值1.若sinαcosα=18,0<α<π2,则sinα+cosα的值是(A.32 B.14 C.-322.已知sinα,cosα是方程2x2-x-m=0的两根,则m=().A.34 B.43 C.3.已知α为其次象限角,则cosα·1+tan2α+sinα·4.已知cosα=55,α∈(0,π),求3sinα已知α是第三象限角,sinα=-13,则tanα=考题变式(我来改编):

答案第1课时同角三角函数的关系式学问体系梳理问题1:1sinαcosα问题2:(2)任意无关问题3:sin2αcos2α2sinα·cosα2sinα·cosαtanα·cosαsin问题4:一两基础学习沟通1.BA中不满足平方关系;C中由tanα=1且cosα=-1得,sinα=-1,不满足平方关系;D中不满足商数关系.2.Bcos(2π-α)=cosα=53,又α∈(-π2,0),∴sinα=-1-cos2α=-1-(53)2=-3.2由tanα=-3,知cosα≠0,所以sinα-cosαsinα+cosα=4.解:原式=(=|sin10°-cos10°重点难点探究探究一:【解析】(法一)由sinx+cosx=15平方可得sin2x+2sinxcosx+cos2x=125即2sinxcosx=-2425,∴sinxcosx=-12∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=4925又∵-π2<x<0,∴sinx<0,cosx>0∴sinx-cosx<0,sinx-cosx=-75(法二)联立方程sin解得cosx=-35或cosx=4∵-π2<x<0,∴∴sinxcosx=-1225,sinx-cosx=-7【小结】在三角函数求值中,已知sinx+cosx,sinxcosx,sinx-cosx中的一个可利用方程的思想求出另外两个的值,即“知一求二”.解题时,要特殊留意开方后对正负的取舍.探究二:【解析】(1)原式=1-sin2(360°+80°(2)(法一)由cosx≠0知1+sinx≠0,于是左=cosx(1+sinx)(1-sinx)((法二)由1-sinx≠0,cosx≠0,于是右=(1+sinx)(1-sinx)cosx((法三)左-右=cosx1-sinx-1+sinxcos所以cosx1-【小结】①脱掉根号的过程就是同角三角函数关系公式的应用过程;②对于去掉根号后的含确定值的式子,需依据确定值内的式子符号的正负状况,做好分类争辩,去掉确定值符号.探究三:【解析】由sinα+cosα=713,得sinαcosα=-60∴sinαcosα∴tanαtan∴60tan2α+169tanα+60=0,解得tanα=-125或tanα=-5[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确.从sinα+cosα与sinαcosα的值可知,sinα与cosα应为异号,而结合α∈(0,π)与sinα+cosα=713,可知sinα>0,故必有cosα<0,且|sinα|>|cosα|,故tanα<0,且|tanα|>1,这种已知条件隐含着角的范围的问题,很简洁被忽视,应引起充分重视于是,正确解法如下:由sinα+cosα=713得,sinαcosα=-60又α∈(0,π),∴sinα>0,cosα<0.而(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=289169∴sinα-cosα=1713由sinα+cosα=713和sinα-cosα=17解得sinα=1213,cosα=-5∴tanα=sinαcosα【小结】已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ中任何一个都可以结合平方关系求出另外两个值,在求解过程中留意乘方、因式分解和配方的应用.思维拓展应用应用一:1116由cosx-sinx=12得sinxcosx=38,cos3x-sin3x=(cosx-sinx)(1+sinxcosx)=12·(1+3应用二:(法一)原式=(=2cos2(法二)原式=(=si=2=2cos2α1+(法三)原式=1=1=1=2cos2应用三:∵sinθcosθ=38∴1+2sinθcosθ=74∴sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=74即(sinθ+cosθ)2=74∴sinθ+cosθ=±72基础智能检测1.D∵0<α<π2,∴sinα>0,cosα>0,∴sinα+cosα=(sinα+cosα)22.A由韦达定理得sin①式两边平方得1+2sinαcosα=