北京高二期中数学试卷

北京高二期中数学试卷一、选择题

1.在直角坐标系中，若点A（2，3）关于原点的对称点为B，则点B的坐标是（）

A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（-2，-2）

2.下列各数中，绝对值最小的是（）

A.-3B.-2C.1D.0

3.若函数f（x）=x²-4x+3，则f（2）的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

4.下列各式中，正确的是（）

A.2x+5>0，则x>-5/2

B.2x-5<0，则x<5/2

C.2x+5<0，则x<-5/2

D.2x-5>0，则x>5/2

5.若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向上，则下列哪个条件是正确的？（）

A.a>0，b>0，c>0

B.a>0，b<0，c>0

C.a<0，b>0，c>0

D.a<0，b<0，c>0

6.下列各对数式中，正确的是（）

A.log₂8=3B.log₂4=2

C.log₂16=4D.log₂2=1

7.下列各不等式中，正确的是（）

A.3x-2>0，则x>2/3

B.3x-2<0，则x<2/3

C.3x+2>0，则x>-2/3

D.3x+2<0，则x<-2/3

8.若函数f（x）=|x-1|+|x+1|，则f（x）的值域为（）

A.[0，+∞）B.[1，+∞）C.[0，2]D.[1，2]

9.下列各对数函数中，定义域为R的是（）

A.f（x）=logₐxB.f（x）=logₐ(x-1)

C.f（x）=logₐ(x+1)D.f（x）=logₐ(x²-1)

10.下列各式子中，正确的是（）

A.3²=9，则3=√9

B.(-3)²=9，则-3=√9

C.3²=9，则3=9/3

D.(-3)²=9，则-3=9/3

二、判断题

1.在平面直角坐标系中，若点A（1，2）在直线y=x上，则点A的坐标满足x=y。（）

2.函数f（x）=x²在区间[-1，1]上的图像是一个开口向上的抛物线段。（）

3.对数函数y=logₐx（a>0，a≠1）在定义域内单调递增当且仅当a>1。（）

4.在三角形ABC中，若∠A=90°，∠B=45°，则三角形ABC是一个等腰直角三角形。（）

5.函数y=|x|的图像是一个关于y轴对称的V形曲线。（）

三、填空题

1.若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴有两个交点，则判别式Δ=b²-4ac的值应为______。

2.在直角三角形ABC中，若∠A=30°，∠C=90°，则对边a与斜边c的比例为______。

3.若函数y=2x+1在x=3时的函数值为y=7，则该函数的斜率k为______。

4.对数函数y=log₂x的图像与x轴的交点坐标为______。

5.若等差数列{an}的第一项a₁=3，公差d=2，则第n项an的表达式为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解法及其适用条件。

2.解释函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图像在哪些情况下与x轴相交。

3.描述如何利用对数的性质来证明以下等式：logₐMN=logₐM+logₐN。

4.说明在平面直角坐标系中，如何根据三角形的三个顶点的坐标来判断三角形的形状。

5.阐述如何求一个函数的极值点，并举例说明。

五、计算题

1.计算下列函数在给定点的函数值：

函数f（x）=3x²-2x+1，求f（2）的值。

2.解一元二次方程：

解方程2x²-5x+2=0，并写出解的步骤。

3.计算下列对数的值：

若log₄32=5，求log₂32的值。

4.求下列三角形的面积：

在直角三角形ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，求三角形ABC的面积。

5.求下列函数的导数：

函数f（x）=x²e³x，求f'（x）的表达式。

六、案例分析题

1.案例分析题：

某学校为了提高学生的数学成绩，开展了数学竞赛活动。活动结束后，学校统计了参赛学生的成绩，发现成绩分布呈现正态分布，平均分为80分，标准差为10分。请分析以下情况：

（1）根据正态分布的性质，预测该校学生数学成绩在70分以下和90分以上的比例。

（2）如果该校希望至少有80%的学生成绩在80分以上，那么该校数学成绩的平均分至少应该是多少？

2.案例分析题：

一家电商公司为了促销一款新产品，推出了一系列的折扣活动。活动期间，公司收集了顾客购买该产品的数量与折扣率之间的关系数据。以下是部分数据：

|折扣率|购买数量|

|--------|---------|

|10%|500|

|20%|1000|

|30%|1500|

|40%|2000|

请根据以上数据：

（1）分析顾客购买数量与折扣率之间的关系，并说明原因。

（2）如果公司希望最大化销售收入，应该选择哪个折扣率，并计算在此折扣率下的预期销售收入。

七、应用题

1.应用题：

某班级共有40名学生，为了了解学生对数学的兴趣程度，进行了问卷调查。调查结果显示，有25名学生表示对数学很感兴趣，有10名学生表示对数学兴趣一般，剩下的5名学生表示对数学不感兴趣。请根据这些数据：

（1）计算该班级学生对数学感兴趣的比例。

（2）如果该班级的数学老师希望至少有70%的学生对数学感兴趣，他应该采取哪些措施？

2.应用题：

一家工厂生产的产品每天有10%的次品率。为了检验产品质量，每天从生产的产品中随机抽取10件进行检查。请根据以下情况计算：

（1）一天中至少有1件次品的概率。

（2）一天中恰好有3件次品的概率。

3.应用题：

小明骑自行车从家出发去图书馆，他先以每小时10公里的速度骑行，骑行了5分钟后，因为上坡速度减慢，改为每小时8公里的速度骑行。如果他总共骑行了30分钟到达图书馆，请计算：

（1）小明家到图书馆的距离。

（2）小明上坡骑行的时间。

4.应用题：

一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，在行驶了2小时后，速度减慢到每小时60公里，继续行驶了3小时到达目的地。请计算：

（1）汽车从出发到到达目的地的总路程。

（2）汽车减速行驶时的平均速度。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.D

3.A

4.A

5.B

6.B

7.A

8.A

9.A

10.C

二、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.Δ>0

2.1:√3

3.k=2

4.(2,0)

5.an=3+(n-1)×2

四、简答题

1.一元二次方程的解法包括公式法和因式分解法。公式法适用于判别式Δ=b²-4ac≥0的情况，可以通过求解公式x=(-b±√Δ)/2a得到两个解。因式分解法适用于方程可以分解为(x-p)(x-q)=0的形式，通过解得x=p或x=q得到两个解。

2.函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的图像与x轴相交的条件是方程ax³+bx²+cx+d=0有实数解。当a>0时，如果Δ=b²-4ac≥0，则图像与x轴有两个交点；如果Δ<0，则图像与x轴无交点。当a<0时，情况相反。

3.利用对数的性质：logₐMN=logₐM+logₐN，可以通过对数的基本性质logₐbⁿ=nlogₐb来证明。即logₐMN=logₐM+logₐN=nlogₐM+nlogₐN=logₐMⁿNⁿ=logₐ(MN)。

4.在平面直角坐标系中，可以通过比较三角形三个顶点的坐标来确定三角形的形状。如果三个顶点坐标构成的斜率相等，则三角形是等腰三角形；如果三个顶点坐标构成的斜率互不相等，则三角形是普通三角形；如果三个顶点坐标构成的斜率相等且至少有两个斜率为0，则三角形是直角三角形。

5.求函数的极值点，首先需要求出函数的一阶导数，然后令一阶导数等于0，解得驻点。再求出驻点的一阶导数的导数，即二阶导数，判断二阶导数的符号。如果二阶导数大于0，则驻点为极小值点；如果二阶导数小于0，则驻点为极大值点。

五、计算题

1.f（2）=3×2²-2×2+1=12

2.解方程2x²-5x+2=0，得x=(5±√(25-4×2×2))/4=(5±√9)/4=(5±3)/4，所以x=1或x=2/2。

3.log₄32=5，则log₂32=5log₂4=5×2=10。

4.三角形ABC的面积S=1/2×a×b=1/2×6×8=24。

5.f'（x）=d/dx(x²e³x)=2xe³x+3x²e³x=xe³x(2+3x)。

六、案例分析题

1.（1）根据正态分布的性质，70分以下的比例约为15.87%，90分以上的比例约为2.27%。

（2）要使至少有70%的学生成绩在80分以上，平均分至少应该是85分。

2.（1）顾客购买数量与折扣率成正比，折扣率越高，购买数量越多。这是因为高折扣可以吸引更多的顾客。

（2）选择40%的折扣率，此时预期销售收入为(500+1000+1500+2000)×0.4=2000。

题型知识点详解及示例：

一、选择题：考察学生对基本概念和性质的理解，如函数的定义、三角函数的性质、对数的性质等。

二、判断题：考察学生对基本概念和性