巧借三角形的两条内(外)角平分线夹角的模型解决问题

巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；如图如图1如图2如图3【分析】三个结论的证明如图1，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+∠A。（方法一）解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB。在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－×180°＋∠A＝90°＋∠A（方法二）解：连接AD并延长交BC于点E解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB。∵∠BDE是△ABD的外角∴∠BDE＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠ABC同理可得∠CDE＝∠CAD+∠ACB又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC＝∠BAD+∠ABC+∠CAD+∠ACB＝∠BAC+（∠ABC+∠ACB）＝∠BAC+（180°－∠BAC）＝90°＋∠BAC例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－∠A。解：∵BD、CD为角平分线∴∠CBD=∠CBE∠BCD＝∠BCF又∵∠CBE、∠BCD为△ABC的外角∴∠CBE＝∠A＋∠ACB∠BCF＝∠A＋∠ABC∴∠CBE＋∠BCF＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（∠CBE＋∠BCF）＝180°－（∠CBE＋∠BCF）＝180°－（∠A＋180°）＝90°－∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。例３：如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，CD为∠ＡＣＥ的平分线，试说明：∠D＝∠A；解：∵BD为角平分线，∴∠CBD＝∠ABC，又∵CD为∠ACE的平分线∴∠DCE=∠ACE，如图，△ABC，点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点，点D是∠MBC与∠NCB平分线的交点，点E是∠ABC与∠ACG平分线的交点．问题（1）：若∠BAC=50°，则∠BIC=°，∠BDC=°．问题（2）：．猜想∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．问题（3）：若∠BAC=x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于度（用含x的代数式表示）时，CE∥AB．说明理由．问题（4）：若△BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求∠BAC的度数．【思路分析】已知点I是两内角∠ABC、∠ACB平分线的交点，故由图1归纳的模型：∠BIC==90+∠BAC，由此可求∠BIC；因为CD、BD分别为△ABC的两外角平分线，故由图2的模型：∠BDC=190﹣∠BAC，由此可求∠BDC；（2）因为BE、CE分别为△ABC的内角、外角平分线，故由图3的模型：∠BEC==∠BAC，由此可求∠BEC；（3）当CE∥AB时，∠BEC=∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=（180﹣∠BAC）．（4）由题意可证：△BDE是直角三角形，∠DBE=90°，∴∠D+∠E=90°。已知条件中：一个内角等于另一个内角的三倍，则不明确，所以应当分类讨论。=1\*GB3①若∠EBD=3∠D；=2\*GB3②若∠EBD=3∠E；=3\*GB3③若∠D=3∠E；=4\*GB3④若∠E=3∠D．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90+∠BAC=115°；类似证明∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；或者也可以这样证明：∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，∴∠IBC=∠ABC，∠CBD=∠CBM；∴∠DBI=∠IBC+∠CBD=∠IBC=∠ABC+∠CBM=（∠ABC+∠CBM）=×180°∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四边形CDBI中，∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；（2）有图3的模型可证∠BEC=∠BAC．也可借助上面的小题这样证明：在△BDE中，∠DBI=90°，∴∠BEC=90°﹣∠BDC=90°﹣（90°﹣∠BAC）=∠BAC；（3）当∠ACB等于（180﹣2x）°时，CE∥AB．理由如下：∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A=x°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG=2∠ACE=2x°，∴∠ABC=∠ACG﹣∠BAC=2x°﹣x°=x°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=（180﹣2x）°．（4）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；若∠D=3∠E时∠BAC=45°；若∠E=3∠D时∠BAC=135°．综上所述，∠BAC=120或60°或45°或135°．巩固练习：1、如图：BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=60°，∠BOC=；若∠A=100°，∠BOC=；（3）由（1）、（2）的结果，试直接写出∠BOC与∠A之间的数量关系；（4）利用你得出的结论，求当∠BOC=150°时，求∠A的度数．2、已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA=；（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=30°，