2025年外研版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、．已知为坐标原点，点在第四象限内，且设则的值是()2、【题文】已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(-1),则|2a-b|的最大值为()A.4B.4C.16D.83、【题文】若的三边它的面积为则角C等于（）A.B.C.D.4、【题文】盒中装有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）A.B.C.D.5、如果直线与直线平行，则系数（）A.B.C.-3D.-66、如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为时；AE＝()

A.1B.C.2－D.2－7、等差数列的前n项和为且则公差d等于()A.1B.C.D.3评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、已知程序框图如图：如果程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入____．9、已知抛物线y=ax2（a＜0）焦点为F，过F作直线L交抛物线于A、B两点，则=____．10、函数的定义域是11、【题文】在中，角所对的边分别为满足

则的取值范围是____.12、【题文】样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图所示，则这组数据的方差等于▲．13、【题文】已知的取值如下表；

。

2

3

4

5

2.7

4.3

6.1

6.9

从散点图分析，与具有线性相关关系，且回归方程为则=____.14、在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比=．将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为=____．

15、已知曲线C：f（x）=x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为____．16、如图，在同一平面内，点A

位于两平行直线mn

的同侧，且A

到mn

的距离分别为13.

点BC

分别在mn

上，|AB鈫�+AC鈫�|=5

则AB鈫�鈰�AC鈫�

的最大值是______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共8分)24、（本小题10分）在边长为60cm的正方形铁皮的四角上切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？25、设f（x）=|x+2|+|x-2|；

（1）证明：f（x）≥4；

（2）解不等式f（x）≥x2-2x+4．

26、已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=1时；求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）当a＞0时；若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时有＞0恒成立，求a的取值范围．27、在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

（1）求EF的长。

（2）证明：EF∥平面AA1D1D；

（3）证明：EF⊥平面A1CD．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)28、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．29、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.30、解不等式组：．31、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)32、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．33、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】解:因为为坐标原点，点在第四象限内，且设利用向量的数量积的性质可知则的值是选C【解析】【答案】C2、B【分析】【解析】∵2a-b=(2cosθ-2sinθ+1),

∴|2a-b|=

=

=

故最大值为4.【解析】【答案】B3、A【分析】【解析】

试题分析：∵又∴∴角C等于故选A

考点：本题考查了余弦定理及面积公式的综合考查。

点评：解决此类问题的关键是掌握余弦定理及其变形、三角形的面积公式等，属基础题【解析】【答案】A4、C【分析】【解析】

考点：条件概率与独立事件．

分析：第一次取出红球后；剩下5只红球，4只白球，所以在第一次取出红球的前提下，可求第二次也取出红球的概率．

解答：解：由题意，盒中有10个乒乓球，其中6只红球，4只白球，不放回的地依次取出2只球，第一次取出红球后，剩下5只红球，4只白球，所以在第一次取出红球的前提下，第二次也取出红球的概率为

故选D．

点评：本题考查条件概率，考查概率的计算，正确理解条件概率是关键．【解析】【答案】C5、D【分析】【解答】两条直线平行，则两条直线斜率相等，所以

【分析】不重合的两条直线平行与垂直时斜率的条件要掌握并灵活应用.6、D【分析】【解答】以点D为原点；AD；DC、DP所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系。

则P（0，0，1)，C（0，2，0)，设E（1，y0，0)，则设平面PEC的法向量解得而平面ECD的法向量因为二面角P－EC－D的平面角为所以

【分析】此题重点考查了利用空间向量借助平面的法向量的夹角与二面角的大小之间的关系，同时还考查了利用方程的思想解出未知的变量．7、C【分析】【解答】∵∴∴故选C二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

按照程序框图依次执行：k=12；s=1；进入循环，s=1×12=12，k=11；s=12×11=132，k=10，跳出循环；

故k=10满足判断框内的条件；而k=11不满足，故判断框内的条件应为k≤10或k＜11

故答案为：k≤10或k＜11

【解析】【答案】按照程序框图依次执行；直到s=132，求出此时的k，进一步确定判断框内的条件即可．

9、略

【分析】

抛物线y=ax2（a＜0）即=-y=-y，故焦点F（0，），准线为y=-．

由题意可得，直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+代入抛物线y=ax2解得。

x1=x2=∴y1=y2=

不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得AF=--y1=-

BF=--y2=．

∴=+==-4a；

故答案为-4a．

【解析】【答案】先求出焦点F（0，），准线为y=-设直线L的方程为y=kx+代入抛物线y=ax2解得A；B的。

坐标，根据抛物线的定义可得AF和BF的解析式，代入进行化简运算结果．

10、略

【分析】【解析】试题分析：由即函数的定义域为(-3,4).考点：对数函数的定义域，一元二次不等式的解法.【解析】【答案】(-3,4)11、略

【分析】【解析】

试题分析：由得，B为钝角；

又=

所以，

又b+c>a=故的取值范围是

考点：本题主要考查三角形的性质；均值定理的应用。

点评：中档题，本题易错，忽视B为钝角的判断而忽视【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】7.213、略

【分析】【解析】

试题分析：由表格数据，得将代入回归方程，得得

考点：回归直线.【解析】【答案】0.92.14、=【分析】【解答】解：在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比=

将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中；平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E；

则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：=

故答案为：=．

【分析】三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到结论．15、【分析】【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x）=3x2﹣a；

知f'（x）=3x2﹣a；过点A（1，0）作曲线C的切线；

设切点（x0，f（x0）），则切线方程为：y=（3﹣a）（x﹣1）

将（x0，f（x0））代入得：f（x0）=﹣ax0+a；

即有﹣ax0+a=（3﹣a）（x0﹣1）；

化简可得2﹣3x02=0；

解得x0=0或x0=

故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为﹣a与﹣a；

因为两条切线的倾斜角互补，所以﹣a+﹣a=0，解得a=．

故答案为：．

【分析】通过导数求出切线斜率，利用切线的倾斜角互补，建立斜率关系，可求a．16、略

【分析】解：由点A

位于两平行直线mn

的同侧，且A

到mn

的。

距离分别为13

可得平行线mn

间的距离为2

以直线m

为x

轴；以过点A

且与直线m

垂直的直线为y

轴。

建立坐标系；如图所示：

则由题意可得点A(0,1)

直线n

的方程为y=鈭�2

设点B(a,0)

点C(b,鈭�2)

隆脿AB鈫�=(a,鈭�1)AC鈫�=(b,鈭�3)

隆脿AB鈫�+AC鈫�=(a+b,鈭�4)

．

隆脽|AB鈫�+AC鈫�|=5隆脿(a+b)2+16=25隆脿a+b=3

或a+b=鈭�3

．

当a+b=3

时，AB鈫�鈰�AC鈫�=ab+3=a(3鈭�a)+3=鈭�a2+3a+3

它的最大值为鈭�12鈭�9鈭�4=214

．

当a+b=鈭�3

时，AB鈫�鈰�AC鈫�=ab+3=a(鈭�3鈭�a)+3=鈭�a2鈭�3a+3

它的最大值为鈭�12鈭�9鈭�4=214

．

综上可得，AB鈫�鈰�AC鈫�

的最大值为214

故答案为：214

．

建立如图所示的坐标系，得到点ABC

的坐标，由|AB鈫�+AC鈫�|=5

求得a+b=隆脌3

分类讨论，利用二次函数的性质求得AB鈫�鈰�AC鈫�

的最大值．

本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，二次函数的性质，属于中档题．【解析】214

三、作图题(共8题，共16分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共8分)24、略

【分析】

设方底箱子箱底的边长为cm，则高为cm，1分箱子的容积为3分由得4分6分当时，当时，当时，8分因此当时，所以箱底的边长是40cm时，箱子的容积最大,最大容积是16000cm3。10分【解析】略【解析】【答案】25、略

【分析】

（1）∵|x+2|+|x-2|=|x+2|+|2-x|≥|（x+2）+（2-x）|=4；

∴f（x）≥4．（5分）

（2）当x＜-2时，f（x）=-2x≥x2-2x+4；解集为x∈∅；（7分）

当-2≤x≤2时，f（x）=4≥x2-2x+4；解集为[0，2]；（9分）

当x＞2时，f（x）=2x≥x2-2x+4；解集为∅（11分）

综上所述，f（x）≥x2-2x+4的解集为[0；2]．（12分）

【解析】【答案】（1）利用绝对值不等式）|x+2|+|x-2|≥|（x+2）+（2-x）|=4；即可证得结论；

（2）通过对x的范围的讨论；去掉绝对值符号，转化后再解不等式即可．

26、解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，{#mathml#}f′(x)=2x−3+1x

{#/mathml#}．∵f′（1）=0，f（1）=﹣2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣2；（Ⅱ）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．当a＞0时，{#mathml#}f′(x)=2ax−(a+2)+1x=2ax2−(a+2)x+1x

{#/mathml#}，（x＞0）．令f′（x）=0，即{#mathml#}f′(x)=2ax2−(a+2)x+1x=(2x−1)(ax−1)x=0

{#/mathml#}．∴{#mathml#}x=12

{#/mathml#}或{#mathml#}x=1a

{#/mathml#}．当{#mathml#}0<1a≤1

{#/mathml#}，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；当{#mathml#}1<1a<e

{#/mathml#}时，f（x）在[1，e]上的最小值是{#mathml#}f(1a)<f(1)=−2

{#/mathml#}，不合题意；当{#mathml#}1a≥e

{#/mathml#}时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意．综上，a≥1；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，由题意可知只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．而{#mathml#}g′(x)=2ax−a+1x=2ax2−ax+1x

{#/mathml#}．当a=0时，{#mathml#}g′(x)=1x>0

{#/mathml#}，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a＞0，对于函数y=2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴{#mathml#}x=14>0

{#/mathml#}，只需△=a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．综上0≤a≤8．【分析】【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求导后求出f′（1），同时求出f（1），由点斜式写出切线方程；（Ⅱ）求出函数的定义域，求出原函数的导函数，进一步求出导函数的零点分≤1，1＜＜e及三种情况讨论原函数的单调性，由f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2求解a的取值范围；（Ⅲ）构造辅助函数g（x）=f（x）+2x，问题转化为函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，求解a的范围．把函数g（x）求导后分a=0和a≠0讨论，a≠0时借助于二次函数过定点及对称轴列式求解．27、略

【分析】

（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示；代入长度公式求解；

（2）求出的坐标表示，关键坐标关系判断EF∥AD1；再利用线面平行的判定定理证明；

（3）利用=0，=0，可证直线EF垂直于CD、A1D；再利用线面垂直的判定定理证明．

本题考查用空间向量坐标运算求线段长，证明线面平行，证明线面垂直．用向量方法求解立体几何问题，简洁明了，关键是建立适当的空间直角坐标系，求相关点与向量的坐标．【解析】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0；0，2），D（0，0，0）；

∵E，F分别为AB，A1C的中点，∴E（2，1，0），F（1，1，1），=（-1；0，1）；

∴||==．

（2）∵=（-2，0，2）=2∴EF∥AD1；

又AD1⊂平面AA1D1D，EF⊄平面AA1D1D；

∴EF∥平面AA1D1D．

（3）=（0，-2，0），=（-2；0，-2）；

∵=0，=0，∴EF⊥CD，EF⊥A1D，又CD∩A1D=D；

∴EF⊥平面A1CD．五、计算题(共4题，共20分)28、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．29、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）30、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．31、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．六、综合题(共2题，共18分)32、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥