2025年粤人版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、不在2x+3y＜6表示的平面区域内的点是（）

A.（0；0）

B.（1；1）

C.（0；2）

D.（2；0）

2、若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点；则k的取值范围是（）

A.[1；+∞）

B.[-1，-）

C.（1]

D.（-∞；-1]

3、命题则是A.0B.C.D.4、是函数的极大值点，则等于（）A.2B.－1C.0D.15、【题文】椭圆的焦距是（）A.2B.C.D.6、【题文】求值:sin150=A.B.C.D.7、若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.a≥1B.a≤1C.a≥﹣3D.a≤﹣38、将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率()A.B.C.D.9、三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、则此三棱锥的外接球的表面积是（）A.6πB.5πC.4πD.9π评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、不等式的解集为11、已知展开式中常数项为则此展开式中各项系数的和等于．12、与双曲线有公共渐近线，且一条准线方程为的双曲线方程为___________________13、【题文】设等比数列的前项和为若则数列的公比是____．14、【题文】若则___________15、如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为____．

16、若则x2+y2+z2的最小值为______．17、在平面上，若两个正三角形的边长的比为12

则它们的面积比为14

类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12

则它们的体积比为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)24、在直三棱柱中，分别是的中点.（1）求证：平面（2）求多面体的体积.25、【题文】已知数列的前项和为对一切正整数点都在函数的图象上.

（1）求

（2）求数列的通项公式；

（3）若求证数列的前项和．26、【题文】（本小题满分8分）袋中有大小；形状相同的红、白球各一个；现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.

（1）求三次颜色全相同的概率;

（2）若摸到红球时得2分，摸到白球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5的概率.[来评卷人得分五、计算题(共2题，共14分)27、解不等式组．28、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共3题，共24分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．31、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

把（0；0）代入不等式2x+3y＜6，得0＜6，成立；

∴点A在不等式2x+3y＜6表示的平面区域内；

把（1；1）代入不等式2x+3y＜6，得5＜6，成立；

∴点B在不等式2x+3y＜5表示的平面区域内；

把（0；2）代入不等式2x+3y＜6，得6＜6，不成立；

∴点C不在不等式2x+3y＜6表示的平面区域内；

把（2；0）代入不等式2x+3y＜6，得4＜6，成立；

∴点D在不等式2x+3y＜6表示的平面区域内．

故选C．

【解析】【答案】分别把A；B，C，D四个点的坐标代入不等式2x+3y＜6进行判断，能够求出结果．

2、B【分析】

曲线即x2+y2=4；（y≥0）

表示一个以（0；0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：

直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4

表示恒过点（-2；4）斜率为k的直线。

结合图形可得。

∵解得

∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是

故选B

【解析】【答案】将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形；数形结合求出满足题意的k的范围．

3、C【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于对于全称命题来说，其否定为特称命题，只要对于任意改为存在，结论变为否定即可，故可知答案为故选C.考点：命题的否定【解析】【答案】C4、B【分析】试题分析：函数定义域为（-2，+∞），因为令可得由于时，时，所以函数在x=-1处取极大值ln(-1+2)-(-1)=1，所以a=-1，b=1.考点：函数的极值点.【解析】【答案】B5、A【分析】【解析】

试题分析：椭圆化为标准方程得焦距为2

考点：椭圆的几何性质。

点评：焦距长轴短轴【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】

试题分析：解：∵

故选A.

考点：运用诱导公式化简求值．.【解析】【答案】A7、A【分析】【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件；如图所示，∴a≥1；

故选：A．

【分析】根据“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件即可得出．8、C【分析】【解答】根据题意；正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况：

①正面出现3次；反面出现2次，其概率为：

C53（1/2)3（1/2)2=C53（1/2)5=10（1/2)5；

②正面出现4次；反面出现1次，其概率为：

C54（1/2)4（1/2)=C54（1/2)5=5（1/2)5；

③正面出现5次；其概率为：

C55（1/2)5=（1/2)5；

共有三种情况；这三种情况是互斥的；

则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是：

10（1/2)5+10（1/2)5+10（1/2)5=1/2；

故选C。

【分析】根据题意，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，①正面出现3次，反面出现2次；②正面出现4次，反面出现1次；③正面出现5次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率求出概率，相加得到结果。9、A【分析】【解答】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直；所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球；

所以求出长方体的对角线的长为故球的直径为半径为所以球的表面积为：6π．故答案为A

【分析】解决该试题的关键是理解三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】试题分析：把不等式的左边移项到右边，通分并利用分式的减法法则计算后转化成乘积的形式，最后根据二次不等式取解集的方法即可求出原不等式的解集．∵∴即∴等价于解得∴不等式的解集为．故答案为：．考点：分式不等式的解法．【解析】【答案】11、略

【分析】．令8-2r=0，∴r=4．∴∴a=±2．当a=2时，令x=1，则．当a=-2时，令x=-1，则．故填1或6561【解析】【答案】112、略

【分析】【解析】

设所求的双曲线为准线方程为=解得故所求的方程为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】当q=1时，

当时，

所以【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】15、【分析】【解答】解：根据已知条件；AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：

A（0；0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；

M在线段PQ上；设M（0，y，2），0≤y≤2；

∴

∴cosθ==

设f（y）=

函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数；且为减函数，g（0）=﹣5＜0；

∴g（y）＜0在[0；2]恒成立，∴f′（y）＜0；

∴f（y）在[0；2]上单调递减；

∴y=0时，f（y）取到最大值．

故答案为：．

【分析】首先以AB，AD，AQ三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，M（0，y，2），从而可求出向量的坐标，由cosθ=得到对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出cosθ的最大值．16、略

【分析】解：根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥

∵

∴x2+y2+z2≥

当且仅当时，x2+y2+z2的最小值为

故答案为：

根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥由此可得结论．

柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明．【解析】17、略

【分析】解：平面上；若两个正三角形的边长的比为12

则它们的面积比为14

类似地；由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：

在空间内；若两个正四面体的棱长的比为12

则它们的体积比为18

故答案为：18

．

根据平面与空间之间的类比推理；由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．

本题主要考查类比推理.

类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.

一般步骤：垄脵

找出两类事物之间的相似性或者一致性.垄脷

用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(

或猜想)

．【解析】18

三、作图题(共6题，共12分)18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共15分)24、略

【分析】试题分析：（1）连接根据中位线可得再根据线面平行的判定定理证平面（2）转化为以为顶点，根据棱锥体积公式可直接求得。试题解析：（1）证：连接由分别是的中点3分平面平面5分平面6分(2)三棱柱是直三棱柱，8分又是的中点.9分10分12分考点：1线面平行；2锥体的体积。【解析】【答案】（1）详见解析；（2）25、略

【分析】【解析】

试题分析：

(1)把点带入函数的解析式即可得到利用数列前n项和的定义可得则分别令带入式子即可得到的值.

(2)由(1)可得则利用前n项和与之间的关系令时,然后验证首项即可得到的通项公式.

(3)把(2)得到的带入即可得到的通项公式,为求其前n项和可以把进行裂项进而采用裂项求和的方法即可得到再利用非负即可证明

试题解析：

（1）∵点都在函数的图象上；

∴（1分）

∴（2分）

又∴（4分）

（2）由（1）知，

当时，（6分）

由（1）知，满足上式；（7分）

所以数列的通项公式为（8分）

（3）由（2）得（11分）

（12分）

（13分）

（14分）

考点：裂项求和不等式数列前n项和【解析】【答案】(1)(2)（3）见解析26、略

【分析】【解析】解：（1）一共有8种不同的结果；列举如下：

（红；红、红、）、（红、红、白）、（红、白、红）、（红、白、白）、（白、红、红）；

（白；红、白）、（白、白、红）、（白、白、白）.2分。

记“三次颜色全相同”为事件A；则事件A包含的基本事件：（红；红、红）、（白、白、白）

记A包含的基本事件数为2；基本事件总数为8；

所以事件A的概率为..5分。

（2）记“3次摸球所得总分不小于5”为事件B

事件B包含的基本事件为：（红；红、白）、（红、白、红）、（白、红、红）、（红、红、红）；

事件B包含的基本事件数为4

由（1）可知，基本事件总数为8，所以事件B的概率8分【解析】【答案】

（1）

（2）五、计算题(共2题，共14分)27、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．28、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共3题，共24分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）30、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB