河南省许昌市2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷(解析)

高中数学精编资源2/2XCS2023—2024学年第一学期期末教学质量检测高一数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，，所以，故选：A.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式得，然后根据充分条件、必要条件的概念求解即可.【详解】由得，故成立时，不一定成立，比如，满足，但是，不满足；反之当成立时，一定成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合指数、对数与三角函数性质与中间量计算即可得.【详解】，即，，即，，即，故.故选：D.4.已知为角终边上一点，则（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先根据正切函数的定义知，然后弦化切代入求值即可.【详解】因为为角终边上一点，所以，所以.故选：C5.关于实数，下列结论正确的有（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，那么 D.如果，那么【答案】B【解析】【分析】结合不等式的基本性质逐项判断即可得.【详解】对A：当时，有，故A错误；对B：如果，那么，故B正确；对C：当时，有，故C错误；对D：如果，则，故，即，故D错误.故选：B.6.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向右平行移动个单位长度B.向左平行移动个单位长度C向右平行移动个单位长度D.向左平行移动个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据三角图象变换的法则即可求出．【详解】因为，所以只要把函数图象上所有点向右平行移动个单位长度，即可得到函数的图象．故选：C7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由为偶函数，排除CD选项，由排除B选项.【详解】函数定义域为R，，为偶函数，图象关于轴对称，CD选项错误；，选项B错误.故选：A8.双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（）A.28h B.28.5h C.29h D.29.5h【答案】B【解析】【分析】根据题意求出蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.【详解】解：根据题意可得，则当时，，所以，即当放电电流，放电时间为28.5h.

故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.式子表示同一个函数B.与表示同一个函数C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素【答案】ABD【解析】【分析】对A、B，由相同函数的定义计算即可得；对C，结合分段函数单调性计算即可得；对D，由函数定义即可得.【详解】对A：，故与有相同的定义域及对应关系，故表示同一个函数，故A正确；对B：的定义域需满足，解得，的定义域需满足，解得，故两函数有相同的定义域及对应关系，故表示同一个函数，故B正确；对C：由题意可得，解得，即，故C错误；对D：由函数定义，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确.故选：ABD.10.下列命题正确的是（）A.若是第二象限角、则是第一象限角B.扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为C.是函数的一条对称轴D.若，且，则【答案】CD【解析】【分析】对A：表示出第二象限角后计算可得是第一或第三象限角；对B：借助扇形周长公式及面积公式计算即可得；对C：由余弦型函数的性质计算即可得；对D：借助三角函数基本关系计算即可得.【详解】对A：若是第二象限角，则，，则，，故是第一或第三象限角，故A错误；对B：由周长，即，可得，则，故B错误；对C：时，，由是函数的一条对称轴，故是函数的一条对称轴，故C正确；对D：，故，故与异号，又，故，，即则，则，则，故D正确.故选：CD.11.已知函数满足，且，则下列命题正确的是（）A. B.为奇函数C.为周期函数 D.，使得成立【答案】BC【解析】【分析】先令，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令，求出，进而可判断AD；再令，判断出函数的奇偶性，进而可判断B.【详解】由，令，则，则，即，所以，所以函数为周期函数，故C正确；令，则，解得或，当时，令，则，所以，故AD错误；所以，其图象关于原点对称，是奇函数；当时，令，则，所以，所以函数是偶函数，所以，又因为，所以，则，所以函数为奇函数，综上所述，为奇函数，故B正确.故选：BC.【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的图象经过点，则______.【答案】2【解析】【分析】将点的坐标代入直接求解即可.【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得.故答案为：213.若函数在上的最大值比最小值大，则___________．【答案】【解析】【分析】借助指数函数的单调性计算即可得.【详解】由，故函数在上单调递增，故有，计算可得或（舍），故.

故答案为：.14.已知函数，若关于的方程在区间上有两个不同实根，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】画出函数的图象，结合图象得，根据对称性把转化为，利用二倍角余弦公式、诱导公式及二次函数性质求解最值即可.【详解】方程在上有两个不同的实根等价于与的图象在上有两个交点，如图为函数在上的图象：由图中可以看出当与有两个交点时，有，且，此时，所以令，因为，则，所以，记，，因函数开口向上，且对称轴为，所以当时，，所以的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题以方程有根为背景考查了正弦函数的对称性及三角恒等变换、余弦型复合函数值域问题.解题的关键是把方程有根问题转化为函数交点问题，利用正弦函数对称性消元，从而转化为余弦型复合函数的最值问题，采用换元法，利用二次函数性质求解最值即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.求值：（1）；（2）；（3）已知是第四象限角，求的值.【答案】（1）（2）10（3）【解析】【分析】（1）利用诱导公式结合特殊角的正弦值求解即可；（2）利用指数幂的运算性质及换底公式化简计算即可；（3）利用同角三角函数关系求得，然后利用两角和余弦公式求值即可.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】由是第四象限角，则.则.16.已知函数．（1）判断函数奇偶性，并用定义法证明；（2）写出函数的单调区间，并用定义法证明某一个区间的单调性；（3）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调递增区间为和，单调递减区间为和，证明见解析；（3）最大值为10，最小值为6.【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义计算即可；（2）利用定义法作差计算函数的单调性即可；（3）利用函数的单调性计算最值即可.【小问1详解】函数为奇函数．由函数可知其定义域为，关于原点对称，设，有．所以函数为奇函数；【小问2详解】函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为和．下面证明单调区间，设，则，若，则，此时，即，若，则，此时，即，即在上单调递减，在上单调递增，由函数为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，综上：函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为和．【小问3详解】由上可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．则函数在上的最大值为10，最小值为6．17.如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角，C是扇形弧上动点，矩形ABCD内接于扇形.记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】时，矩形的面积，最大面积为【解析】【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积为，再由可得，由此可得时，取得最大值【详解】在中，，，在中，，所以，所以，设矩形的面积为，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形的面积，最大面积为，【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形的面积表示为，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题18.已知函数为奇函数，且的最小正周期是.（1）求的解析式；（2）当时，求满足方程的的值.【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简函数，然后根据奇函数性质和最小正周期求得解析式即可；（2）先解二次方程得或，然后结合角范围即可求解正弦函数方程.【小问1详解】由题意可得，因为的最小正周期是，所以，又为奇函数，则，所以，又，所以，故.【小问2详解】由，即，则或，所以或，即或.因为，所以，则，或，或，所以或或.19.已知函数为奇函数.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质列式求解即可；（2）分离参数得在上恒成立，令，则，构造函数，利用函数单调性求解最值即可；（3）把问题转化为函数的值域为函数值域的子集，利用函数单调性求解其值域，结合余弦函数性质，分类讨论求解函数的值域，列不等式组求解