【八年级下册数学人教版】第十六章 二次根式（6类压轴题专练）

第十六章二次根式（6类压轴题专练）考点一化简含字母的二次根式例题：（2023上·河南焦作·八年级统考期中）已知，则化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．变式训练1．（2023上·全国·八年级专题练习）把根号外的因数移到根号内，结果是（）A． B． C． D．2．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）若，则代数式可化简为（

）A． B． C． D．3．（2023上·河南郑州·八年级校联考阶段练习）化简的结果是（

）A． B． C． D．4．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式，得（

）A． B． C． D．考点二利用二次根式的非负性求值例题：已知，则的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0变式训练1．已知x、y都是实数，且，则xy=______________．2．已知实数满足，则的值为_______．3．已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求实数a，b，c的值；(2)求的平方根．考点三新定义型二次根式的运算例题：对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．变式训练1．对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．2．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．3．用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．(1)求的值．(2)_____________．4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．考点四二次根式的分母有理化例题：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)计算：①______，②______；(2)计算：；(3)已知有理数、满足，则______，______．变式训练1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：，例2：，，利用以上结论解答以下问题：（不必证明）(1)_____；______；(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题：(1)计算：______，______；(2)已知有理数a、b满足，则_______，________；(3)计算．3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③．以上这种化简的方法叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：④(1)请用不同的方法化简．(2)化简：．考点五复合二次根式的化简例题：先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．例如：．解决问题：化简下列各式(1)； (2)．变式训练1．（1）填空：______；______；（2）例题：化简解：因为所以仿照上例的方法，化简下列各式：①

②2．我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：(1)填空：=________________；=________________；(2)化简：++++．考点六二次根式中的规律探究问题例题：观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；(1)请仿照上面的方法来验证；(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．变式训练1．观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．2．观察下列各式及验证过程：＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝…(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．3．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填写运算结果）；(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；(3)证明你的猜想．(4)应用运算规律：①化简：____________；②若（a，b均为正整数），则的值为____________．4．观察下列等式，解答后面的问题：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……(1)请直接写出第5个等式___________；(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；(3)利用（2）的结论化简：．

第十六章二次根式（6类压轴题专练）答案全解全析考点一化简含字母的二次根式例题：（2023上·河南焦作·八年级统考期中）已知，则化简二次根式的正确结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查二次根式的性质及化简．首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：根据题意得：，∴，∵，∴，，故选：A变式训练1．（2023上·全国·八年级专题练习）把根号外的因数移到根号内，结果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式有意义，先由被开方数，得，再结合二次根式的性质，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴，则，故选：C．2．（2023上·四川乐山·九年级乐山市实验中学校考期中）若，则代数式可化简为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二次根式的化简，先根据二次根式有意义的条件和已知条件推出，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．3．（2023上·河南郑州·八年级校联考阶段练习）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，再把二次根式进行化简即可．【详解】解：∵有意义，则∴，故选：B．4．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）化简二次根式，得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据，再由二次根式的性质即可得出结论，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．【详解】解：，故选：．考点二利用二次根式的非负性求值例题：已知，则的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的非负性即可求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，则，∴，，，故选B．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．变式训练1．已知x、y都是实数，且，则xy=______________．【答案】6【解析】【分析】利用算术平方根的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．【详解】解：，，，，，将代入，得：，．故答案为：6．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，代数式的求值，熟练掌握并灵活运用算术平方根的非负性是解题的关键．2．已知实数满足，则的值为_______．【答案】16【解析】【分析】先对进行变形，然后根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，解得：，∴．故答案为：16．【点睛】本题考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题的关键．3．已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求实数a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5(2)的平方根为±2【解析】【分析】（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．(1)解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；(2)解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，则＝＝4，而，故的平方根为±2．【点睛】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．考点三新定义型二次根式的运算例题：对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．【答案】【解析】【分析】根据新定义，将所给数值代入计算即可．【详解】解：∵，∴==故答案为：．【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．变式训练1．对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．【答案】【解析】【分析】按新定义的运算规定化简求值．【详解】解：6※．故答案为：．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．2．已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答；（2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入数值进行计算即可解答．(1)解：∵，∴(2)解：∵，，∴＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键．3．用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．(1)求的值．(2)_____________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据新运算计算即可（2）根据新运算先计算，然后将和计算的结果再次用新运算计算即可【详解】（1）∵，∴（2）∵，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和实数的混合运算，解决问题的关键就是根据新定义按照运算规则计算4．对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；(2)首先根据新定义进行运算，可求得，再解方程即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：3；（2）解：，，．【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键．考点四二次根式的分母有理化例题：像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)计算：①______，②______；(2)计算：；(3)已知有理数、满足，则______，______．【答案】(1)，；(2)1(3)-1，1【解析】【分析】（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可；（3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．(1)解：①，故答案为：；②，故答案为：；(2)===1；(3)∵，∴，∴，∴，∵a、b都是有理数，∴2a+b=-1，b-a=2，解得a=-1，b=1，故答案为：-1，1．【点睛】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．变式训练1．（2023上·宁夏中卫·八年级校考阶段练习）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：，例2：，，利用以上结论解答以下问题：（不必证明）(1)_；_；(2)利用上面的结论，求下列式子的值．（有过程）【答案】(1)；(2)9【分析】本题考查了分母有理化：涉及二次根式的性质化简、平方差公式的运用：（1）根据例1的过程，仿写即可作答．（2）逐个化简，得，，，，……，然后进行合并同类二次根式，即可作答．【详解】（1）解：∵∴；∴；（2）解：∵，，，，……，∴.2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题：(1)计算：_，_；(2)已知有理数a、b满足，则_，_；(3)计算．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键；（1）把分子分母同时乘以即可把有理化；分子分母同时乘以，即可对进行有理化；（2）把式子的左边分母有理化得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案；（3）先证明，再对所求式子进行分母有理化，然后合并即可得到答案．【详解】（1）解：；．故答案为：；；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵a、b都是有理数，∴，∴，故答案为：；；（3）解：，∴．3．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）先阅读材料，然后回答问题．在进行二次根式化同时，我们有时会遇到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简：①；②；③．以上这种化简的方法叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：④(1)请用不同的方法化简．(2)化简：．【答案】(1)方法见解析，结果为(2)【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．（1）仿照题意进行分母有理化即可；（2）先根据分母有理化的方法推出，再把所求式子按照上述形式进行裂项，然后合并化简即可．【详解】（1）解：；；（2）解：，∴．考点五复合二次根式的化简例题：先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．例如：．解决问题：化简下列各式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．(1)解：(2)解：【点睛】本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．变式训练1．（1）填空：______；______；（2）例题：化简解：因为所以仿照上例的方法，化简下列各式：①

②【答案】（1）；；（2）①；②【解析】【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算，即可求解；（2）①把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解；②把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解．【详解】解：（1）；；故答案为：；（2）①；②【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．2．我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：(1)填空：=________________；=________________；(2)化简：++++．【答案】(1)；；(2)；【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．(1)解：；；(2)解：，，，，．．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．考点六二次根式中的规律探究问题例题：观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；(1)请仿照上面的方法来验证；(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．【答案】(1)见解析(2)，过程见解析【解析】【分析】（1）根据已知计算过程求出即可；（2）求出一般式子都是，根据已知算式的计算过程求出即可．(1)解：验证：，故成立；(2)解：，．．【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，数字规律型，主要考查学生的计算能力和阅读能力，难度适中．变式训练1．观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可；（2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可．(1)解：∵，，∴，验证：，正确．(2)解：，验证：，正确．【点睛】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键．2．观察下列各式及验证过程：＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝…(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．【答案】(1)＝，验证见解析(2)＝（n≥1的整数）【解析】【分析】（1）类比题目所给的解题方法即可解答；（2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系即可得出一般规律，再类比题目所给的解题方法验证即可．(1)解：＝；验证：＝＝．(2)；验证：（n≥1的整数）【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，同时也考查了学生由特殊到一般