【八年级下册数学北师大版】第四章 因式分解（单元重点综合测试）

第四章因式分解（单元重点综合测试）一、单选题1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．2．多项式的各项的公因式是（

）A． B． C． D．3．下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（

）A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤4．已知，，则的值是（

）A． B．1 C． D．5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（

）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（

）A． B． C． D．7．因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）．A． B．C． D．8．若，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．129．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（

）A． B． C． D．10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：乌、爱、我、义、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱美 B．义乌游 C．爱我义乌 D．美我义乌二、填空题11．＝______________．12．分解因式：________．13．分解因式：__________．14．因式分解：__．15．如果x-3是多项式2x2-11x+m的一个因式，则m的值___________．16．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．17．若，则_________．18．设为正整数，且，则等于_____________．三、解答题19．分解因式(1)4a-2ab； (2) (3)20．把下列各式分解因式：(1)； (2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)； (4)．21．因式分解：(1) (2)(3) (4)22．阅读下列解答过程：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为则，，∴，∴∴另一个因式为，m的值为-21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．23．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．甲：（先分成两组）．乙：（先分成两组）．两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．(1)试用上述方法分解因式：．(2)利用分解因式说明：因式能被9整除．24．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：(1)尝试填空：_；(2)解决问题：因式分解：；(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．25．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：人教版八年级上册的数学教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．(1)观察图2，请直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______．(2)如图3，这是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的结论．请写出该结论，并写出推导过程．(3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图4，其阴影部分的面积为22；将B放在A的内部得到图5，其阴影部分（正方形）的面积为9．则正方形A，B的面积之和为______．26．【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：____________________；(2)【问题解决】若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中号长方体和号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．27．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，．(1)填空：①_________；②若，则_________；③若，则_________0．（填“”，“”或“=”）(2)若，且，求与的值；(3)若正整数，满足，，求的值．

第四章因式分解（单元重点综合测试）答案全解全析一、单选题1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【解析】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意；D．符合定义，故选项正确，符合题意．故选：D．2．多项式的各项的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】公因式的定义：一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．由公因式的定义求解.【解析】解：这三个单项式的数字最大公因数是1，三项含有字母是a，b，其中a的最低次幂是a2，b的最低次幂是b，所以多项式的公因式是.故选A.【点睛】本题主要考查了公因式，关键是掌握确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．3．下列多项式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（

）A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤【答案】C【分析】根据公式法的特点即可分别求解．【解析】①不能用公式法因式分解；②，可以用公式法因式分解；③不能用公式法因式分解；④=，能用公式法因式分解；⑤=，能用公式法因式分解．∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C．【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点．4．已知，，则的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据提公因式法将因式分解，再代入数据计算即可．【解析】，将，代入，得：．故选：A．【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（

）①；②；③；④；⑤．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解析】解：①x2-10x+25=（x-5）2，不符合题意；②4a2+4a-1不能用完全平方公式分解；③x2-2x-1不能用完全平方公式分解；④−m2+m−=-（m2-m+）=-（m-）2，不符合题意；⑤4x4−x2+不能用完全平方公式分解．故选：C．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．6．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将多项式因式分解，即可得到结果．【解析】解：∵=∴另一个因式是，故选：B．【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键．7．因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．【解析】解：∵甲看错了a的值∴b是正确的∵=∴b=-6∵乙看错了b的值∴a是正确的∵=∴a=-1∴=故选：B．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．8．若，则的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】直接将已知变形得出a-b-c=3，再利用提取公因式法分解因式得出答案．【解析】解：∵a-3=b+c，∴a-b-c=3，∴a（a-b-c）-b（a-b-c）+c（b+c-a）=（a-b-c）（a-b-c）=3×3=9．故选：C．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，先用含有a、b的代数式分别表示出S、S1和S2，再根据S1=3S2得到关于a、b的等式，整理即可．【解析】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，由题意，得S1=b（a+b）×2+ab×2+（a-b）2=a2+2b2，S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2，S=（a+b）2，∵S=3S2，∴（a+b）2=3（2ab-b2），整理，得（a-2b）2=0，∴a-2b=0，∴a=2b．故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键．10．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：分别对应下列六个字：乌、爱、我、义、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱美 B．义乌游 C．爱我义乌 D．美我义乌【答案】C【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【解析】解：∵（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a+b）（a-b），又∵a-b，x-y，x+y，a+b分别对应下列四个个字：乌、爱、我、义，∴结果呈现的密码信息是：爱我义乌．故选：C．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．二、填空题11．＝______________【答案】【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．【解析】解：故答案为：．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．12．分解因式：________．【答案】【分析】提公因式分解因式即可．【解析】解：故答案为：．【点睛】本题考查利用提公因式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．分解因式：__________．【答案】/（x-y+2）（x+y-2）【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答．【解析】解：故答案为：．【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．14．因式分解：__．【答案】【分析】先把原式化为再利用平方差公式分解因式，再把其中一个因式按照平方差公式继续分解，从而可得答案.【解析】解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，注意分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止.15．如果x-3是多项式2x2-11x+m的一个因式，则m的值___________．【答案】15【分析】如果x－3是多项式2x2－11x＋m的一个因式，即方程2x2－11x＋m＝0的一个解是3，代入方程求出m的值．【解析】把x＝3代入方程2x2－11x＋m＝0中得18－33＋m＝0，解得：m＝15．故答案为15．【点睛】本题主要考查的是因式分解一的意义以及一元二次方程的解，因式分解法解方程，分解成两个因式相乘值为0的形式，每一个因式为0，即可求出其中一个解．本题用的是逆向思维求m的值熟练掌握方法是本题的解题关键．16．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．【答案】16【分析】将所求式子提取xy分解因式后，把x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．【解析】∵x+y=8，xy=2，∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×8=16．故答案为16．【点睛】本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式．17．若，则_________．【答案】2022【分析】根据，得，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可．【解析】∵∴∴故填“2022”．【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键．18．设为正整数，且，则等于_____________．【答案】【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可．【解析】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数）同理，（为整数）．由，得，，故，，所以，．因此，，．，．故答案为：．【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用．三、解答题19．分解因式(1)4a-2ab；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）运用提公因式法分解因式即可；（2）运用平方差公式分解因式即可；（3）运用提公因式法分解因式即可．【解析】（1）解：4a-2ab；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了分解因式，解决本题的关键是运用提公因式法和平方差公式分解因式．20．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．【答案】(1)3（a﹣b）（2a﹣2b+1）(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．【解析】（1）解：＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）（2）解：x（x﹣1）﹣3x+4（3）解：（4）解：【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）利用完全平方公式，进行分解即可解答；（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法进行分解即可解答；（4）利用因式分解﹣分组分解法，进行分解即可解答．【解析】（1）解：；（2）；（3）；（4）【点睛】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．22．阅读下列解答过程：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为则，，∴，∴∴另一个因式为，m的值为-21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用多项式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案．【解析】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，∴，解得，∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．23．通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．甲：（先分成两组）．乙：（先分成两组）．两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．(1)试用上述方法分解因式：．(2)利用分解因式说明：因式能被9整除．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查因式分解．掌握分组分解法，是解题的关键．（1）利用分组分解法进行求解即可；（2）利用平方差公式法进行因式分解，根据结果进行说明即可．【解析】（1）解：；（2）∴因式能被9整除．24．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：(1)尝试填空：_；(2)解决问题：因式分解：；(3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)这个三角形为等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意掌握分组法进行因式分解是解题的关键．（1）把和看做一组，分别提取公因数2，公因式y，得到，再提取公因式即可得到答案；（2）把和看做一组，分别提取公因数c和用平方差公式分解因式，得到，再提取公因式即可得到答案；（3）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论．【解析】（1）解：，故答案为：；（2）解：；（3）解：这个三角形为等边三角形，理由如下：，，，，，，，，这个三角形为等边三角形．25．“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：人教版八年级上册的数学教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．(1)观察图2，请直接写出一个多项式进行因式分解的等式：______．(2)如图3，这是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的结论．请写出该结论，并写出推导过程．(3)有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图4，其阴影部分的面积为22；将B放在A的内部得到图5，其阴影部分（正方形）的面积为9．则正方形A，B的面积之和为______．【答案】(1)(2)，推导过程见解析(3)31【分析】本题考查因式分解，勾股定理的证明，完全平方公式．（1）根据三个小长方形面积加上一个正方形的面积等于一个大长方形面积，列出式子即可；（2）根据四个小直角三角形面积加上小正方形的面积等于一个大正方形有的面积求解即可；（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图4中的阴影部分的面积为，图5中阴影部分的面积为，根据正方形A、B的面积之和为，代入计算即可．【解析】（1）解：∵，∵．（2）解：结论：由图可知，，，，整理，得．（3）解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图4中的阴影部分的面积为．图5中阴影部分的面积为，所以正方形A、B的面积之和为．26．【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：____________________；(2)