河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学选择性必修第二册试题

河南省部分名校2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．2．已知是公比为2的等比数列，若，则（

）A．100 B．80 C．50 D．403．已知直线与垂直，则（

）A．0 B．0或 C． D．0或4．一个做直线运动的质点的位移与时间的关系式为，则该质点的瞬时速度为时，（

）A． B． C． D．5．记数列的前项和为，已知，且，则（

）A．6 B．5 C．3 D．16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为棱的中点，且，则（

）

A．6 B．8 C．9 D．107．曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线，其在点处的曲率，其中是的导函数，是的导函数.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为（

）A．2 B．1 C． D．8．椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则（

）注：表示面积.A．2 B． C．3 D．二、多选题9．已知数列的前项和，则（

）A． B． C．是等差数列 D．是递增数列10．已知曲线，则（

）A．当时，曲线是椭圆B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线C．存在实数，使得过点D．当时，直线总与曲线相交11．已知圆和圆，则（

）A．圆与轴相切B．两圆公共弦所在直线的方程为C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线D．两圆的公切线段长为12．已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（

）A．B．点到直线的距离为C．存在点，使得平面D．动点在一条抛物线上运动三、填空题13．曲线在点处的切线方程为.14．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线的方向向量，若所成角的余弦值为，则.15．已知是双曲线的左､右焦点，为上一点，且（为坐标原点），，则的离心率为.16．已知数列的通项公式为，其前项和为，不等式对任意的恒成立，则的最小值为.四、解答题17．已知公比不为1的等比数列满足，且是等差数列的前三项.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.18．如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，且.(1)求的值；(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与圆交于不同于点的两点，若，求直线的方程.20．已知数列的各项都是正数，前项和为，且.(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项和.21．如图，在斜三棱柱中，，且三棱锥的体积为.

(1)求三棱柱的高；(2)若平面平面为锐角，求二面角的余弦值.22．已知椭圆的上顶点为，右顶点为，且直线的斜率为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点（异于点），且满足，求面积的最大值.参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．A7．D8．C9．AC10．ABC11．ACD12．AD13．14．15．/16．17．(1)(2)【解析】（1）设的公比为，因为成等差数列，则，即，解得或1（舍去），所以.（2）由（1）可知的前三项为，则等差数列的首项为，公差为，所以，即.所以.18．(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为平面，平面，所以，又，由题可知两两互相垂直，所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系.又，为棱的中点，易知.所以，所以，所以.（2）因为平面，平面，所以.由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一个法向量.又因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19．(1)(2)或【解析】（1）由题意可知圆的圆心为，半径.因为，所以，从而，即，两边平方整理得，又因为，所以.（2）由（1）知圆，点在圆上，又因为，所以线段为圆的直径，即直线过圆心，显然直线的斜率不为0，设其方程为，点到直线的距离为.根据三角形的面积公式可得.所以，解得，所以直线的方程为或.20．(1)证明见解析(2)【解析】（1）在中，令，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知.所以①，②①-②，得，所以.21．(1)(2)【解析】（1）解：设三棱柱的高为，因为，所以，又因为三棱锥的体积为，可得，解得，即三棱柱的高为.（2）解：过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）知，又因为为锐角，所以，在中，，所以.以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，因为平面，可得平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.

22．(1)(2)【解