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其他类型的二次型及矩阵其他类型的二次型及矩阵

与正定二次型和正定矩阵相对应，有下面的定义.定义7-10c设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个实二次型.（1）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T，均有αTAα≥0，但至少存在某一个α0，使得αT0Aα0=0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个半正定二次型，此时相应的实对称矩阵A称为半正定矩阵.（2）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T，均有αTAα<0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个负定二次型，此时相应的实对称矩阵A称为负定矩阵.（3）如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)

T，均有αTAα≤0，但至少存在某一个α0，使得αT0Aα0=0，则称f(x1,x2,…,xn)是一个半负定二次型，此时相应的实对称矩阵A称为半负定矩阵.将正定、半正定、负定和半负定二次型（或矩阵）称为有定二次型（或有定矩阵），否则，称为不定二次型（或不定矩阵）.显然，如果f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个正定二次型（或A是一个正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(-A)X是一个负定二次型（或-A是一个负定矩阵）；如果f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个半正定二次型（或A是一个半正定矩阵）当且仅当－f(x1,x2,…,xn)=XT(-A)X是一个半负定二次型（或-A是一个半负定矩阵）.并且，一个标准形式的实二次型f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n

或者说一个对角矩阵（1)半正定的，当且仅当di≥0,i=1,2,…,n，但至少存在某一个dj=0.（2)负定的，当且仅当di<0,i=1,2,…,n.（3)半负定的，当且仅当di≤0,i=1,2,…,n，但至少存在某一个dj=0.于是，类似于正定情形的证明，可以不加证明地给出其他类型二次型和矩阵的判别方法.定理7-12设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的：（1)A是负定的.（2)二次型XTAX是负定的.（3)A合同于-E，即A

-E.（4)存在可逆矩阵P，使得A=－PTP.（5)A的特征值λ1,λ2,…,λn全小于0.（6)A的奇数阶顺序主子式均小于0，偶数阶顺序主子式均大于0.定理7-13设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的：（1)A是半正定的.（2)二次型XTAX是半正定的.（3)A合同于diag{1,…,1,0,…,0}，其中总共r=R(A)个1.（4)存在不可逆矩阵C，使得A=CTC.（5)A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于等于0，但至少有一个为0.（6)A的所有主子式

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