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文档简介

幂级数的应用一、欧拉公式之前我们讨论过级数当x为任何实数时，级数的和函数为ex，即收敛域为－∞<x<+∞．那么当x为复数时，情况如何呢？考察下列级数其中z=x+yi，x,y为实数，一、欧拉公式在复变函数理论中可以知道，级数

在复平面上是绝对收敛的，其和函数定义为ez，即当y=0时，z=x，这时

表示函数ex．当x=0时，z=yi，这时有一、欧拉公式由于一、欧拉公式因此有这就是欧拉（Euler）公式．同理可得将两式分别相加，相减可推出这两个公式也称为欧拉公式．二、幂级数展开式在近似计算上的应用如果函数f(x)有展开式则在区间(x0-R,x0+R)上，有求得多项式Pn(x)的函数值，即为f(x)函数值的近似值．二、幂级数展开式在近似计算上的应用我们可以采取下列步骤来计算某数A的近似值：（1）选择一个函数f(x)，使A=f(x1)；（2）选取某点x0，使f(k)(x0)容易求出(k=0，1，2，…)，并使|x1－x0|尽可能的小；（3）令t=x－x0，即x=x0+t，把f(x0+t)展成t的幂级数，设为二、幂级数展开式在近似计算上的应用当t=t1=x1－x0时，得（4）根据精确度的要求，适当选定n，按计算A的近似值．这里，A与Pn(t1)相差余项

称为用Pn(t1)表示A的截断误差．在计算A的值时，还有因四舍五入而产生的舍入误差．因此，求A的近似值时，应使这两种误差之和满足精确度的要求．二、幂级数展开式在近似计算上的应用求

的近似值，误差不超过10－4．解令

，则A=f(245)．因35=243，故取x0=243．令t=x－243，t1=x1－x0=2，【例1】二、幂级数展开式在近似计算上的应用利用二项展开式，有当t=t1=2时，得取前两项的和作为A的近似值，由于这是一个交错级数，故截断误差二、幂级数展开式在近似计算上的应用计算取5位小数，再四舍五入，保证计算误差小于10－4，得A≈3.00494≈3.0049．二、幂级数展开式在近似计算上的应用计算积分

的近似值，精确到0.00001．

解先求积分

的幂级数展开．

由ex的幂级数展开得【例3】二、幂级数展开式在近似计算上的应用计算sin18°的近似值，误差不超过10－4．分析可以用sinx的幂级数计算sin18°的近似值．首先应将18°化为弧度在sinx的幂级数展开式中，取

，并结合允许误差取有限项，即可得到的sin18°的近似值．【例2】二、幂级数展开式在近似计算上的应用

解解这是一个交错级数．若取前两项，得截断误差为最后得出二、幂级数展开式在近似计算上的应用在上式两边逐项积分，得在上式中令x=0.2得因为第四项所以取前三项的和作为积分的近似值．二、幂级数展开式在近似计算上的应用思考

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