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文档简介

可降阶的高阶微分方程一、形如y″=f(x)型的微分方程对于微分方程y″=f(x)，其右端仅含自变量x，如果以y′为未知数，就是一阶微分方程，两端积分得y′=∫f(x)dx+C1，再次积分得y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x+C2．以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含有n个任意常数的通解．

解方程y″=ex+6x．解连续二次积分，得y′=ex+3x2+C1，y=ex+x3+C1x+C2．【例1】一、形如y″=f(x)型的微分方程二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程

方程y″=f(x,y′)（6-18）的右端不显含y．令y′=p(x)，则y″=dp，代入方程（6-18）中，得这是一阶方程，设其通解为p=φ(x,C1)，因y′=p(x)，于是dydx=φ(x,C1)，两端积分，得y=∫φ(x,C1)dx+C2．

解方程xy″=y′lny′．解设y′=p(x)，则，方程化为分离变量，得为所求方程的通解．【例2】二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程【例3】二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程方程y″=f(y,y′)（6-19）中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数的求导法则把y″化为对y的导数，即这样，方程（6-19）就成为这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为y′=p=φ(y,C1)，分离变量并积分，便得方程的通解为

求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解．解方程不显含自变量x，设y′=p，则，代入方程得在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得

这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程的通解为【例4】三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程思考

（1）为什么在方程y″=f(y,y′)中，令y′=p降阶，要用，而不用简单的y″=p′呢？（2

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