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文档简介
可降阶的高阶微分方程一、形如y″=f(x)型的微分方程对于微分方程y″=f(x),其右端仅含自变量x,如果以y′为未知数,就是一阶微分方程,两端积分得y′=∫f(x)dx+C1,再次积分得y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x+C2.以此类推,对于n阶微分方程,连续积分n次,便得含有n个任意常数的通解.
解方程y″=ex+6x.解连续二次积分,得y′=ex+3x2+C1,y=ex+x3+C1x+C2.【例1】一、形如y″=f(x)型的微分方程二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
方程y″=f(x,y′)(6-18)的右端不显含y.令y′=p(x),则y″=dp,代入方程(6-18)中,得这是一阶方程,设其通解为p=φ(x,C1),因y′=p(x),于是dydx=φ(x,C1),两端积分,得y=∫φ(x,C1)dx+C2.
解方程xy″=y′lny′.解设y′=p(x),则,方程化为分离变量,得为所求方程的通解.【例2】二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程【例3】二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程方程y″=f(y,y′)(6-19)中不显含自变量x.为了求出它的解,我们令y′=p,并利用复合函数的求导法则把y″化为对y的导数,即这样,方程(6-19)就成为这是一个关于y,p变量的一阶微分方程.设它的通解为y′=p=φ(y,C1),分离变量并积分,便得方程的通解为
求微分方程yy″-y′2-y′=0的通解.解方程不显含自变量x,设y′=p,则,代入方程得在y≠0,p≠0时,约去p并整理,得
这是关于p的一阶线性微分方程,利用公式解之得p=C1y-1,即y′=C1y-1,再分离变量并两端积分,便得方程的通解为【例4】三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程思考
(1)为什么在方程y″=f(y,y′)中,令y′=p降阶,要用,而不用简单的y″=p′呢?(2
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