静电场的环路定理 电势

静电场的环路定理电势上节从静电场的物质性之一——在静电场中的任何带电体都会受到电场的作用力角度引入电场强度来描述电场的分布.现在从静电场的物质性之二——从电荷在静电场中移动时电场力做功的特点出发并引入电势的概念，研究静电场的性质.静电场的环路定理一、电场力的功1.如图8-20所示，假设场源点电荷q静止于O点，试验电荷q0在点电荷q产生的电场中从a点沿任意路径运动到b点，在这个移动过程中，q0受到q施加的电场力在做功.由于在运动过程中q0在各点受到的电场力的大小和方向不同，计算变力的功时，应采用微元法.现在路径ab上任取一元位移dl，设该处的场强为E，则电场力对q0所做的元功为dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成既然每个点电荷的电场力对q0所做的功都与路径无关，那么它们的代数和也必然与路径无关.由此可以得到以下结论：在任意带电体的电场中，电场力对试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及其始末位置有关，而与路径无关.如图8-21所示，电场中有一闭合路径acbda.让试验电荷从a点沿路径acb运动到b点和沿路径adb运动到b点，电场力所做的功相同，即由此可见，静电场力为保守力，静电场为保守力场.图8-21保守力的功静电场的环路定理2.由于试验电荷q0≠0，因此有

∮LE·dl=0(8-17)式中，L表示任意闭合路径.式(8-17)表明，在静电场中，场强E沿任意闭合路径的线积分等于零，这一结论称为[HTH]静电场的环路定理[HT].静电场的环路定理反映了静电场的另一个重要特性，即静电场是保守力场.电势能二、类比力学中保守力场引入势能的思路，静电场是保守力场，因而也可以引入与之相关的电势能.设Wa和Wb分别表示试验电荷q0在a、b两点的电势能，Wab为q0从a点沿任意路径运动到b点电场力所做的功，它是q0在a、b两点电势能改变的量度，即(8-18)

式（8-18）表明，把q0从a点沿任意路径移到b点，电场力所做的功在数值上等于q0在a、b两点的电势能之差.当Wab>0时，Wa>Wb，电势能减小；当Wab<0时，Wa<Wb，电势能增加.电势电势差三、电势1.与电势能相同，电场中某点的电势也是相对的.通常选无限远处为电势零点，于是有

(8-21)

式（8-21）表明，电场中任一点a的电势在数值上等于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在许多实际问题中，也常选地球为电势零点.电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.电势差2.从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19)和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由式（8-18），定义(8-22)式中，Uab为静电场中任意两点a、b间的电势差，也称为电压.式（8-22）表明，静电场中a、b两点的电势之差等于把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点电场力所做的功.电势差是绝对的.电势的计算四、点电荷电场的电势1.设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为

点电荷为有限带电体，取无限远为电势零点，根据电势的定义，电场中距离点电荷为r的任一点P的电势为(8-23)由式（8-23）可知，在正点电荷的电场中，各点电势为正，离点电荷越远处电势越低，无限远处电势为零；在负点电荷的电场中，各点电势为负，离点电荷越远处电势越高，无限远处电势为零.电势叠加原理2.设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、…、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电荷在该点产生场强的矢量和，即上述结果称为电势叠加原理.它表明在点电荷系的电场中，任一点的电势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和.类似于场强的计算，对于电荷连续分布的带电体，当带电体不能作为点电荷处理时，可把带电体分成许多电荷元dq，每个电荷元dq可看作点电荷，先求电荷元在P点的电势为然后根据电势叠加原理，即可求出此带电体的电势为