高斯公式流量与散度

高斯公式流量与散度一、高斯公式平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示.下面要介绍的高斯公式则揭示了封闭曲面上的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系.可以认为高斯公式是格林公式在三维空间中的推广.一、高斯公式设空间区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P（

x,y,z

），Q（

x,y,z

），R（

x,y,z

），在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

（10-15）这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，公式（1015）称为高斯公式.定理一、高斯公式证明先证明设闭区域Ω在xOy面上的投影区域为Dxy.假设穿过Ω内部且平行于z轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点恰好是两个，即其边界曲面Σ由曲面及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成（见图10-18），其中Σ1取下侧，Σ2取上侧，Σ3取外侧，于是按三重积分的计算方法，有一、高斯公式图10-18一、高斯公式

又由于Σ3上任意一块曲面在xOy面上的投影为零，所以一、高斯公式因此如果穿过Ω内部且平行于x轴的直线以及平行于y轴的直线与Ω的边界曲面Σ的交点也都恰好是两个，那么类似地可得这些结果相加便得高斯公式.一、高斯公式对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成立.若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则用有限个光滑的曲面将Ω分为有限个满足条件的小闭区域来讨论.注意一、高斯公式求其中Σ为锥面及半球面所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧.

解由题意知P=x,Q=y,R=z,则利用高斯公式，得【例1】一、高斯公式求其中Σ为曲面z=1－x2－y2(z≥0)的上侧.

解作辅助平面取Σ1的下侧,则平面Σ1与曲面Σ围成空间有界闭区域Ω,故由高斯公式得【例2】一、高斯公式而所以一、高斯公式求其中Σ为的上侧.

解补充平面取Σ1的下侧，则Σ+Σ1构成封闭曲面，设其所围成空间区域为Ω.于是【例3】二、向量场的流量与散度设区域的体积为V，则表示单位时间内区域Ω内单位体积流体的平均发散量,即平均散度.令Ω收缩到一点M（

x,y,z

），若极限存在，则称此极限值为向量场A在点M的散度，记为divA(M),即

二、向量场的流量与散度设有向量场其中函数P，Q，R均具有一阶连续偏导数，Σ是场内的一片有向曲面，n是Σ在点x,y,z处的单位法向量，则积分称为向量场A通过曲面Σ向着指定侧的流量（或通量）.如果A是定常流体（假定密度为1）的速度，则|Q|表示单位时间内穿过Σ流体的质量.如果Σ是闭曲面，则表示单位时间内通过闭曲面Σ的流体的质量，它是从Σ流出的流体的质量与流入Σ的流体的质量之差，表示单位时间内流体从Σ包围的区域Ω内部向外发出的总质量.二、向量场的流量与散度当divA(M)>0时，称点M为源，其值表示源的强度；divA(M)<0时，称点M为洞（或负源），其值表示洞吸收的强度；当divA(M)=0时，点M既非源又非洞，divA(M)=0的场称为无源场.散度是一个数量，由向量场A派生出的散度场divA是数量场.由高斯公式和积分中值定理得二、向量场的流量与散度

其中则即二、向量场的流量与散度引入向量微分算子A的散度divA也可以表达为Δ·A，即divA=Δ·A.散度具有下列性质：(1)Δ·(CA)=CΔ·A(C为常数).(2)Δ·(A+B)=Δ·A+Δ·B.(3)Δ·(uA)=uΔ·A+Δu·A(u为数量函数).二、向量场的流量与散度高斯公式可写成上述公式表明，向量场A通过闭曲面Σ流向外侧的流量等于向量场A的散度在闭曲面Σ所围闭区域Ω上的