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二次型的标准型二次型的标准型本章只讨论变量取实值，系数也为实数的实二次型.二次型可以用矩阵的乘积形式表示，令则二次型就可以写成下面的形式：f(x1,x2,…,xn)=xTAx（7-10）其中，AT=A（即A为实对称矩阵）.根据式（7-10），n个变量的实二次型f(x)与n阶实对称矩阵A有一一对应的关系，称矩阵A为二次型f(x1,x2,…,xn)的矩阵，A的秩r(A)定义为二次型f(x1,x2,…,xn)的秩.反过来，对于任意一个给定的n阶实对称矩阵A，可以得到唯一的一个以A为矩阵的二次型xTAx，其中x=(x1,x2,…,xn)T.试写出二次型f(x1,x2,x3)=x21+4x1x2+7x22+6x1x3+2x2x3－x23

的矩阵.解因为二次型写成了合并同类项的形式，故其矩阵的对角线元aii为x2i的系数，而非对角线元，即i≠j时aij=aji是乘积项xixj的系数的一半，故有【例7-1】【例7-2】在二次型的研究中，中心问题之一是要对给定的二次型式（7-9），确定一个可逆矩阵P，使通过可逆线性变换x=Py（7-11）将f(x1,x2,…,xn)=xTAx化简为新变量y1,y2,…,yn的标准型f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy（7-12）其中D=diag(d1,d2,…,dn)把式（7-11）代入式（7-10），得f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y故若能找到可逆矩阵P，使PTAP=D（7-13）其中,D为对角阵，则得到二次型的标准型.这就是说，化实二次型为标准型的问题可归结成上述由式（7-13）表出的矩阵问题，即下面定义的，实对称矩阵相合于实对角阵的问题.定义7-4c对n阶矩阵A与B，若存在n阶可逆矩阵P，使B=PTAP（7-14）则称A与B合同或A与B是合同矩阵或相合矩阵.若Q为正交矩阵，则有Q－1AQ=QTAQ=B所以对实对称矩阵，若正交矩阵P使得A与B相似，则自然有A与B合同；又因实对称矩阵A一定能对角化，故必有A=QΛQ－1

成立.Q-1AQ=Λ这可改写成QTAQ=Λ故可得到化二次型为标准型的现成方法——正交变换法（这个方法将在第二节中着重介绍）.需要指出，式（7-13）中的可逆矩阵P不仅一定可以找到（如可取一正交矩阵），而且满足条件的可逆矩阵P

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