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文档简介

对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化从上一节我们看到，一般的方阵不一定可对角化，但对于在应用中常遇到的实对称矩阵（满足AT=A的实矩阵），不仅一定可以对角化，而且解决起来也要简便得多，这是由于实对称矩阵的特征值与特征向量具有一些可注意的特性.定理6-14

实对称矩阵的特征值必为实数.证明

（略）由于实对称矩阵的特征值是实数，从而对应的特征向量也是实特征向量.定理6-15设λ1,λ2是实对称矩阵的两个特征值，p1,p2是对应的特征向量.若λ1≠λ2，则p1与p2正交.证明

因Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2.对Ap1=λ1p1两边转置，由AT=A，可得pT1A=λ1pT1，再同时右乘上p2，得pT1Ap2=λ1pT1p2对Ap2=λ2p2，同时左乘pT1，得pT1Ap2=λ2pT1p2两式相减，得(λ1－λ2)pT1p2=0但λ1≠λ2，故pT1p2=0，即p1与p2正交.这就是说，实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量两两正交.定理6-16

设λ为n阶实对称矩阵A的k重特征值，则对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量.证明

（略）定理6-17设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使Q－1AQ=QTAQ=Λ其中，Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵.证明

设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λm，它们的重数依次为k1,k2,…,km，于是k1+k2+…+km=n.根据定理6-16知，对应特征值λi恰有ki个线性无关的特征向量，把它们单位正交化，即得ki个单位正交的特征向量，i=1,2,…,m.由k1+k2+…+km=n知这样的特征向量恰有n个.根据定理6-15，实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量两两正交，故这n个特征向量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵Q，则Q为正交矩阵，并有Q－1AQ=Λ，其中对角矩阵Λ含有k1个λ1，k2个λ2，…,km个λm，恰是A的n个特征值.证毕.根据定理6-17，我们可以得到把实对称矩阵对角化的步骤.（1）求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λm.（2）对每个ki重特征值λi，求(A－λiE)x=0的基础解系，得ki个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单位化，得ki个两两正交的单位特征向量.因k1+…+ks=n，故总共可得n个线性无关的特征向量.（3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵Q，便有Q－1

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