2021中考数学考点专题训练-专题一：一次函数

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

备战2021中考数学考点专题训练一专题一：一次函数

1.快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1方，然后按

原路原速返回，快车比慢车晚”到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y(加)与所用

的时力的关系如图所示.

(1)甲乙两地之间的路程km；快车的速度为km/h、慢车的速度为

km/h、

(2)出发小时后，快慢两车相遇；

(3)求快慢两车出发几小时后第一次相距150也7?

2.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，

快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y(单位：千米)与快递车所用

时间彳(单位：时)的函数图象，巳知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装

卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.

(1)求跖的函数解析式；

(2)求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间.

(3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案)

3.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7品，图书馆

离宿舍1切?.周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7加〃到食堂；在食堂停留16如力吃早餐后,

匀速走了5。力7到图书信；在图书馆停留30加力借书后，匀速走了返回宿舍.给出的

图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离必必与离开宿舍的时间双心之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：

(I)填表：

离开宿舍的时25202330

间/。力7

离宿舍的距离0.2—0.7——

/km

(II)填空：

①食堂到图书馆的距离为te

②小亮从食堂到图书馆的速度为km/minx

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min\

④当小亮离宿舍的距离为0.6痴时，他离开宿舍的时间为min.

(m)当0WK28时，请直接写出y关于才的函数解析式.

4.表格中的两组对应值满足一次函数尸必现画出了它的图象为直线1,如图.而某

同学为观察匕b对图象的影响，将上面函数中的々与。交换位置后得另一个一次函数，设

其图象为直线，.

x-10

y-21

(1)求直线1的解析式；

(2)请在图上画出直线?(不要求列表计算)，并求直线/被直线1和y轴所截线段的

长；

(3)设直线尸a与直线1,V及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，

直接写出a的值.

5.小张和小王是同一单位在48两市的同事，巳知/、6两市相距400A7,周六上午小王

从5市出发，开车匀速前往4市的公司开会，1小时后小张从4市的公司出发，沿同一路线

开车匀速前往8市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到力市的公司开会，便立即加速

返回公司(折返的时间忽咯不计).已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20加.两

入距8市的距离y(局)与小张行驶时间x(方)间的关系如图所示，请结合图象解答下列

问题：

(1)小王的速度为km/h,a的值为

(2)求小张加速前的速度和6的值；

(3)在小张从出发到回到力市的公司过程中，当x为何值时，两人相距206?

6.如图，直线Ii：外3与直线&厅kGb交于息E54),直线Z与坐标轴交于

点4、&12与X轴和y轴分别交于点GD,a0C=20B,将直线Z向下平移7个单位得到

直线4交A于点E交y轴于点G连接组

(1)求直线切的解析式；

(2)求△㈤%的面积.

7.甲、乙两车分别从4、B两地同时出发，甲车匀速前往8地，到达5地立即以另一速度

按原路匀速返回到力地；乙车匀速前往N地，设甲、乙两车距离4地的距离为，(加).甲

车行驶的时间为才(力，y与x之间的函数图象如图所示.

(1)求甲车距离H地的距离y(加)与行驶时间X(力)之间的函数关系式;

(2)当乙车到达/地时，求甲车距离力地的距离.

8.在平面直角坐标系中，点/(a,6),B(5,6),

(1)若&6满足“2a-b-4+(a-b-D2=0,求点儿8的坐标；

(2)如图1,点。在在直线四上，且点。的坐标为5加，求处〃应满足怎样的关系

式？

(3)如图2,将线段居平移到印，且点〃在直线所上，且〃点的纵坐标为％当满足,S

图1图2

9.某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kG之间函数关系

的图象如图中折线所示.请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列

问题：

（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？

（2）求图象中线段比所在直线对应的函数表达式.

日期销售记录

6月1库存6004g,成本价8元/%,售价10元/kg

日（除了促销降价，其他时间售价保持不变）.

6月9从6月1日至今，一共售出200纭.

0

6月10、这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元

11日/kg.

6月12补充进货200例，成本价8.5元Jkg.

0

6月308003水果全部售完，一共获利1200元.

Q、

10.如图，直线尸二户9分别交无轴、y轴于点/、B,N四0的平分线交x轴于点C.

4

(1)求点4B、。的坐标；

(2)若点M与点4、B、。是平行四边形的四个顶点，求谪所在直线的解析式.

11.如图，在平面直角坐标系才0r中，直线7=-2户6交x轴于点4交y轴于点5,过点

5的直线交x轴负半轴于点C,且AB=BC.

(1)求点。的坐标及直线初的函数表达式；

(2)点〃(a,2)在直线初上，点月为y轴上一动点，连接应.

(i)若/应445°,求△〃应的面积；

(ii)在点£的运动过程中，以的为边作正方形的明当点尸落在直线比上时，求满足

条件的点£的坐标.

4

12.如图，四边形■是矩形，点4C在坐标轴上，8点坐标(-4，4),40DE走4

她绕点0顺时针旋转90°得到的，点〃在x轴上，直线切交y轴于点R交小于点"

(1)求直线劭的解析式；

(2)求△9的面积；

(3)点好在x轴上，平面内是否存在点M使以点〃、F、M、〃为顶点的四边形是菱形？若

存在，请直接写出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

4

13.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线尸-争+8交彳轴于点4交y

轴于点3点。在四上，AC=5tCD//OA,CD交y轴于点、D.

(1)求点。的坐标；

(2)点尸从点0出发，以每秒1个单位长度的速度沿刃匀速运动，同时点。从点4出发，

以每秒5个单位长度的速度沿丝匀速运动，设点尸运动的时间为t秒(0<^<3),XPCQ

的面积为S,求5与£之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，过点。作附交y轴于点凡连接AD,原E为AD中点,连接

14.如图，直线y=-%助分别与x轴、y轴交于4,B两点,与直线》=履-6交于点C

乙

(4,2).

(1)b=；k=；点5坐标为；

(2)在线段四上有一动点£过点£作，轴的平行线交直线先于点凡设点£的横坐标为

m,当卬为何值时，以久B、E、尸为顶点的四边形是平行四边形；

(3)若点尸为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点。，使得以只Q,A,B为

顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出所有符合条件的。点坐标；若不存在，请说明理

由.

15.如图，在平面直角坐标系中，直线尸公4分别交x轴，y轴于4B两点，点。为必

的中点，点，在第二象限，且四边形4az为矩形.

(1)直接写出点小8的坐标，并求直线相与切交点的坐标.

(2)动点尸从点C出发，沿线段3以每秒1个单位长度的速度向终点。运动，同时，动

点"从点4出发，沿线段四以每秒&个单位长度的速度向终点5运动，过点P作用上0A,

垂足为后连接蛆MH,设点户的运动时间为匕秒.

①若△初7的面积为1,求£的值；

②点。是点5关于点/的对称点，问册加•偌是否有最小值？如果有，求出相应的点尸的

坐标；如果没有，请说明理由.

备用图备用图

16.已知：如图，平面直角坐标系中，0为坐标原点，直线7=3+10%交x轴于8,交y轴

于小△/①的面积为50.

(1)求切的值；

(2)尸为物延长线上一点，C为才轴上一点，坐标为(6,0),连接汽；〃为x轴上一点，

连接依，若PD=PC,尸点横坐标为t,△“力的面积为S,求S与t的函数关系式，并直接

写出自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过。作血丝于凡当〃在加上时，过0作减L少于G,过尸

作限L用于£连接阳当小平分△散;周长时，求£点坐标.

17.问题：如图1,△腕中，AB=a,NACB=a.如何用直尺和圆规作出点尸，均使得N

尝试：如图2,△侬?中，AC=BQZACB=90°.

(1)请用直角三角尺(仅可画直角或直线)在图2中画出一个点只使得N近=45。

(2)如图3,若AC=BC=J^以点4为原点，直线9为A■轴，过点/垂直于四的直线

为y轴建立平面直角坐标系，直线尸(620)交才轴于点M交y轴与点儿

①当6=7+“时，请仅用圆规在射线珈上作出点只使得N4*45°；

②请直接写出射线初V上使得N4加=45°或NN加=135°时点尸的个数及相应的b的取值

范围；

应用：如图4,AABC中,AB=a,2ACB=a,请用直尺和圆规作出点尸，使得NAPff=a,

且加斗命最大，请简要说明理由.(不写作法，保留作图痕迹)

图3备用图

18.已知，平面直角坐标系中，直线y=Ax-44交x轴力，交y轴正半轴于点5,直线尸

一,户6经过点力,交y轴正半轴于点C,且BC=50C.

(1)如图1,求才的值；

(2)如图2,点尸为第二象限内直线4。上一点，过点尸作4?的垂线，交x轴于点“，交

AB于热E,设点尸的横坐标为t,△被的面积为S,求S与t的函数关系式(不要求写出

自变量1的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，0为线段比上一点，PQ=PC,连接幽，过点。作g_L/0

于G,交直线四于点尸，连接室指匕AQP=4FQE,求点尸的坐标.

19.的图象经过点(-2,2)、(3,7)且与坐标轴相交于点、B两点.

(1)求一次函数的解析式.

(2)如图，点尸是直线形上一动点，以必为边作正方形制网连接以网交于点Q,

连BQ,当点尸在直线形上运动时，器的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变

化，请说明理由.

(3)在(2)的条件下，在平面内有一点应当以及M5、尸为顶点的四边形为菱形时，

直接写出点〃的坐标.

20.如图1,在平面直角坐标系中，点4的坐标是（-1,0）,点3（2,3），点。（3,今）・

（1）求直线"的解析式；

（2）点尸（①0）是A■轴上的一个动点，过点尸作直线掰〃y轴，交直线四于点M交直

线BC于点、N（P,M,〃三点中任意两点都不重合），当船三融时，求点"的坐标；

（3）如图2,取点。（4,0）,动点£在射线8C上，连接加；另一动点尸从点。出发，沿

线段应以每秒1个单位的速度运动到点后再沿线段项以每秒位单位的速度运动到终

点6,当点£的坐标是多少时，点尸在整个运动过程中用时最少？请直接写出此时点的坐

图1图2

备战2021中考数学考点专题训练一专题一：一次函数参考答案

1.快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1人然后按

原路原速返回，快车比慢车晚1力到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y(而)与所用

的时x(方)的关系如图所示.

(1)甲乙两地之间的路程加；快车的速度为慢车的速度为

km/h、

(2)出发小时后，快慢两车相遇；

(3)求快慢两车出发几小时后第一次相距150加？

甲乙两地之间的路程是560前，快车的速度为：5604-(5-1)=140(W/?),慢车的速度

为：560+(5+4-1)=70(,km/h),

故答案为：140,70；

(2)设出发a小时时，快慢两车相遇，

140K70a=560,

解得，a=^t

即出发£小时后，快慢两车相遇，

故答案为：

(3)快慢两车出发b小时后笫一次相距1504，

140^70^=560-150,

解得，台="，

即快慢两车出发费小时后第一次相距150妨

2.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，

快递车比货车多往返一越，如图表示两车离物流公司的距离y(单位：千米)与快递车所用

时间单位：时)的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装

卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.

(1)求超的函数解析式；

(2)求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间.

(3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案)

【答案】解：(1)设超的函数解析式为y=kx^b(MO),由姐经过(0,50),

200)可得：

(b=5°,解得卜50,

l3k+b=200lb=50

・•・瓶的解析式为y=50950；

(2)设比的函数解析式为尸圆出2,由比经过(4,0),(6,200)可得：

4m+n=0_fm=100

,八___,解得《人人，

6m+n=200ln=-400

・•・国的函数解析式为y=100Ar-400；

设网?的函数解析式为尸由q,由R7经过(5,200),(9,0)可得：

r5p+q=200fp=-50

9p+q=0lq=450

，用的函数解析式为y=-50户450,

y=100x-400得

解方程组

y=-50x+450500

y=-

同理可得x=lht

答：货车返回时与快递车图中相遇的时间?，7A；

0

(3)(9-7)X50=100(km),

答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100前.

3.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7品，图书馆

离宿舍1A®.周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7加力到食堂；在食堂停留16加力吃早餐后,

匀速走了5卬力7到图书馆；在图书馆停留30必力?借书后，匀速走了10班”返回宿舍.给出的

图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离M5与离开宿舍的时间初?力之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：

(I)填表：

离开宿舍的时25202330

问/卬⑦

离宿舍的距离0.2—0.7—

/km

(II)填空：

①食堂到图书馆的距离为

②小亮从食堂到图书馆的速度为km/minx

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min、

④当小亮离宿舍的距离为0.6加时，他离开宿舍的时间为min.

<m)当0WxW28时，请直接写出'关于彳的函数解析式.

【答案】解：(I)由图象可得，

在前7分钟的速度为0.7+7=0.1{km/min},

故当x=2时，离宿舍的距离为0.1X2=0.2(助7)，

在7W后23时，距离不变，都是0.7A如故当L23时，离宿舍的距离为0.7加，

在28WW58时，距离不变，都是1加，故当尸30时，离宿舍的距离为

故答案为：0.2,0.7,1；

(II)由图象可得，

①食堂到图书馆的距离为1-0.7=0.3(A®),

故答案为：0.3；

②小亮从食堂到图书信的速度为：0.34-(28-23)=0.06{km/min},

故答案为：0.06;

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1+(68-58)=0.1(.km/miny,

故答案为：0.1；

④当0WxW7时，

小亮离宿舍的距离为0.6妨时，他离开宿舍的时间为0.6+0.1=6(皿力),

当58WK68时，

小亮离宿舍的距离为0.6妹时，他离开宿舍的时间为(1-0.6)4-0.1+58=62(min),

故答案为：6或62；

(ni)由图象可得，

当0近后7时，y=0.lx；

当7V后23时，y=0.7；

当23VW28时，设尸以+瓦

f23k+b=0.7k=0.06

<，得za〈，

I28k+b=lb=-0.68

即当23V后28时，y=Q.06^-0.68;

0.lx（0<x<7）

由上可得，当0WxW28时，y关于x的函数解析式是尸，0.7（7<x<23）.

0.06x-0.68（23<x<28）

4.表格中的两组对应值满足一次函数尸现画出了它的图象为直线1,如图.而某

同学为观察上b对图象的影响，将上面函数中的女与b交换位置后得另一个一次函数，设

其图象为直线

x-10

y-21

（1）求直线1的解析式；

（2）请在图上画出直线J（不要求列表计算），并求直线/被直线1和y轴所截线段的

长；

（3）设直线尸a与直线1,V及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，

直接写出a的值.

【答案】解：（1）•・•直线T：尸小〃中,当才=-1时，y=-2；当x=0时，y=l,

f-b+k=-2

,解得

Ik=l

・•・直线1'的解析式为尸3G1；

・・・直线1的解析式为尸户3；

⑵如图，解卜：得

y=3x+lIy=4

・••两直线的交点为（1,4）,

•・•直线1':尸3户1与y轴的交点为（0,1）,

・♦・直线/被直线I和y轴所截线段的长为：&+（4_1）2=15；

(3)把尸a代入尸3户1得，a=3;s+l,解得刀=且甘；

把y=a代入尸产3得，&=广3,解得La-3;

当a-3+当L。时，a=£，

O乙

当£(a-3+0)=等时，a=7,

乙O

当=4-3时，a=¥，

・•・直线尸a与直线1,r及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于笫三点对称，则a的

值为盘或7或与.

2D

5.小张和小王是同一单位在48两市的同事，巳知/、6两市相距400A7,周六上午小王

从5市出发，开车匀速前往4市的公司开会，1小时后小张从4市的公司出发，沿同一路线

开车匀速前往8市，小张行驶了一段路程后，得知小王要到/市的公司开会，便立即加速

返回公司(折返的时间忽咯不计).已知小张返回时的速度比去时的速度每小时快20加.两

入距8市的距离y(局)与小张行驶时间x(方)间的关系如图所示，请结合图象解答下列

问题：

(1)小王的速度为km/h,a的值为；

(2)求小张加速前的速度和6的值；

(3)在小张从出发到回到力市的公司过程中，当x为何值时，两人相距206?

【答案】解：(1)由图象可得,

小王的速度为：80-5-1=80Ckm/h'),

a=4004-80-l=4,

故答案为：80,4；

(2)设小张加速前的速度为xkm/h,

2.4k(A+20)X(4.4-2.4),

解得，才=100,

6=400-2.4X100=160,

即小张加速前的速度为1006/瓦。的值是160;

(3)由题意可得，

相遇前：100G80(户1)=400-20

解得，尸晟，

相遇后到小张返回前：100户80(A+1)=400+20

解得，L努，

小张返回后到小王到达4市前：80X(广1)=(400-100X2.4)+(100+20)X(x-2.4)

+20,

解得，z=4.7(舍去)，

小王到达4市到小张返回到力市前，

(400-100X2.4)+(100+20)X(才-2.4)+20=400,

由上可得，在小张从出发到回到月市的公司过程中，当x为何值时，两人相距20妨.

6.如图，直线7=亲+3与直线A:交于点£(44),直线1】与坐标轴交于

点N、B,心与x轴和y轴分别交于点C、D,且OC=2OB,将直线力向下平移7个单位得到

直线交A于点应交y轴于点G,连接必

(1)求直线切的解析式；

(2)求△欲;的面积.

【答案】解：(1)•・•直线心：尸和3经过点£(%4),

/.4=yn+3,解得卬=2,

：.E(2,4),

•・•直线心与坐标轴交于点从B,

：.A（-6,0）,B（0,3）,

'：OC=2OB,

：.OC=6t

・"（6,0）,

把C（6,0）,£（2,4）代入直爱"尸质”得［6k+b=0,解得『二-1

l2k+b=4lb=6

・•・直线切的解析式为y=-出6；

（2）将直线九向下平移7个单位得到直线左7=2才-4,

令才=0,则y=-4,

：.G（0,-4）,

20

x=-^-

由y节x-4,解得3

“2

（y=-x+6厂石

・•・尸的坐标为潦,-4），

Oo

1on170

・・・5^=丛丽-（6+4）X号--^-X（6+4）X2=与・

7.甲、乙两车分别从45两地同时出发，甲车匀速前往5地，到达5地立即以另一速度

按原路匀速返回到力地；乙车匀退前往4地，设甲、乙两车距离力地的距离为尸（加）,甲

车行驶的时间为才（力），y与，之间的函数图象如图所示.

5.5狄力）

<1）求甲车距离/地的距离y（如）与行映时间X（力）之间的函数关系式;

（2）当乙车到达4地时，求甲车距离4地的距离.

【答案】解：（D设甲车从4到5地对应的函数解析式为尸府，

1.54180,得A=120,

即甲车从4到5地对应的函数解析式为y=120%

设甲车从5到4对应的函数解析式为尸a肝儿

甲车从4到5用的时间为：3004-120=2.5,

则函数尸4户5过点（2.5,300）,（5.5,0）,

f2.5a+b=300齿,曰（a=-100

15.5a+b=0lb=550

即甲车从夕到4对应的函数解析式为y=-100A+550；

（2）乙车的速度为：（300-180）4-1.5=80（W2?）,

乙车从8到N的时间为：300+80=尊（小时），

将入y=-IOOJT+550,得

IR

y=-100X^+550=175,

4

即当乙车到达4地时，甲车距离4地的距离是175初.

8.在平面直角坐标系中，悬A(a,6),B(5,b),

(1)若ab满足亚a-b-4+(a-b-D2=0,求点4,8的坐标；

(2)如图1,点。在在直线48上，且点。的坐标为(m,加，求处〃应满足怎样的关系

式？

(3)如图2,将线段四平移到哥；且点〃在直线断上，且。点的纵坐标为占当满足费S

【答案】解：(1)由a,5满足V2a-b-4+(a

二点A(3,6),B(5,2)；

(2)设直线总的解析式为厂Me,

(3k+c=6Jk=-2

把点力(3,6),B(5,2)代入得,解得

l5k+c=2lc=12,

・•・直线的的解析式为尸-2户12,

•・•点。在在直线相上，且点。的坐标为(卬，力),

/.2加〃=12；

(3)设直线跖的解析式为尸-2户4

：.E(晟，0),F(0,,

•:EF=AB,

・•・(3)2+才=(3-5)2+(6-2)2,解得仁-4或4(舍去)，

・••直线所为尸-2才-4,£(-2,0),

•・•直线形的解析式为尸-2k12,

工直线四与x轴，y轴的交点分别为（6,0）,（0,12）,

A^=yX6X12-yX6X2-yX12X3=12,

乙乙乙

・・,点，在直线班上，且〃点的纵坐标为心

:・DQx,-2x-4）,

・•・7片/x2X|-2*-4|=|-2JT-4|,

19

,**-S^DOE^~S^AQBt

23

1o

•苦I-2x-4|》〈X12,

4o

解得尽-10或x26,

1o

，当满足李△减2拿5时，x的取值范围是尽-10或后6.

9.某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量%（用）之间函数关系

的图象如图中折线所示.请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列

问题：

（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？

（2）求图象中线段比所在直线对应的函数表达式.

日期销售记录

6月1库存600纭，成本价8元/皿，售价10元/例

日（除了促销降价，其他时间售价保持不变）.

6月9从6月1日至今，一共售出200例.

0

6月10、这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元

11日/kg.

6月12补充进货200A刍成本价8.5元/kg.

日

6月30800用水果全部售完，一共获利1200元.

【答案】解：（1）200X（10-8）=400（元）

答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元;

(2)设点S坐标为(a,400),根据题意得:

(10-8)X(600-a)+(10-8.5)X200=1200-400,

解这个方程，得a=350,

・••点5坐标为(350,400),

设线段初所在直线对应的函数表达式为尸26,贝U：

16

初用

350k+b=400,解得《9

800k+b=12002003

b=-

・・・线段所在直线对应的函数表达式为y芈

99

10.如图，直线尸当+9分别交才轴、y轴于点力、B,N四0的平分线交x轴于点C.

4

(1)求点从B、。的坐标；

(2)若点〃与点4B、。是平行四边形的四个顶点，求由所在直线的解析式.

・・・x=0时，y=9,当尸0时，59=0,解得k-12.

4

：.A(-12,0),B(0,9).

・・・%=12,OB-^y

7OA2OB2=7122+92:15,

：.CD=CO,

•:BC=BC,

:瓜△BCD^t4BC0(他),

:・BD=BO=0,CgCD,

：.AD=AB-BD=15-9=6t

设Cgx,则AC=12-x、CD=x,

♦：B+Aff=Ae,

.,./+62=(12-JT)2,

解得x=£.

q

・"(一等0).

乙

(2)如图2,当四为平行四边形的一边时,

3

・••设山的解析式为y=4^,

4

3g

••~TX(q)+b=0,

解得b=

Q

・，・直线调的解析式为y=~1~x+?.

48

当至为平行四边形的对角线时，BM//AC,AM//BC,

图3

1R

：,BM=AC=AO-0C=-^-

••M(—9).

设直线缈的解析式为尸血+〃,

一9

-^in+n=0

m=-3

解得•27,

n—-r

，点的解析式为y=-3x-等.

综合以上可得：圆所在直线的解圻式为尸条或尸-3x-冬.

482

11.如图，在邛面直角坐标系x0r中，直线-2z+G交x轴于点4交y轴于点，，过点

8的直线交x轴负半轴于点G且AB=BC.

(1)求点C的坐标及直线正的函数表达式；

(2)点，(a,2)在直线四上，点£为夕轴上一动点，连接的

(i)若N应445。,求△成后的面积；

(ii)在点£的运动过程中，以的为边作正方形颂K当点夕落在直线比1上时，求满足

条件的点£的坐标.

【答案】解：(1);•直线尸-2户6交x轴于点4,交y轴于点8

：.A(3,0),B(0,6),

：.OA=3tOB=6,

•:AB=BC,

OB工AC,

：.OC=OA=39

・・.C(-3,0),

b=6

设直线犯的解析式为尸比什瓦则有

-3k+b=0,

k=2

解得

b=6'

・•・直线坑7的解析式为尸2户6.

.*.2=-2m"6,

/.a=2,

：.D(2,2),

•:B(0,6),

.^=712+32=V10><^=V12+32=V1O,^=722+42=2V5,

.M=S+〃，QB=QD,

・N弦？=90°,NB蚌45°,

•直线制的解析式为y=-+

.E(0,争，

.淅冬跳^6一%当

ooO

・5k-£x?X2=¥.

OO

(3)如图，过点〃作血La于MDN1OB于N.

:四边形应济'是正方形,

：・NEDF=9Q。,ED=DF,

*：4EDF=4MDN=90°,

・•・乙EDN=乙DFM、

*：DE=DF、DN=DM,

:、△DNE^ADMF(SA。,

:・ZDNE=NDMF=QO°,EN=FM,

・•・点尸在x轴上,

・••当点尸与。重合时，FM=NE=5,此时£(0,7),

同法可证，点/在直线y=4上运动，当点尸落在■上时，£(0,-1),

综上所述，满足条件的点£的坐标为(0,7)或(0,-1).

A

12.如图，四边形04比是矩形，点4C在坐标轴上，8点坐标(-4，4),40DE是_»

。力绕点0顺时针旋转90°得到的，点。在x轴上，直线切交y轴于点R交庞•于点〃.

(1)求直线物的解析式；

(2)求的面积；

(3)点"在才轴上，平面内是否存在点M便以点。、尸、M.〃为顶点的四边形是菱形？若

存在，请直接写出点儿的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：⑴•・,四边形胸。是矩形，8(-等，4),△姬是由△。如旋转得到,

：.0C=0D=^

：.D(4,0),

'4

设直线8的解析式为尸Mb,则有--3长k+0b=34,

4k+b=0

2

解得4,

b=3

・,・直线加的解析式为尸一全3

O

4

(2)-：E(4,£),

・•・直线/'的解析式为尸与,

_1I36

y=yxx=­rz

由\，解得

I产N3x+3cy=1^2

•'•OB*0/f=~~^]&x—"]0=8°.

2231313

：.0F=3,0D=4,

22

••DF=^3+4=5,

当以为菱形的对角线时，M（-4,0）,M（0,-3）.

当a三M时，弘（-1,0）或做（9,0）,可得“（-5,3）,3（5,3）,

当加为对角线时，助（［，0）,可得儿（争，3）,

OO

综上所述，满足条件的点儿的坐标为（0,-3）或（-5,3）或（5,3）或（半，3）.

13.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线尸-上8交才轴于点儿交y

轴于点反点。在"上，AC=5tCD//OA,必交y轴于点〃.

（1）求点。的坐标；

（2）点2从点0出发，以每秒1个单位长度的速度沿出勾速运动，同时点0从点/出发，

以每秒卷个单位长度的速度沿"匀速运动，设点尸运动的时间为匕秒（0V£V3）,4PCQ

的面积为S,求S与t之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，过点0作附_L四交y轴于点凡连接初，点£为初中点，连接

OE,求£为何值时，直线网与x轴相交所成的锐角与N物互余.

0\X

图1

4

•直线尸-矛+8交才轴于点儿交y轴于点5,

：.A(6,0),B(0,8)

・・・以=6,OB=8,

7OA2OB2=762+82=10»

*：AC=5t

：.AC=BC=5f

、：CDHOA、

：.BD=OD=4f

：.D(0,4).

(2)如图2,作用_1四于点凡PA=6-t

O\PX、x

图2

4

PF=PAsinNPAF=W(6-力,

5

:,CQ=5一寺,

11549

S=WC6PF=3(5-3)•三(6-力=2d-6什12.

(3)如图3中，作比上AD于点G,

22=

在RtAAO/）中，AD=VOD+OAV42+62=2V13»

•・・％改='OKOA=^AD*OG

_4X6__12V13

：.0G=W131F2

：.DG=

♦:DE=AE=^,

・•・GE=DE-DG=412-

、1313

■：N0E»/0PR=gQ。,NOEK/EOG=9。。,

：・4OPR=4EOG,

5

AtanZOPR=tanNEOG=——

12

10-t

・・m-BQ」u32525.

cosZABO-A-212'

5

•・飞丽/倒占器=*，OP=t,

当E在y轴的负半轴上，如图3中,

OR=BR-8=-^—

*弓-急

解得t=&,

b

当/?在y轴的正半轴上，如图4中,

图4

ORq

0R=8-BR=a：谒,

JL乙乙

解得£="I5，

综上，当方值为《■或M，直线外与X轴相交所成的锐角与N物互余.

510

14.如图，直线力=-亲+6分别与x轴、y轴交于4,B两点，与直线》=〃x-6交于点C

乙

(4,2).

(1)b=;k=;点3坐标为;

(2)在线段电上有一动点见过点£作尸轴的平行线交直线》于点优设点£的横坐标为

m,当0为何值时，以0、B、E、尸为顶点的四边形是平行四边形；

(3)若点尸为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点0,使得以AQ,A,B为

顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出所有符合条件的。点坐标；若不存在，请说明理

...2=44-6,

:・k=2,

•・•直线》过点C(4,2),

•••2=-2+6,

・・.b=4,

・,•直线解析式为：弘=-费户4,直线解析式为%=2x-6,

•直线》=-亲+b分别与x轴、y轴交于N,5两点，

・••当x=0时，y=4,当y=0时，x=8t

・••点8(0,4),点/(8,0),

故答案为：4,2,(0,4);

(2)•・•点£在线段姐上，点£的横坐标为m,

E(m,—^n+4)>FQm,2。-6),

①当0W辰4时

•,-EF=-^in+4-(2m-6)=10-1-ir-

V四边形颇F是平行四边形，

:.BO=EF,

•*•4=10-z-ir，

乙

解得：mW；

②当4W"W8时，

2^-6-([m+4)=4,

解得mT，

D

综上所述：当mT或mT时，四边形颂'是平行四边形;

55

(3)存在.

理由如下：①若以"为边，AP为边,如图1所示：

*'•AB=4^5e

•・•四边形阳用为菱形，

:,AP=AB=*^=BQ,AP〃BQ,

，点0(4^4),点0(-4V5,4),

若以"为边，"是对角线，如图1,

•・•四边形期图是菱形，

：・0B=OQ=4,

・••点Q(0,4);

②以四为对角线，如图2所示：

・・,四边形4吻是菱形，

:・AP=BP=BQ,AP〃BQ,

,:BP=OP+OE,

：.AP=(8-AP)2+16,

:・AP=5,

:.BQ=5,

・••点Q(5,4)

综上所述：若点P为x轴上一点，当点0坐标为(-4V5，4)或(丸而，4)剧哦(0,-

4)或(5,4)时，使以尸，Q,A96为顶点的四边形是菱形.

15.如图，在平面直角坐标系中，直线7=户4分别交x轴，y轴于从8两点，点。为加

的中点，点〃在第二象限，且四边形/殴为矩形.

(1)直接写出点儿B的坐标，并求直线相与少交点的坐标.

(2)动点尸从点。出发，沿线段少以每秒1个单位长度的速度向终点〃运动，同时，动

点〃从点4出发，沿线段四以每秒企个单位长度的速度向终点6运动，过点尸作掰J_"，

垂足为属连接见MH,设点尸的运动时间为匕秒.

①若△也叼的面积为1,求才的值；

②点0是点方关于点力的对称点，问万斗月狂的是否有最小值？如果有，求出相应的点尸的

坐标；如果没有，请说明理由.

•直线尸产4分别交才轴，y轴于4,8两点,

：.A