《初等数论程耀》课件

初等数论程耀著课程简介内容本课程将涵盖初等数论的各个方面，从基本概念到高级应用。师资程耀教授，在数论领域拥有丰富的教学经验和研究成果。时间课程时长为1学期，每周2节课，共36节课。课程目标1理解数论的基本概念学习关于自然数、整除关系、同余关系等基本概念，为后续深入学习打下基础。2掌握整数的初等运算熟练掌握整数的加减乘除、幂运算和取余运算，并能运用这些运算解决问题。3了解数论函数的应用学习欧拉函数、莫比乌斯函数等数论函数，并了解他们在密码学、计算机科学等领域的应用。1.初等数论的基本概念自然数的概念和性质从1开始的正整数，例如1，2，3，4，……整除关系和互质关系如果整数a能被整数b整除，则称a被b整除，记作b|a。最大公因数和最小公倍数两个或多个整数的最大公因数是能同时整除它们的最大的正整数。最小公倍数是能被它们同时整除的最小的正整数。1.1自然数的概念和性质定义自然数是用来表示物体个数的数，包括1、2、3、4等。它们是数学中最基本的数，也是其他许多数学概念的基础。性质自然数具有以下性质：有序性：自然数之间存在大小关系，可以比较大小。无限性：自然数没有最大的数，可以无限地增加。可加性：两个自然数相加，结果仍然是自然数。可乘性：两个自然数相乘，结果仍然是自然数。1.2整除关系和互质关系整除关系如果一个整数a能被另一个整数b整除，则称b是a的因数或约数，a是b的倍数。互质关系如果两个整数的最大公因数是1，则称这两个整数互质。1.3最大公因数和最小公倍数最大公因数两个或多个整数的公因数中最大的一个，记作gcd(a,b)。最小公倍数两个或多个整数的公倍数中最小的一个，记作lcm(a,b)。公式gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b整数的初等运算加减乘除整数的加减乘除是基本运算，也是其他运算的基础。幂运算幂运算表示将一个数自身乘以若干次，例如23=2×2×2=8。取余运算取余运算求一个数被另一个数除后的余数，例如10除以3的余数为1。2.1整数的加减乘除1加法整数加法是基础运算，用于合并两个整数的值。2减法整数减法用于求两个整数之间的差。3乘法整数乘法是重复加法，用于求多个相同整数的总和。4除法整数除法用于将一个整数平均分成多个部分。2.2整数的幂运算定义整数的幂运算是指将一个整数自身连乘若干次的结果。性质幂运算满足一些基本性质，例如：相同底数幂的乘法法则。2.3整数的取余运算定义对于两个整数a和b，其中b不为0，a除以b的余数，记作amodb，表示a除以b的余数。性质余数的性质可以用来简化某些运算，例如求模运算。应用取余运算在密码学、计算机科学、以及其他领域都有着广泛的应用。同余关系定义当两个整数除以同一个正整数时，所得的余数相等，则称这两个整数关于这个正整数同余。性质同余关系具有自反性、对称性和传递性，可以进行加减乘除运算。3.1同余关系的定义和性质定义：两个整数a和b除以同一个正整数m时，若它们的余数相同，则称a和b模m同余。性质：同余关系具有自反性、对称性和传递性。同余运算满足加法、减法和乘法的封闭性。3.2同余方程的解法线性同余方程形如ax≡b(modm)的方程，其中a，b，m为整数，m>0，且a与m互质。扩展欧几里得算法用于求解线性同余方程的解，通过递归求解ax+by=gcd(a,b)的整数解。中国剩余定理用于解决多个同余方程组的解，将多个模数互质的同余方程合并成一个同余方程。数论函数欧拉函数表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。莫比乌斯函数定义在正整数上的一个重要函数，用于研究数论问题。其他数论函数例如，狄利克雷卷积、梅滕斯函数等。4.1欧拉函数1定义对于正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。2性质欧拉函数具有许多重要的性质，例如，对于互质的整数m和n，有φ(mn)=φ(m)φ(n)。3计算欧拉函数的计算可以使用多种方法，例如，可以利用欧拉函数的性质进行递归计算。4.2莫比乌斯函数定义莫比乌斯函数，记作μ(n)，是一个重要的数论函数，它与欧拉函数密切相关。公式μ(n)的值取决于n的素因子的个数，具体公式如下：4.3其他数论函数约数函数约数函数，也称为因子函数，将一个正整数映射到它的正约数之和。梅滕斯函数梅滕斯函数是数论中的一个重要函数，它与黎曼猜想密切相关。冯·曼戈尔特函数冯·曼戈尔特函数是数论中一个重要的函数，它与素数计数函数密切相关。5.初等数论的应用密码学RSA算法，椭圆曲线密码等。计算机科学哈希函数，随机数生成。组合数学组合计数，排列组合。密码学中的应用公钥密码学RSA算法利用了整数分解的困难性，将密钥分成公钥和私钥，实现安全的加密和解密。哈希函数例如MD5和SHA-256，用于生成数据摘要，确保数据的完整性和身份验证。5.2计算机科学中的应用加密算法初等数论为现代密码学提供了坚实的基础，例如RSA加密算法和椭圆曲线密码学。哈希函数数论中的模运算被广泛用于构建哈希函数，在数据结构和算法中发挥着关键作用。随机数生成数论中的同余性质和随机数生成器密切相关，确保程序中随机数的可靠性和安全性。5.3组合数学中的应用排列组合数论在解决排列组合问题中发挥着重要作用，例如计算不同牌型的概率。图论数论在图论中也有应用，例如计算图的连通性或最小生成树。课程总结本课程带领大家深入探索了初等数论的世界，从基础概念到高级应用，涵盖了整数的性质、同余关系、数论函数以及其在密码学、计算机科学和组合数学等领域的应用。本课程的重点内容自然数自然数的概念和性质，包括整除性、素数和合数。同余关系同余关系的定义、性质和应用，例如解同余方程。数论函数欧拉函数、莫比乌斯函数等数论函数的定义和性质，以及它们在数论中的应用。学习建议预习教材课前预习教材内容，可以帮