ch9 含有耦合电感的电路分析

第9章含有耦合电感的电路分析

9.1耦合电感的伏安关系式9.2含有耦合电感电路的分析9.3空心变压器9.4理想变压器的伏安关系式9.5含理想变压器电路的分析本章内容9.6理想变压器的实现本章重点：

互感线圈同名端的判定

互感电压表达式正负号的确定

有互感的电路的计算

理想变压器返回目录9.1耦合电感的伏安关系式当电感线圈中的电流随时间变化时，在线圈两端将产生感应电压，称为自感电压。当自感电压与电流处于关联参考方向时，根据电磁感应定律，自感电压与线圈中电流的关系可表示为：9.1.1耦合电感在实际电路中，常常遇到一些相邻线圈的现象。如收音机、电视机中使用的中低频变压器（中周）振荡线圈等。当任意一个线圈中通过电流时，必然会在其自身线圈中产生自感磁通，同时自感磁通的一部分也必然会穿过相邻线圈。载流线圈之间磁通相互作用的物理现象称为磁耦合或互感现象。具有磁耦合的线圈称为耦合电感线圈或互感线圈。如图所示为两个具有互感的线圈N1，N2。设线圈N1，N2中的电流分别为i1和i2，根据右手定则就可以判定电流变化产生的磁通方向和相互交链情况。电流i1产生穿过自身线圈的磁链Ψ11称为自感磁链，穿过线圈N2产生的磁链Ψ21称为互感磁链。同理Ψ22

也为自感磁链，Ψ12

也称为互感磁链。每个耦合线圈中的磁链就等于自感磁链与互感磁链两部分的代数和。设N1线圈中的磁链为Ψ1，N2线圈中的磁链为Ψ2，则有：如果互感磁链与自感磁链方向一致，表明自感磁链与互感磁链互相增强，则互感磁链取“+”号，如果互感磁链与自感磁链方向相反，表明自感磁链与互感磁链互相削弱，则互感磁链取“-”号。当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种磁链都与产生它的电流成正比。即:其中M12

、M21称为互感系数，简称互感。单位为（Henry）（亨利）。当只有两个线圈存在耦合时，可以证明M12=M21=M，为常数。其大小表明一个线圈中的电流在另一个线圈中建立磁场的能力。M越大，能力越强。

两个耦合线圈的磁链可表示为：

两个耦合线圈之间的耦合紧密程度，可以用耦合系数表示，其定义为两个线圈的互感磁链与自感磁链的比值的几何平均值。即将自感磁链和互感磁链的表达式带入上式，得

对于耦合线圈而言，每个线圈的互感磁链总是小于或等于自感磁链的，因此k≤1，则当k=1时，称耦合线圈为全耦合状态，最紧密无漏磁现象，互感系数最大；当k=0时，称耦合线圈为无耦合状态，线圈间互不影响。k的大小与线圈结构、相对位置以及周围的磁介质有关，即使L1、L2确定，仍可通过调整或改变其相互位置，改变互感的大小。

9.1.2耦合电感的电路模型以及伏安关系

两个电感线圈组成耦合电感元件后，作为一个整体，必须由L1、L2、M三个参数来描述其特征。其电路模型如图所示，其中L1L2为自感系数，M为互感系数，“●”表示同名端。aaccbbdd+

为反映互感磁链对线圈中磁场的增强或削弱作用，电路模型中引入同名端标记方式。即两个线圈带有相同“●”标记的端点为同名端，如（a）图中ac、bd为同名端，ad、bc为异名端；（b）图中ad、bc为同名端，ac、bd为异名端。aaccbbdd+利用同名端判定耦合线圈中磁场增强或削弱的方法如下：当电流i1、

i2分别从同名端流进（或流出）各自线圈时，磁场相互增强；当电流i1、

i2

分别从两个异名端流进（或流出）各自线圈时，磁场相互减弱。两个耦合线圈同名端可根据线圈绕向和相对位置进行判断，也可通过实验方法确定。aaccbbdd+据电磁感应定律得耦合电感的伏安关系式：

上式表明：1.两个耦合线圈作为二端口元件，其端口电压为自感电压与互感电压的代数和。2.自感电压与本线圈电流有关，其正负号取决于各线圈本身的电压电流是否关联参考方向。若关联，则为正；非关联，则为负。3.互感电压与另一个线圈的电流有关，其正负与互感线圈的同名端位置及各自线圈的电流方向有关。如果互感电压“+”极性端子与产生它的电流流进的端子为一对同名端，互感电压前应取“+”号，反之应取“-”号。例9-1如图所示耦合线圈，写出其端口的伏安关系式。

••L1L2+_u1+_u2i2Mi19.1.3耦合电感的相量形式

9.2含有耦合电感电路的分析

在含有耦合电感电路中，其正弦稳态分析仍可采用相量法。但列KVL方程时要注意互感的影响。耦合电感每一个线圈上的电压都包含自感电压和互感电压两部分，即耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，而且还与那些与之具有互感关系的支路电流有关。其伏安关系体现为多种不同形式。9.2.1耦合电感的串联

据同名端相互连接关系，串联方式分顺串和反串两种。若同一电流依次从两个线圈同名端流入（出）或两耦合电感线圈非同名端相接称为顺串，反之，同一电流从一个线圈同名端流入，从另一线圈同名端流出或两耦合线圈同名端相接，称为反串。下图为两个具有耦合关系的耦合电感串联电路，M表示互感。dtdiMdtdiLu+=22dtdiMdtdiLu+=11顺串使等效复阻抗加大，表明互感起增强作用。

反串使等效复阻抗减小，表明互感起削弱作用。互感不大于两个自感的算术平均值。反串时的等效电感例9-2

已知耦合电感L1=16mH，L2=4mH，当其耦合系数k=0.8时，分别求解两电感顺串和反串时的等效电感。解k=0.8

顺串时

反串时

9.2.2.耦合电路的并联

并联连接方式也有两种：即同名端相联和异名端相联。同名端相联即两个线圈的同名端在同一侧或两对同名端对应相连，则称同侧并联。异名端相联，即两个线圈同名端不在同一侧或两对异名端对应相连，则称异侧并联。如图所示电路，（a）图为同侧并联，（b）为异侧并联。同侧并联的等效电感

同理可得异侧并联的等效电感

同侧并联的等效电感

故互感小于两元件自感的几何平均值。9.3空心变压器变压器是电工、电子技术中常见的电器设备，是典型的互感电路实例。空心变压器由两个耦合线圈绕在同一个非铁磁性材料的芯柱上制成。接到电源端的线圈称为原边（或初级）线圈，接到负载端的线圈称为副边（或次级）线圈，其电路模型如图所示。原边（或初级）线圈所在的回路称为原边（或初级）回路，副边（或次级）线圈所在回路称为副边（或次级）回路。变压器就是通过磁耦合将电源能量传递给负载。-+-+原边回路方程为：

副边回路方程为：

假设原边回路自阻抗为Z11，则

假设副边回路自阻抗为Z22

，则

空心变压器从电源端看进去的输入阻抗为：

称为引入阻抗（或反映阻抗），其大小表明副边的回路阻抗对原边输入阻抗的影响，即对原边电流的影响程度。若副边不接负载，即无穷大，则副边对原边的影响不存在。+-图9-9空心变压器原边等效电路空心变压器原边等效电路如下图所示。

图9-10空心变压器副边等效电路空心变压器副边等效电路如下图所示。等效阻抗原边回路以激励源形式对副边产生影响。值得注意的是等效激励源大小、极性和相位与耦合电感同名端、原副边电流参考方向有关。例9-3如图9-11所示变压器电路。求解

用原、副边等效电路进行计算

9.4理想变压器的伏安关系式变压器是一种应用广泛的多端子磁耦合元件，初级绕组线圈从电源吸收电能并转换为磁场能，然后再转换成次级绕组线圈回路负载中所需电能，可完成信号或能量的传递，并且具备电压变换、电流变换和阻抗变换的特性。理想变压器是实际变压器的理想化模型，是两个耦合线圈满足理想极限条件下的科学抽象。9.4.1理想变压器的理想极限条件1．耦合系数k=1，即无漏磁，紧耦合。2．每个线圈的自感系数L1

、L2

无穷大。M也无穷大，但L1/L2保持不变。3．耦合线圈无损耗，不消耗能量。满足以上三个极限条件的耦合电感线圈即称为理想变压器。9.4.2理想变压器的电路模型及伏安关系N1、N2分别为原边和副边线圈的匝数，n=N1/N2

称为变比，是初级线圈匝数与次级线圈匝数比。1．电压变换

在图示关联参考方向下，若u1

、u2参考方向的“+”极性端都分别设在同名端（即相对于同名端相同时）：电压比等于匝数比。若N1>N2

，则u1>u2为降压变压器；若N1<

N2

，则u1<u2为升压变压器。若u1

、u2

参考方向的“+”极性端分别设在异名端（即相对于同名端相反时）：注意：在进行变压计算时，选用哪一个公式，取决于两电压参考方向与同名端的位置关系，与两个线圈中的电流参考方向无关。

2．电流变换

图示i1和i2的参考方向都流入同名端，则

若i1和i2的参考方向都流出同名端，上式仍然成立。即i1和i2参考方向相对于同名端相同（反）时，匝数比倒数取负（正），与两线圈上电压方向无关。若i1和i2参考方向一个从同名端进入一个从同名端流出，则

公式表明电流比为匝数比的倒数，选用哪一个公式取决于两电流参考方向与同名端位置。由有理想变压器具备不储能也不耗能的特点。理想变压器将能量由原边全部传输到副边，在传输过程中，仅仅将电压、电流按变比作数值变换，属无记忆多端元件。理想变压器受控源电路模型如右图所示。3．阻抗变换

在正弦稳态电路中，次级线圈所接负载为复阻抗，则。其中Z11为初级的输入阻抗，也称次级对初级的折合阻抗。故可利用变压器匝数比改变输入阻抗，实现与电源的匹配，使负载上获得最大功率。如在晶体收音机中把输出变压器接在扬声器和功率放大器之间，就是要使放大器得到最佳匹配，使负载上获得最大功率。注意：（1）如果将初级阻抗折合到次级，则应该将初级电阻除以。（2）若ZL=0，则Z11=0。说明次级短路相当于初级短路。若ZL→∞，则Z11→∞。说明次级开路相当于初级开路。例9-4某理想变压器额定电压为10000V/230V，给其接一感性负载ZL=j0.996Ω，负载额定电压为230V.设变压器处于额定工作，试求：（1）变压器的变比n（2）变压器的额定电流I1N和I2N（3）连接变压器后匹配的阻抗Z′L

。解（1）电压的变比（2）变压器额定工作时

（3）连接变压器后，根据变压器的阻抗变换关系，可得匹配的阻抗

9.5含理想变压器电路的分析

理想变压器属于线性非时变无损耗元件。能够按照匝数比来完成初、次级回路间的电压变换、电流变换和阻抗变换。要利用理想变压器的端口伏安关系式求解电路中相关参数。例9-5

含理想变压器电路如图所示，负载RL=2Ω

，信号源内阻RS=8Ω

，为使负载上获得最大功率，理想变压器的匝数比n应为多少？解当满足阻抗匹配关系时，负载上可获得最大功率。由初级等效电路

理想变压器匝数比为2︰1例9-6

电路如图所示，试求电压

解1.用回路法求解2.用阻抗变换法

次级电阻在初级表现为

得等效初级电路如图所示3.用戴维南定理求解原电路中在a、b两端断开，求其左侧部分的戴维南等效电路为求得戴维南等效电路串联电阻，可令外施电压为零。折合电阻为9.6理想变压器的实现理想变压器是从实际变压器中抽象出来的，实际变压器在具备三个极限条件时就可以看成理想变压器，其表征性能唯一的参数就是匝数比，无论什么时候，也不论其